第五章对流扩散问题(多维对流扩散问题)

n 1 P
U P x VP y ) S P
xx yy 2 A x 2 B y g
A 0.5 RU P , B 0.5 RVP , R n 1 g (P P ) SP t
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
给线化的方程配置边界条件
R n 1 ( C nb nb C P P C P S P ) t n 1 P ( 1 C P R / t )
8
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 如果把上式中的h和k改为x和y，则就获得了以前边 所配一类边界条件下对流扩散问题的精确解
R n 1 ( Cnb ( x, y ) nb CP ( x, y ) P C P ( x, y )S P ) t n 1 ( x , y ) (1 C P ( x, y )R / t )
De Dw 1, W 50, Fe Fw 4 Ds Dn 1, Fs Fn 4 E 200, S 50, N 200,
则，
a E 1 4 / 2 1 a W 1 4 / 2 3 a N 1 4 / 2 1 a S 1 4 / 2 3 a P 1 3 1 3 4
分离变量法
R n 1 ( C nb nb C P P C P S P ) t n 1 P ( 1 C P R / t )
8
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 其中，
CEC exp( Ah ) exp(Ah ) PB , C WC PB 2 cosh( Ah ) 2 cosh( Ah ) exp(Ah Bk ) (1 PA PB ) 4 cosh( Ah ) cosh( Bk ) exp(Ah Bk ) (1 PA PB ) 4 cosh( Ah ) cosh( Bk )
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
xx yy R( t U x V y ) S
时间项采用单侧差分 采用全隐格式
n n 1
R( t
n xx n yy
U V ) S
n x n y
n
简略重写
xx yy R( t
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
基于上边这个思路，人们进行了这方面的尝试
二维对流-扩散问题
非稳态二维对流-扩散问题的控制方程可以写成如下 通用无量纲形式
xx yy R( t U x V y ) S

速度 温度
R
S
Reynolds数 压力梯度项 Peclet数 热源项
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
0 P P xy 0 P P xy ty (u
) e ty (u )w x x tx(v ) n tx(v ) s txyS c txyS P P y y
Fe a E De 2
Fn a N Dn 2
Fs a S Ds 2
P Vol P a P anP (Fe Fw Fn Fs ) Vol P (Sp )P t
n n 1 P P Vol P b (S C )n P Vol P t
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 5. 3 多维对流扩散问题
1 二维对流扩散问题
u v ( ) ( )S t x y x x y y
和一维一样，同样假定u和v已知，且满足连续方程
u v 0 t x y
t S t
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
0 P P xy 0 P P xy J e J w J n J s xyS c xyS P P t
Vol P xy
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 四项准则之正系数准则
对任何问题，得到差分方程之后，在求解之前先验证四 项准则是否满足，连续性、系数之和和源项负线化没有 什么新东西，也不会出现什么有待解决的问题，所以， 我们重点检验正系数准则
Fe aE De 0 2
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
解决负系数问题
回顾一维解决负系数的方法，主 要是依据精确解找原因，围绕精 确解寻找办法，构造能够保证正 系数准则的格式
借 鉴
能否在二维或多维的情况下也找到边值条件下的精确解
基于这个精确解，用节点值构造和表达控制容积界面上待 求量的值和一阶导数值。 获得二维/多维保证正系数准则的格式
P (1 * 200 3 * 50 1 * 200 3 * 50) / 4 25
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
Pe / w / n / s 2
aE / W / N / S / P 0
a
得不到合理 的数值解 负系数问题必 须得到解决
nP
aP
1
迭代求解能否 收敛没有保障
m 1
( Ah )
( 1)m mh
2
( mh)2 cosh( ( A 2 B 2 2m )k

2
1 m h (m ) 2
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题 以上边得到的中心节点与相邻节点的关系式作为 差分方程，则这种方程离散化的方法称之为有限 分析法，即：
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
即：
u v ( ) ( )S t x y x x y y
x u ( ) t x x x
y v ( ) t y y y
8
分析负系数的原因
寻找解决负系数的方法
获得保证正系数准则满足的格式 甚至用精确解来构造格式
？
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
所以，象一维那样基于精确解来构造保证正系数准则满 足的格式显然是难以实现的。但另一方面，考虑到不论 是一维，还是二维或三维： 中心差分格式不满足正系数准则的根源在于控制容积 界面上待求变量值受两侧节点值的影响是不对称的， 不对称的程度受风向和风速影响 扩散项在风速较小时，采用线性假定是合理的，而较 大时，相对对流项的影响是可以忽略的 在一维情况下建立的各种保证正系数准则的格式均不 同方式的考虑了以上因素，那么我们能否把一维的格 式在多维情况下推广呢？这样我们就可以比较容易和 简单的得到多维情况下保证正系数准则满足的格式， 而且又具有一定的合理性，即在空间方向可以看成是 采用分离变量来求解。
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
在下图所示的网格中对上述方程在P点的控制容积中积分
N
y n
y n
x n W w P s
x w
y n
y s
e
E
y
y s
y
s
x w
S
x e
x e
x w
xe
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
即有：
NW NC NE EC
h
WC
y P x
k
分 段 线 性 型 线
ห้องสมุดไป่ตู้
二 项 式 分 布 型 线
多 项 式 指 数 型 线
SW
SC
SE
a E bE y 0 y k E ( y ) a E c E y k y 0
-
E ( y ) a E bE y c E ( e 2 By 1 )
n 1
U x V y ) S
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
在NW-NC-NE-EC-SE-SC-SW -WC-NW这个区域上对控制 方程进行线化
NW WC NC P NE EC
U U P , V VP , S S P
SW
SC
SE
p xx yy R( t

e n

t
dtdxdy
ws

e n
dtdxdy
ws

e n
(( ) ( ) 0 )dxdy t [u
s

n
]e [u ]w dy x x
t [v
w

e
]n [v ]s dx t(S c S P P ) xy y y
ws e n t t t

dtdxdy t

n e
t t [ (u )] x x s w
t t
t t t
dtdxdy
( S c S P ) t t
t t t
t t [ (v )] y y ws
CNC
exp( Bk ) exp(Bk ) PA , CSC PA 2 cosh( Bk ) 2 cosh( Bk ) exp( Ah Bk ) (1 PA PB ) 4 cosh( Ah ) cosh( Bk ) exp( Ah Bk ) (1 PA PB ) 4 cosh( Ah ) cosh( Bk )
E ( y ) a E bE y c E y 2
第三章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
xx yy 2 A x 2 B y g
E ( y ) f E ( y ), W ( y ) f W ( y ) N ( x) f N ( x), S ( x) fS ( x)
Fw a W Dw 0 2
Fn a N Dn 0 2
Fs a S Ds 0 2
a P a E a W a N aS (Fe Fw Fn Fs ) 0
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
可以看到在贝克勒数的绝对值小于2的时候，相邻节点的 四个系数和中心节点系数均不会出现负值，但是当流动 速度速度较高，贝克勒数的绝对值大于2时，相邻节点系 数必然会出现小于零的情况，给我们获得合理真实的数 值解带来困难。 例如：对于一个稳态无源项的对流扩散问题，假定
J s x(v )s x( )s y S P Fs Ds ( P S ) 2
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
a P P anP nP b
其中nP=E, W, N, S, 表示P的邻点。
Fw a W Dw 2
J w y(u ) w y( )w x W P Fw Dw ( P W ) 2
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
J n x(v )n x( )n y N P Fn Dn ( N P ) 2
CSW
CSE
CSW
CSE
CP
h tanh( Ah ) k tanh( Bk ) (1 PA ) (1 PB ) 2A 2B
PA 4Ah cosh( Ah )conh(Bk ) coth( Ah )E2
E2

PB 1
Bh coth( Bk ) )( PA 1) Ak coth( Ah
0 P P xy 0 P P xy J e J w J n J s xyS c xyS P P t
第五章 对流扩散问题———多维对流扩散问题
中心差分格式
J e y(u )e y ( )e x P E Fe De ( E P ) 2