(完整版)数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016421）
、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确. 综合（1）、（ 2）,
注意：数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论
、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式
用数学归纳法证明:
当n=k+1时.
k 1
2k 3
由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立.
证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 1
1 2n 1 n 2n 1
1 3 等式成立，即:
-，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k
2k 1
2k 1 2k 1 2k 1 2k 3
2k 1 2k 1 2k 3
2k 2 2k 1 3k 1
2k 3 2k 1 k 1 2k 1 2k 3
这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立,
题型2.证明不等式
11 1 _
例2 .证明不等式1 2你（n € N ）.
詔2 M 3 :. n
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2.
左边 ＜右边，不等式成立.
那么当n=k+1时， 1 .2
2 .k
2k 1 2.k 1
这就是说，当n=k+1时，不等式成立.
由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立.
说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是
1 1 1 1 ----------------------------------------
1 — — — ---------
2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明:
2 3 .k 、k 1
2、、k 1— 2 •. k 1
.
.k 1 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题
例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *).
(1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值.
a 2 十
⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1)
3 .
解：(1) 当 n = 5 时，
原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5
②假设n=k 时，不等式成立，即 1 1 2 .. 3 1
、、
2.k .
令x = 2 得a°+ a i + a2+ a3+ a4+ a5= 35= 243. ⑵因为(x+ 1)n= [2 + (x—1)]n，所以a2= C n22旷2
b n= 2—3= 2C n2= n(n —1)(n > 2)
①当n= 2时.左边=T2= b2 = 2,
2(2+ £(2 - 1 = 2,左边=右边，等式成立.
右边=
②假设当n = k(k>2, k€ N*)时，等式成立，
即T k=座土乎二!)成立
那么，当n = k+ 1时，
k(k+ ¥(k— " + (k+1)[( k+ 1) —1] = k(k+ ¥(k—1 + k(k + 1)
左边=T k+ b k+1 =
k(k + 1)(k+ 2)
=k(k+ 1)宁 + 1
(k+ 1)[( k+ 1) + 1][(k + 1)-1]=右边
故当n= k+ 1时，等式成立.
n(n+ 1)( n—1
综上①②，当n》2时，T n =。