§1-3 描述质点运动的坐标系

化而改变方向的单位矢量，一个是指向质点运动方向
的切向单位矢量，用 et 表示，另一个是垂直于切向并 指向轨道凹侧的法向单位矢量，用 en 表示。
d d 2 ]e dt dt
小球的加速度可表示为 ：
2 a uteρ 2ue
由上式可以看到，径向加速度是时间的线性
函数，横向加速度则为常量。
23
*三、自然坐标系 (natural coordinates) 沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。 取轨道上一固定点为原点，规定两个随质点位置变
13

O
P ( , )
A
P的位置矢量表示为 r (t ) (t ) eρ(t )
e ρ (t ) 是极径方向的单位矢量，长度为1，沿 增大的 方向。随着质点的运动，点P 的极角在改变， e ρ 方向 也相应改变，e ρ 的方向是时间的函数，写为 e ρ (t ) 。
dt dt dt dt dt dt dt dt
于是有 de
e
a [
d2 dt
2
(
d dt
) ]e ρ [
2
d 2
d d 2 ]e 2 dt dt dt
a a eρ a e
19
d2 d d d 2 d 2 a 2 ( ) , a 2 2 dt dt dt dt dt
dv y d 2 y dv x d 2 x dv z d 2 z ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt
加速度大小
2 2 2 a a ax a y az
任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢 量的分量有关，而与其他方向的分量无关。

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d lim e ρ lim eρ t 0 t t 0 t dt dt de d de ρ d 将 e 和 dt dt e ρ 代入 dt dt 2 2 d e d d d d de d dρ ρ a 2 eρ ( 2 e
4
质点的任意运动都可以看作是由在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动所合成的。 质点的任意运动都可以分解为，在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动。 这是运动叠加原理在直角坐标系中的表现。 如果质点在某个方向(如x方向)上速度不随时间 变化, 即质点在该方向上的分运动为匀速直线运动, 则在x方向上的位移可根据位移公式求得
方向转向y轴方向时, 伸直的 拇指则指向z轴的正方向。
x O
r
y
1
位置矢量可表示为
r xi yj zk
j 和 k分别是x、y和z方向的单位矢量。 其中 i 、
位矢大小 r r x 2 y 2 z 2
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
y x cos , cos , r r
a y g , v y v 0 sin 0 gt , y (v 0 sin 0 )t gt .
2 1 2
抛体运动轨道方程
y ( tan 0 ) x
令y = 0，得
( tan 0 ) x
g 2(v 0 cos 0 )
g
2
2
x
2
2(v 0 cos 0 )
x 0
用极坐标( , )表示,
O
其中 u t ,
t
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求得小球的速度 v ueρ ute
可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度，
横向速度则是t 的线性函数。
a 根据 [ d2 dt
2
(
d dt
) ]e ρ [
2
d 2 dt 2
d
d d dv a 2 ( ) dt dt dt dt 前一项是圆周运动的向心加速度, 负号表示
2
d
此加速度的方向，指向极点，即圆心；后一项
称为切向加速度, 沿圆周的切线方向。
d d 2 引入角加速度, 定义为 dt dt
2
a , a
§1-3 描述质点运动的坐标系
一、直角坐标系 (rectangular coordinate) 在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点O画 三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即x轴、y轴和z 轴, 就构成了直角坐标系 O-xyz。 通常采用的直角坐标系
z
P(x,y,z)
源自文库
属右旋系, 当右手四指由x轴
式中
d e dt
2
是单位矢量 e
d de
随时间的变化率。
d d 2 e dt dt dt dt
e

A
A
L
O

B e (t t )
e (t )
O
e 等腰OAB ,当t→0时, 趋于与 e 垂直, 即 指向 e 的方向, 大小 e 1
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt 2 2 2 v v vx v y vz
3
加速度的表达式
dv x dv y a i dt dt 2 2 d x d y 2 i 2 dt dt
dv z j k dt d2 z j 2 k a x i +a y j +az k dt
分别称为径向加速度和横向加速度。 质点直线运动：取该直线为极径，极角为常量，
有
d2 a 2 , a 0 dt
质点圆周运动：极径是圆周半径，为常量，
有
d 2 d 2 a ( ) , a 2 dt dt
20
继续推算
2 1 d v a ( ) 2 ( )2 dt dt
圆周运动角速度
v
d dt
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质点加速度 dv d a ( v e ρ v e ) dt dt 2 d dρ de ρ d 2 eρ ( dt dt dt dt e (t t ) B e (t )

v0 g
sin 0
2g
sin 0
实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度
都比上述值要小。
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二、平面极坐标系(planar polar coordinates) 用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。 取参考系上一固定点O作极点,过极点所作的 一条固定射线OA称为极轴。 质点处于点P, 连线OP 称为 点P的极径, 用表示；从OA到 OP转过的角称为点P的极角。 点P位置可用(, )来表示, 这两 个量就称为点P的极坐标。
dx ; 0 v 是小船向岸边移动的速率。 dt
v u x
l
x h x
2
2
u
负号表示小船速
度沿x 轴反方向。
d 2 x dv u 2h2 a 2 3 dt dt x 动的加速度为
小船向岸边移
9
成角 0 方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、射程、
飞行时间和物体所能到达的最大高度。
y 轴竖直向下, 如图所示。
u
l O h x
h x
l
x
y
8
设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到
岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2 dx dl 2l 两边对时间t 求导数, 得 2 x dt dt dl u 是绞车拉动纤绳的速率，纤绳随时间在缩
dt
短，故
dl dt
例2 抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平方向
解 首先必须建立坐标系, 取抛射点为坐标原点O,
x 轴水平向右, y 轴竖直向上, 如图。 抛体运动可以看作为x方向 的匀速直线运动和y方向的匀 变速直线运动相叠加。 y
v0
0
x
10
O 叠加原理是求解复杂运动的有力工具。
a x 0 , v x v 0 cos 0 , x (v 0 cos 0 )t
2
21
例3 细棒以恒定角速度绕其端点O 旋转, 棒上套
一小球, 小球以恒定速度u沿棒向外滑动。初始时 刻小球处于点O, 求t 时刻小球的速度和加速度。 解 取棒端点O为极点, 在细
棒旋转的平面内建立极坐标
系, 初始时刻棒位置为极轴。
v

v
( , )

在此坐标系中, 小球的位置可
2
x1 = 0是抛射点的位置，另一个是射程
x2
v0 g
2
sin 2 0
11
抛射角0 =/4时，最大射程
xmax
2v 0 g
y
v0 g
2
物体的飞行时间 T
x2 v 0 cos 0
sin 0
当物体到达最大高度时，必有 v 物体达最大高度的时间 最大高度 H
v0
2 2
0
t1
d d v(t ) ( e ρ ) eρ dt dt dt de ρ 式中 是单位矢量 eρ 的方向随时间的变化率。
dt
14
de ρ
在 t 时间内, 质点沿任意平面曲线L由点A到
达点B, 极角的增量为 。 B
(t t )

e ρ (t t )
v d d , v dt dt
2 2
速度大小 v v v (
d dt
) (
2
d dt
)
2
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质点直线运动时，取该直线为极径，极角为常量
d v , v 0 dt
质点圆周运动时，极径是圆周的半径，为常量
d v 0, v dt 横向速度是质点 d d ds v v 沿圆周切向速度 dt dt dt
eρ (t )
e ρ (t ) e ρ (t t ) 1
e ρ (t t )

B
(t ) A
L
e ρ
O
O
A eρ (t )
等腰三角形OAB, 当t→0时, 底边趋于与腰 垂直, e ρ 的方向趋于极角增大的方向, 引入该方向 的单位矢量 e。
x x x0 v x (t t0 )
5
当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动 是各个独立运动的合成结果，这称为运动叠加原理
(superposition principle)，或运动的独立性原理。
质点的实际运动是各分运动的矢量合成。
运动的叠加性也是运动的一个重要特性，抛体的运
动正是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。 根据类似的无数的客观事实，可得到一个结论： 一个运动可以看成是几个各自独立进行的运动叠
加而成，这就是运动的叠加原理。
6
如果质点在某个方向(如x方向)上的加速度不随时
间变化，该方向上分运动为匀变速直线运动。例如，
在x方向的速度变化可根据速度公式求得
v x v x 0 ax (t t0 )
1 x x0 v x 0t a x t 2 2
v x v x0 2ax ( x x0 )
z cos r
cos2 cos2 cos2 1
2
质点运动的轨道参量方程式
写成分量形式 速度表达式
x x(t ) y y (t ) z z (t )
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
v x0 v x x x0 t 2
7
v x v x 0 ax t
v x v x 0 ax t
2
2
例1 通过绞车把湖中小船拉向岸边，如图。如果 绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的 高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。
解 以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右,
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deρ
t t 0 t dt d d v eρ e dt dt 第一项是速度的径向分量, 称为径向速度； dt
t 0
lim
eρ
eρ d lim e e
第二项则是速度的横向分量, 称为横向速度。
v v eρ v e