注册岩土工程师基础考试基本公式汇总

中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b ) f ( a ) f ( )( b a ) f (b ) f ( a ) f ( ) 柯西中值定理： F (b ) F ( a ) F ( ) 当 F( x ) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率：
三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式： sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
lim
x 0
sin x 1 x 1 lim(1 ) x e 2.718281828459045... x x
多元函数的极值及其求法：
设f x ( x0 , y 0 ) f y ( x0 , y 0 ) 0，令：f xx ( x0 , y 0 ) A, f xy ( x0 , y 0 ) B, f yy ( x0 , y 0 ) C A 0, ( x0 , y 0 )为极大值 2 AC B 0时， A 0, ( x0 , y 0 )为极小值 2 则： AC B 0时， 无极 值 AC B 2 0时, 不确定
x ( x , y ) d
D

D
( x, y )d
, y
M M
y

y ( x , y ) d
D
( x , y ) d
D
平面薄片的转动惯量： 平面薄片（位于 Fx f
对于 x 轴 I x

D
y 2 ( x , y ) d , 对于 y 轴 I y
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tg ( ) tg tg 1 tg tg ctg ctg 1 ctg ( ) ctg ctg
( uv ) ( n ) u
(n)
C
k 0
n
k n
u (nk )v (k ) n ( n 1) ( n 2 ) n ( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) u v u v uv ( n ) 2! k!
v nu ( n 1 ) v
·倍角公式：
sin 2 2 sin cos cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 ctg 2 1 ctg 2 2ctg 2tg tg 2 1 tg 2 sin 3 3 sin 4 sin 3 cos 3 4 cos3 3 cos tg 3 3tg tg 3 1 3tg 2
定积分的近似计算：
矩形法： f ( x )
a b
ba ( y 0 y 1 y n 1 ) n ba 1 [ ( y 0 y n ) y 1 y n 1 ] n 2 ba [( y 0 y n ) 2 ( y 2 y 4 y n 2 ) 4 ( y 1 y 3 y n 1 )] 3n
弧微分公式： 平均曲率： K M 点的曲率： 直线： K 0 ; 半径为 a 的圆： K 1 . a ds 1 y 2 dx , 其中 y tg 化量； s ： M M 弧长。 . : 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变 s y d K lim . s 0 s ds (1 y 2 ) 3
重积分及其应用：

D
f ( x , y ) dxdy

DΒιβλιοθήκη Baidu
f ( r cos , r sin ) rdrd
曲面 z f ( x , y )的面积 A

D
z z 1 y dxdy x
2
2
平面薄片的重心：
Mx x M
cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
sin sin 2 sin
(x2 y 2 a 2 )
3 2
， F z fa
D
( x , y ) xd
(x2 y 2 a 2 ) 2
3
常数项级数：
等比数列：1 q q 2 q n 1 等差数列：1 2 3 n 调和级数：1
三角函数的有理式积分：
2u 1 u2 x 2du ， cos x ， u tg ， dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u2
一些初等函数：
两个重要极限：
e x ex 2 x e ex 双曲余弦 : chx 2 shx e x e x 双曲正切 : thx chx e x e x 双曲正弦 : shx arshx ln( x x 2 1） archx ln( x x 2 1) 1 1 x arthx ln 2 1 x
1 x2 1 (arccos x) 1 x2 1 (arctgx ) 1 x2 1 (arcctgx ) 1 x2
tgxdx ln cos x C ctgxdx ln sin x C sec xdx ln sec x tgx C csc xdx ln csc x ctgx C
dx
2
x x
sec 2 xdx tgx C csc 2 xdx ctgx C
a
sec x tgxdx sec x C csc x ctgxdx csc x C
x a dx
2
ax C ln a
shxdx chx C chxdx shx C

·正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c a b 2ab cos C
2
2
2
·反三角函数性质： arcsin x
arccos x arctgx arcctgx 2 2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
b
多元函数微分法及应用
全微分： dz z z u u u dx dy du dx dy dz x y x y z z dz f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y
全微分的近似计算：
多元复合函数的求导法 ： dz z u z v z f [ u ( t ), v ( t )] dt u t v t z z u z v z f [ u ( x , y ), v ( x , y )] x u x v x 当 u u ( x , y )， v v ( x , y )时， u u v v du dx dy dv dx dy x y x y 隐函数的求导公式： F F F dy d2y dy 隐函数 F ( x , y ) 0， x ， 2 ( x )＋ ( x ) dx Fy x Fy y F y dx dx Fy F z z 隐函数 F ( x , y , z ) 0， x ， x Fz y Fz F F ( x, y, u , v) 0 (F ,G) 隐函数方程组： J u G G ( x , y , u , v ) 0 ( u , v ) u u 1 (F ,G) v 1 (F ,G) x J ( x, v) x J (u , x ) u 1 (F ,G) v 1 (F ,G) y J ( y, v) y J (u , y ) F v Fu G Gu v Fv Gv
x
D
2
( x, y )d
xoy 平面）对 z 轴上质点 M ( 0 , 0 , a ), ( a 0 )的引力： F { F x , F y , F z }，其中：
3 2

D
( x , y ) xd
(x2 y 2 a 2 )
， F y f

D
( x , y ) yd
dx x a
2 2
ln( x x 2 a 2 ) C
I n sin n xdx cos n xdx
0 0
2
2
n 1 I n2 n

sin x
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a2 2 2 2 x a dx x a ln x x 2 a 2 C 2 2 x a2 x a 2 x 2 dx a 2 x 2 arcsin C 2 2 a x 2 a 2 dx
.一、高等数学公式
导数公式：
(tgx) sec2 x (ctgx) csc x (sec x) sec x tgx
2
(arcsin x)
1
(csc x) csc x ctgx (a x ) a x ln a (loga x)
基本积分表：
1 x ln a
cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差化积公式：
梯形法： f ( x )
a b
b
抛物线法： f ( x )
a
定积分应用相关公式：
功： W F s 水压力： F p A m1m2 , k为引力系数 r2 b 1 函数的平均值： y f ( x)dx ba a 引力： F k 均方根： 1 f 2 (t )dt ba a
·半角公式：
sin tg

2 2

1 cos 1 cos cos 2 2 2 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos sin 1 cos 2 1 cos sin 1 cos
dx 1 x arctg C 2 x a a dx 1 xa x 2 a 2 2a ln x a C dx 1 ax a 2 x 2 2a ln a x C dx x a 2 x 2 arcsin a C
cos sin
dx
2