函数的图像与性质(高考版)

高考巡航 高考对本部分考查主要从以下几方面进行： (1)对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二 次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其 在函数单调性、 奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练． (2)对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有 创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题 中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数 的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信 息.
2．函数的性质 ①单调性． fx1－fx2 f(x)在区间 D 上是增函数⇔任意 x1，x2∈D，x1≠x2， >0. x1－x2 ⇔任意 x1，x2∈D，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0. ②对称性． 函数 f(x)的定义域为 I，若对∀x∈I，满足 (1)f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)，则函数 y＝f(x)的图象关于 x ＝a 对称． (2)f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)，则函数 y＝f(x)的图象关 于(a,0)对称．
3．已知实数
x 4 ，x≥0 a≠1，函数 f(x)＝ a－x 2 ，x<0
，若 f(1－a)＝f(a－1)，
则 a 的值为________．
解析：当 a<1 时，4 1 答案：2
1－a
1 ＝2 ，a＝2，当 a>1 时，代入不成立．
1
a 4．在同一直角坐标系中，函数 y＝ax －x＋ 与 y＝a2x3－2ax2＋x 2 ＋a(a∈R)的图象不可能 的是( B ) ．．．
logbN loga(MN)＝logaM＋logaN logaN＝ log a b M loga N ＝logaM－logaN alogaN＝N.
[专题回访] 1．函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
(2)若对任意的 x∈R，y＝ 1－a 均有意义，则函数 大致图象是( B )
|x|
1 y＝loga x的
[自主解答] (1)由图象知，张大爷晨练时，离家的距离 y 随行走 时间 x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速 减小，故选 D. (2) 由题意得 1 － a|x|≥0 ，即 a|x|≤1 ＝ a0 恒成立，由于 |x|≥0 ，故 1 0<a<1.y＝loga x＝－loga|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函 数，故选 B.
[方法规律] (1)求函数定义域实质是解不等式或不等式组，注意 相关不等式的解法． (2)在分段函数中求解形如 f(g(x))的函数， 要遵循先内后外的原则， 在不确定自变量在哪一段时应注意分类讨论.
热点考向二 函数的图象及其应用 [典例 2] (1)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离 y 与行走 时间 x 的函数 y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大 爷行走的路线可能是( D )
5．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛 物线的一部分组成，则 f(x)的解析式是________．
x＋1，x∈[－1，0] 答案：f(x)＝1 x－22－1，x∈0，＋∞ 4
解析：当 x∈[－1,0]时，设
k＝1 解得 b＝1
2
－k＋b＝0 y＝kx＋b，由图象得 k×0＋b＝1
③周期性． 对函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，满足 (1)f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a. k (2)f(x＋a)＝ ，则 T＝2a. fx
二、重要公式 已知 a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，M>0，N>0. a · a ＝a
m n m＋n
n (am)n＝am·
(ab)mam· bm
[自主解答] 通解：f(ax＋1)≤f(x－2)⇔f(|ax＋1|)≤f(|x－2|)⇔|ax＋ 1 2 2 1|≤|x－2|， 所以(a －1)x ＋(2a＋4)x－3≤0 对任意的 x∈2，1恒成立， 当 a2－1≥0，即 a≥1 或 a≤－1 时， 1 2 1 a －1＋ 2a＋4－3≤0 2 4 ，得－2≤a≤－1；当 a2－1<0，即 a2－1＋2a＋4－3≤0 －1<a<1 时，令 g(x)＝(a2－1)x2＋(2a＋4)x－3，则其对称轴为 x＝－ 2a＋4 a＋2 2 ＝ 2 2>1 恒成立，所以 a －1＋2a＋4－3≤0，得－1<a≤0. 2a －1 1－a 综上，实数 a 的取值范围是[－2,0]，故选 A.
专能提升 log5x＋1 (－1,5) ． 1.(热点一)函数 y＝ 的定义域是________ 5－x log5x＋1 x＋1>0 解析：由 ，得－1<x<5，∴函数 y＝ 的定义域是 5 － x >0 5－x (－1,5)．
，
，所以 y＝x＋1.当 x>0 时，设 y＝a(x－2)2－1，由图象得 0
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1 1 ＝a(4－2) －1，解得 a＝ ，所以 y＝ (x－2)2－1.综上可知， 4 4 x＋1，x∈[－1，0] f(x)＝1 . 2 x－2 －1，x∈0，＋∞ 4
函数的概念及其表示 2 x ＋1，x>0， [典例 1](1)已知函数 f(x)＝ 则下列结论正确的是 cos x ， x ≤ 0 ， ( D ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) x 2 ，x≤0 (2)设函数 f(x)＝ ，若对任意给定的 t∈(1，＋∞)， log2x，x>0 都存在唯一的 x∈R，满足 f(f(x))＝2a2t2＋at，则正实数 a 的最小值是 ( B ) 1 1 1 A．2 B.2 C.4 D.8
热点追踪 热点考向一
[自主解答] (1)因为 f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以 f(－π)≠f(π)， 所以函数 f(x)不是偶函数， 排除 A； 函数 f(x)在(－2π， －π)上单调递减， 排除 B； 函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递增， 所以函数 f(x)不是周期函数， 排除 C；因为 x>0 时，f(x)>1，x≤0 时，－1≤f(x)≤1，所以函数 f(x) 的值域为[－1，＋∞)，故选 D. (2)根据 f(x)的解析式易知其值域为 R， 又当 x≤0 时， f(x)＝2x 的值 域为(0,1]；当 x>0 时，f(x)＝log2x 的值域为 R，∴要想在 t∈(1，＋∞) 上存在唯一的 x∈R 满足 f(f(x))＝2a2t2＋at，必有 f(f(x))>1(∵2a2t2＋ at>0)，∴f(x)>2，解得 x>4，当 x>4 时，x 与 f(f(x))存在一一对应的关 系，∴2a2t2＋at>1，t∈(1，＋∞)，且 a>0，∴(2at－1)(at＋1)>0，解得 1 1 1 1 t> 或 t<－ (舍去)，∴ ≤1，∴a≥ ，故选 B. 2a a 2a 2
核心梳理 [知识回顾] 一、概念 1．函数图象的变换规律 ①平移变换 a．将 y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位，得到 y ＝f(x＋a)的图象． b．将 y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位，得到 y ＝f(x)＋b 的图象．
②对称变换 a．作 y＝f(x)关于 y 轴对称图象得到 y＝f(－x)的图象． b．作 y＝f(x)关于 x 轴对称图象得到 y＝－f(x)的图象． c．作 y＝f(x)关于原点对称图象得到 y＝－f(－x)的图象． d． 将 y＝f(x)在 x 轴下方的图象翻折到上方， 与 y＝f(x)在 x 轴上方 的图象合起来得到 y＝|f(x)|的图象． e．将 y＝f(x)在 y 轴左侧部分去掉，再作右侧关于 y 轴的对称图象 合起来得到 y＝f(|x|)的图象．
热点考向三 函数的性质及应用 [典例 3] 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 1 不等式 f(ax＋1)≤f(x－2)对任意的 x∈ 2，1恒成立，则实数 a 的取值 范围是( A ) A．[－2,0] B．[－3，－1] C．[－5，－1] D．[－2,1]
解析：由题意可得 x2－x>0，解得 x>1 或 x<0，所以所求函数的定 义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案：C
2．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－3x， 则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( ) A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－ 7，1,3} D．{－2－ 7，1,3}
[方法规律] 函数性质的应用 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、 函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分 (一半)区间上， 这是简化问题的一种途径． 尤其注意偶函数 f(x)的性质： f(|x|)＝f(x)． (2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根 的唯一性． (3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把 不在已知区间的问题，转化到已知区间求解．
2
a 解析：令 a＝0，则函数 y＝ax －x＋2与 y＝a2x3－2ax2＋x＋a 分别 a 2 为 y＝－x 与 y＝x， 对应的图象是选项 D 中的图象． 记 f(x)＝ax －x＋ ， 2 1 1 1 g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，取 a＝2，则 g(0)>f(0)>0.而 f(x)＝2x2－x＋4＝ 2 1 1 2 2 －∞， 和 3 2(x－1) －4，令 g′(x)＝0，得 x＝3，2，易知 g(x)在区间 2 (2，＋∞)上单调递增，在区间 3，2上单调递减，所以 g(x)的极小值 12 1 1 1 1 1 1 为 g(2)＝2 ×23－2×2×22＋2＋2＝2，又 f(2)＝2×22－2＋4＝4，所 以 g(2)>f(2)，所以选项 A 中的图象有可能．
2
1 1 取 a＝2，则 g(0)>f(0)>0，令 g′(x)＝0，得 x＝ ， ，易知 g(x)在 6 2 1 1 1 1 区间－∞，6和2，＋∞上单调递增，在区间6，2上单调递减，所 1 13 12 1 以 g(x)的极小值为 g2＝4×2 －4×2 ＋2＋2＝2，又 f(x)＝2x2－x 1 12 1 1 1 ＋1>0，f2＝2×2 －2＋1＝1，所以 g2>f2，所以选项 C 中的图象 有可能．利用排除法选 B.
解析：当 x≥0 时，函数 g(x)的零点即方程 f(x)＝x－3 的根，由 x2 －3x＝x－3，解得 x＝1 或 3； 当 x<0 时，由 f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－ x)＝x2－3(－x)，即 f(x)＝－x2－3x.由 f(x)＝x－3 得 x＝－2－ 7(正根舍 去)．故选 D. 答案：D
[方法规律] 作图、识图、用图的方法技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变 换、伸缩变换和对称变换．尤其注意 y＝f(x)与 y＝f(－x)，y＝－f(x)，y ＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及 y＝af(x)＋b 的相互关系． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋 势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意 用好其与图象的关系，结合图象研究.