流体动力学(双流体) 双流体的柏努利方程式
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Z Ⅰ Ph1
1
Ⅱ Ph2
ρ
2
h
Ⅱ P
1
Ⅰ P 1 Z1
ρ
Z2 X
由(1)-(2)式得：
(ph1-pa1)+ (ρh-ρa)gz1+ (ρhυ12)/2= (ph2-pa2)+ (ρh-ρa)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 因为管道内流动的是热气体；所以： ρh<ρa；即ρh-ρa<0； (3)
(6)
2）双流体柏努利方程式各符号的意义
(1) hs：相对静压头； 指单位体积气体所具有的相对压力能，在数值上等于管道内外 同一高度上气体的压强差。 hs=Ph-Pa J/m3或Pa
式中的hs1、hs2分别表示Ⅰ－Ⅰ，Ⅱ－Ⅱ两截面的相对静压头。
(2) hg：相对几何压头；
指单位体积气体所具有的相对位能； hg=(ρ a-ρ h)gz J/m3或Pa
小结：以上(3)、(4)、(5)式均为双流体的柏努利方程式，
但是它们各自的基准面选取和Z轴的方向各不一样；其中：
(3)式的基准面在两截面的下方，z轴的方向向上；
(4)式的基准面在两截面的下方，z轴的方向向上；
(5)式的基准面在两截面的上方，z轴的方向向下；
在实际计算中，我们多使用第 (5)式，同时将基准面选在
10 m
Ⅰ
Ⅰ
压头为多少？绘出这两种情况的能量
分布，并说明在此两种情况下的能量 转化关系。
Ⅱ Ⅱ
解题方法
1 分析问题是单流体问题还是双流体问题；
2 选定基准面， 是单流体问题基准面选在下面截面中心线的水 平面上，z轴方向向上为正； 是双流体问题时通常将基准面选在上面截面中 心线的水平面上，z轴方向向下为正；
由于ρ a>ρ h知，热气体所受的浮力大于自身重力， 说明温度较高，密度较小的气体具有自动向上的趋势， 所以相对几何压头可以理解为气体所具有的向上做功的 能力。
由于几何压头与基准面的选取有关，所以通常将基 准面选在所研究的容器的上部，这样在基准面上气体的 几何压头为零，离基准面越远，几何压头越大。 此外，相对几何压头还和密度差ρ a-ρ h有关。当 ρ h越小，外界温度T越小，ρ a越大时，相对几何压头 越大；
3) 分析已知条件： hk1=12Pa，hk Ⅱ ＝30Pa，hs1＝200Pa， hg Ⅱ ＝(ρa-ρh)gz Ⅱ = (1.2-0.75)×9.81×10， hp1- Ⅱ ＝15Pa； 将上面的条件代入双流体柏努利方程式有： 200+0+12＝hs Ⅱ + (1.2-0.75)×9.81×10+30+15
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh)gz1+ (ρhυ12)/2=
( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 (5)
(5)式即为双流体柏努利方程式。
若设备中的气体静止不动时，(5)式即变为双流体静力学 方程。 (ph1-pa1)+ (ρa-ρh)g(z1)= ( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g (z2) (6)
1.3.7.双流体的柏努利方程式
1.3.7.1 双流体柏努利方程式的推导
如图所示的管道中流有热空气，其密度为ρh，周围是冷 空气，密度为ρa；ph1、ph2及pa1、pa2 分别表示管道Ⅰ-Ⅰ， Ⅱ-Ⅱ两截面处内外气体的绝对压强；v1、v2分别为热气体在 Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ两截面处的流速；z1、z2分别表示Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ 两截面至基准面的距离。
较高位置截面的中心线上，这样另一截面到基准面的距离
就可以用两截面高度差的绝对值来表示。
1.3.7.2 双流体柏努利方程式中各符号的意义
1）简写的双流体柏努利方程式
由于双流体的柏努利方程式书写很不方便,所以采用了一种简写 的形式：
hs1+hg1+hk1=hs2+hg2+hk2+hp1-2
那么可以将(3)式写为：
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh) g (-z1)+ (ρhυ12)/2=
(ph2-pa2)+ (ρa-ρh) g (-z2)+(ρhυ22)/2 +hp1-2
由(4)式得到： (ρa-ρh) g (-z1)<0 和 (ρa-ρh) g (-z2)<0
(4)
为了计算的方便，于是可以令z＝－z，即将基准面移到 研究系统的上方， z轴方向取向下为正；那么(4)式可以变形 为：
(3) hk ：相对动压头；
指单位体积气体所具有的相对动能；
hk= (ρh υ22)/2 J/m3 或 Pa
(4) hp1-2：压头损失； 单位体积气体流动时的能量损失；它包括摩擦阻 力损失和局部阻力损失等。
1.3.7.3.双流体柏努利方程式中各能量的转换
例：热气体沿竖直管道流动，如图所 示，其密度为ρh为0.75kg/m3，外界空 气的密度为1.2kg/m3，Ⅰ－Ⅰ面动压头 为12Pa，Ⅱ－Ⅱ面动压头为30Pa，沿 程压头损失为15Pa，测得Ⅰ－Ⅰ面静 压头为200Pa，求气体由上而下和气体 由下而上运动时Ⅱ－Ⅱ截面的相对静
Z Ⅰ Ph1
1
Ⅱ Ph2
ρ
2
h
Ⅱ P
1
Ⅰ P 1 Z1
ρ
Z2 X
首先，将基准面选在两截面的下方，z轴的方向向上为正； 对管道内的热气体列出Ⅰ－Ⅰ，Ⅱ－Ⅱ两截面的柏努利方程 式： ph1 +ρh g z1+ (ρhv12)/2= ph2+ρh g z2+(ρhv22)/2 + hp1-2 (1) 对管道外的冷空气，由于气流可以看作是静止不动；所 以速度可以认为是零，那么能量损失项也为零，同样列出柏 努利方程式为： pa1 +ρa g z1=pa2+ρa g z2 (2)
解得：
hs Ⅱ ＝123 Pa 能量分布图见图a
能量分布图
12 气 流 运 动 方 向 200 气 流 运 动 方 向 hk hl hg 30 15 44 图a
15
3写出柏努利方程式； 分析已知条件，代数求解。
解题过程
分析：此问题为双流体问题，所以应该用双流体柏努利方
程式解决；同时基准面应该选在Ⅰ－Ⅰ面上； 解：一）假设流体由上而下从Ⅰ－Ⅰ面流向Ⅱ－Ⅱ面
1)பைடு நூலகம்写出双流体柏努利方程式：
hs1+hg1+hk1=hs Ⅱ +hg Ⅱ +hk Ⅱ +hp1- Ⅱ 2) 选基准面：将基准面选在Ⅰ－Ⅰ面上，那么z1＝0， 则hg1＝0；
1
Ⅱ Ph2
ρ
2
h
Ⅱ P
1
Ⅰ P 1 Z1
ρ
Z2 X
由(1)-(2)式得：
(ph1-pa1)+ (ρh-ρa)gz1+ (ρhυ12)/2= (ph2-pa2)+ (ρh-ρa)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 因为管道内流动的是热气体；所以： ρh<ρa；即ρh-ρa<0； (3)
(6)
2）双流体柏努利方程式各符号的意义
(1) hs：相对静压头； 指单位体积气体所具有的相对压力能，在数值上等于管道内外 同一高度上气体的压强差。 hs=Ph-Pa J/m3或Pa
式中的hs1、hs2分别表示Ⅰ－Ⅰ，Ⅱ－Ⅱ两截面的相对静压头。
(2) hg：相对几何压头；
指单位体积气体所具有的相对位能； hg=(ρ a-ρ h)gz J/m3或Pa
小结：以上(3)、(4)、(5)式均为双流体的柏努利方程式，
但是它们各自的基准面选取和Z轴的方向各不一样；其中：
(3)式的基准面在两截面的下方，z轴的方向向上；
(4)式的基准面在两截面的下方，z轴的方向向上；
(5)式的基准面在两截面的上方，z轴的方向向下；
在实际计算中，我们多使用第 (5)式，同时将基准面选在
10 m
Ⅰ
Ⅰ
压头为多少？绘出这两种情况的能量
分布，并说明在此两种情况下的能量 转化关系。
Ⅱ Ⅱ
解题方法
1 分析问题是单流体问题还是双流体问题；
2 选定基准面， 是单流体问题基准面选在下面截面中心线的水 平面上，z轴方向向上为正； 是双流体问题时通常将基准面选在上面截面中 心线的水平面上，z轴方向向下为正；
由于ρ a>ρ h知，热气体所受的浮力大于自身重力， 说明温度较高，密度较小的气体具有自动向上的趋势， 所以相对几何压头可以理解为气体所具有的向上做功的 能力。
由于几何压头与基准面的选取有关，所以通常将基 准面选在所研究的容器的上部，这样在基准面上气体的 几何压头为零，离基准面越远，几何压头越大。 此外，相对几何压头还和密度差ρ a-ρ h有关。当 ρ h越小，外界温度T越小，ρ a越大时，相对几何压头 越大；
3) 分析已知条件： hk1=12Pa，hk Ⅱ ＝30Pa，hs1＝200Pa， hg Ⅱ ＝(ρa-ρh)gz Ⅱ = (1.2-0.75)×9.81×10， hp1- Ⅱ ＝15Pa； 将上面的条件代入双流体柏努利方程式有： 200+0+12＝hs Ⅱ + (1.2-0.75)×9.81×10+30+15
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh)gz1+ (ρhυ12)/2=
( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g z2+(ρhυ22)/2 +hp1-2 (5)
(5)式即为双流体柏努利方程式。
若设备中的气体静止不动时，(5)式即变为双流体静力学 方程。 (ph1-pa1)+ (ρa-ρh)g(z1)= ( ph2-pa2)+ (ρa-ρh)g (z2) (6)
1.3.7.双流体的柏努利方程式
1.3.7.1 双流体柏努利方程式的推导
如图所示的管道中流有热空气，其密度为ρh，周围是冷 空气，密度为ρa；ph1、ph2及pa1、pa2 分别表示管道Ⅰ-Ⅰ， Ⅱ-Ⅱ两截面处内外气体的绝对压强；v1、v2分别为热气体在 Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ两截面处的流速；z1、z2分别表示Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ 两截面至基准面的距离。
较高位置截面的中心线上，这样另一截面到基准面的距离
就可以用两截面高度差的绝对值来表示。
1.3.7.2 双流体柏努利方程式中各符号的意义
1）简写的双流体柏努利方程式
由于双流体的柏努利方程式书写很不方便,所以采用了一种简写 的形式：
hs1+hg1+hk1=hs2+hg2+hk2+hp1-2
那么可以将(3)式写为：
(ph1-pa1)+ (ρa-ρh) g (-z1)+ (ρhυ12)/2=
(ph2-pa2)+ (ρa-ρh) g (-z2)+(ρhυ22)/2 +hp1-2
由(4)式得到： (ρa-ρh) g (-z1)<0 和 (ρa-ρh) g (-z2)<0
(4)
为了计算的方便，于是可以令z＝－z，即将基准面移到 研究系统的上方， z轴方向取向下为正；那么(4)式可以变形 为：
(3) hk ：相对动压头；
指单位体积气体所具有的相对动能；
hk= (ρh υ22)/2 J/m3 或 Pa
(4) hp1-2：压头损失； 单位体积气体流动时的能量损失；它包括摩擦阻 力损失和局部阻力损失等。
1.3.7.3.双流体柏努利方程式中各能量的转换
例：热气体沿竖直管道流动，如图所 示，其密度为ρh为0.75kg/m3，外界空 气的密度为1.2kg/m3，Ⅰ－Ⅰ面动压头 为12Pa，Ⅱ－Ⅱ面动压头为30Pa，沿 程压头损失为15Pa，测得Ⅰ－Ⅰ面静 压头为200Pa，求气体由上而下和气体 由下而上运动时Ⅱ－Ⅱ截面的相对静
Z Ⅰ Ph1
1
Ⅱ Ph2
ρ
2
h
Ⅱ P
1
Ⅰ P 1 Z1
ρ
Z2 X
首先，将基准面选在两截面的下方，z轴的方向向上为正； 对管道内的热气体列出Ⅰ－Ⅰ，Ⅱ－Ⅱ两截面的柏努利方程 式： ph1 +ρh g z1+ (ρhv12)/2= ph2+ρh g z2+(ρhv22)/2 + hp1-2 (1) 对管道外的冷空气，由于气流可以看作是静止不动；所 以速度可以认为是零，那么能量损失项也为零，同样列出柏 努利方程式为： pa1 +ρa g z1=pa2+ρa g z2 (2)
解得：
hs Ⅱ ＝123 Pa 能量分布图见图a
能量分布图
12 气 流 运 动 方 向 200 气 流 运 动 方 向 hk hl hg 30 15 44 图a
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3写出柏努利方程式； 分析已知条件，代数求解。
解题过程
分析：此问题为双流体问题，所以应该用双流体柏努利方
程式解决；同时基准面应该选在Ⅰ－Ⅰ面上； 解：一）假设流体由上而下从Ⅰ－Ⅰ面流向Ⅱ－Ⅱ面
1)பைடு நூலகம்写出双流体柏努利方程式：
hs1+hg1+hk1=hs Ⅱ +hg Ⅱ +hk Ⅱ +hp1- Ⅱ 2) 选基准面：将基准面选在Ⅰ－Ⅰ面上，那么z1＝0， 则hg1＝0；