空间向量计算距离与角度

【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中，1111111

44

A B B E D F ==

=，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．

【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中，1111BC AC BC AB ⊥⊥，．求证：11

AB AC =．

【例3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥平面

ABCD ，1

12

SA AB BC AD ====

，．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．

C 1

B 1

A 1

C

B

A D

C

B

A S

典例分析

板块四.用空间向量计算距离

与角度

【例4】 已知(023)A ，，，(216)B -，，，(115)C -，，，求方向向量为(001)j =，，直线与平

面ABC 所成角的余弦值．

【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，

60BAA DAA ''∠=∠=°，90BAD ∠=°，求AC '的长

【例6】 如图直角梯形OABC 中，π

2

COA OAB ∠=∠=

，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -．

⑴求SC 与OB 的夹角α的大小（用反三角函数表示）； ⑵设(1)n p q =，，，满足n ⊥平面SBC ，求 ①n 的坐标；

②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③O 到平面SBC 的距离．

【例7】 如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，

G 在AD 上，且4PG =，1

3

AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点．

⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； ⑵求点D 到平面PBG 的距离；

⑶若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求

PF

FC

的值． D '

C '

B 'A 'D

C

B

A

C

B

A

O

S

【例8】 已知E F ，

分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，求 ⑴1A D 与EF 所成角的大小； ⑵1A F 与平面1B EB 所成角的大小； ⑶二面角11C D B B --的大小．

【例9】 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11

AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求⑴长方体的高1BB ；⑵二面角B AF C --的大小．

【例10】 如图：在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，且2AB BC ==，E 是

AC 的中点，异面直线AD 和BE

所成的角为⑴BD 的长度；⑵二面角D AC B --的余弦值．

【例11】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点，

DE ⊥平面1BCC

⑴证明：AB AC =．

⑵设二面角A BD C --为60︒，求1B C 与平面BCD 所成角的大小．

P

G

F

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

【例12】 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===，

AB BC ⊥，求二面角11

1B AC C --的大小．

【例13】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱

12AA =，D 、E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD

∆的垂心G ．

⑴求1A B 与平面ABD 所成角的余弦值； ⑵求点1A 到平面AED 的距离．

【例14】 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD

，AD =，

2DC SD ==．点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=︒．

⑴证明：M 是侧棱SC 的中点； ⑵求二面角S AM B --的大小．

E

D

C 1

B 1

A 1

C

B

A

C 1

B 1

A 1

C

B

A

1

A

【例15】 如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂

直且DE ED AF ∥且90DAF ∠=︒． ⑴求BD 和面BEF 所成的角的余弦；

⑵线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值；若不存在，说明理由．

【例16】 如图，在空间四边形OABC 中，8645OA AB AC BC ====，

，，，45OAC ∠=°，60OAB ∠=°，求OA 与BC 的夹角的余弦值．

【例17】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，E 为棱1CC 上异于C 、1

C 的一点，1EA EB ⊥

，已知AB =12BB =，1BC =，1π

3

BCC ∠=

， 求：⑴异面直线AB 与1EB 的距离； ⑵二面角11A EB A --的平面角的正切值．

M

S

D C

B

A

P F

E D

C

B

A

C

B

A

O