空间力系及重心

第六章 空间力系及重心

一、内容提要

1、空间力对点之矩和对轴之矩

1）空间力对点之矩是矢量，且F r F m o ⨯=)(

2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法：

（a ）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即

)()(yz o Z F m F m =

(b)若已知力在坐标轴上的投影F x 、F y 和F Z 及该力的作用点的坐标x 、y 、z ，则力对各坐标轴的矩可表示为

=)(F m x yF z -zF y

=)(F m y zF x -xF z =)(F m z xF y -yF x

3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）：

x o x F m F m )]([)(=

y o y F m F m )]([)(= z o z F m F m )]([)(=

4）特殊情况 当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。

2、空间任意力系的简化、合成

1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩

主矢R /=∑F i , 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 主矩M o =∑m o (F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。 2）空间任意力系的合成结果

空间任意力系的平衡方程的基本形式为

0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F

0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z

2）几种特殊力系的平衡方程

（a ）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为

0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F

（b ）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则0≡∑x F ，0≡∑y F ，

0)(≡∑F m Z ，其平衡方程的基本形式为：

0=∑Z F ，0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y

（c ）空间力偶系的平衡方程的基本形式为

0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z

4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。

二、基本要求

1、 会计算空间力对点之矩和力对轴之矩。

2、会分析空间任意力系的合成结果。

3、对空间单体的平衡问题，会选取合适的平衡方程形式及投影轴或取矩轴，尽量做到一个方程求解一个未知数。

4、正确建立物体重心、质心、形心等概念，掌握几个基本公式的来由。

5、在不同情况下能选择恰当的方法求物体的重心。

三、典型例题分析

例题1 长方形的长、宽、高分别为a=4m ，b=3m ，c=5m ，受力情形如图1（a ）所示。设F 2=F 3=F ，F 1=2F ，试求（1）该力系向点O 简化的结果；（2）简化的最终结果。

解：

以简化中心O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz 。 从图中几何关系有

2

2

cos sin =

=αα，53sin =θ，54cos =θ

易得主矢与对点O 的主矩在坐标轴上的投影分别为

0sin sin cos 21/

=+-==∑θθαF F F F x Rx

F F F F F y Ry 5

8cos cos cos 21/-=--==∑θθα

图1

0sin 31/=-==∑F F F F Z RZ α

F c F a F M M x O x 8cos sin 21=⋅+⋅==∑θα 0sin sin 21=⋅+⋅-==∑c F b F M M y O y θα

F a F M M Z OZ 5

12

sin 2-

=⋅-==∑θ 即有 /R F Fj 6.1-=，

Fk Fi M O 4.28-=

可知：主矢/

R F 方向沿y 轴负向，对点O 的主矩O M 位于Oxz 平面内，故/

R F ┴O M 。由空间力系简化的理论，该力系可进一步合成为一个合力，设该合力的作用点为O /，则它距简化中心O 的距离为

m m F

M d OO R

O 22.5//==

=

例题2 边长为a 的正方形水平薄板ABCD 上作用有一力偶m ，设该薄板由六根直杆支持而处于平衡，如图2(a)所示。若不计板重及各杆自重，试求各杆的内力。

图2

解：

研究对象：取薄板ABCD 为研究对象。

受力分析：该薄板共受六个力与一个力偶的作用。为解题方便，不妨设各杆对板均为拉力。其受力图如图2b 。

【解法】建立如图2b 所示的空间直角坐标系Bxyz ，这样取坐标系的目的是使尽可能多的未知反力与坐标轴平行或相交，以使所列的力矩式平衡方程尽可能简单。

首先取z 轴为力矩轴，则有

0)(=∑F M

Z

，045cos 0

2=⋅-a F M 可解得 M a

F 2

2=

0)(=∑F M y

, 045sin 021=⋅-⋅-a F a F

解得a

M F F -

=-=0

2145sin 0=∑x

F , 045cos cos 03=-αF

解得 : 03=F

0=∑y

F

, 045sin cos 45cos 45cos 030205=++-αF F F

解得 M a

F F 225=

= 0)(=∑F M x

, 045sin 056=⋅-⋅-a F a F

解得 a

M F F -

=-=0

5645sin 0=∑Z

F

, 045sin sin 45sin 60543021=------F F F F F F α

解得 04=F

讨论 :本题解题过程中，采用了空间力系平衡方程的基本形式，即三投影三力矩形式。事实上，与平面一般力系一样，为简便计算也可以减少平衡方程中的投影方程式，而代以相同数目的力矩方程式。