动力系统课件

例子（二）
蝴蝶效应（与周围隔离且季节变化较为恒定—不变法则及
无外部影响）
不变法则保证了次年夏天的数量仅依赖于当年夏天的数量， 且这依赖关系每年都相同。
指数增长的
竞争
数学中的动力系统
动力系统可看作是某个函数，反复地重复同一件事情。
状态向量-- 准确地用数值描述了某一真实或假想系统的 状态 例：(1)垂直向上抛球：离地面的高度h和向上的速度v (2) 银行账户本金100美元，按每年6%的利率， 账户的收支平衡 (3) 全球各地的天气（温度、压力、速度等等） 函数（或法则）--给定当前状态，下一时刻系统将往何处去
力系统。
状态点的集合称为相空间（phase space)
从相空间的一个状态点到另一个状态点的运动称为相 流（phase flow)
下一时刻：离散时间
函数（法则）决定了系统如何随时间改变：即已知系统 当前状态，法则告诉我们系统下一时刻的状态。 例：银行账户
x ( k )是系统在时刻k的状态。k代表离散时间。
动力系统的稳定性
混沌
混沌应用
流体混合搅拌
微波炉设计（chaotic defrost) 医学
混沌机制在神经信息处理的作用
气象学分析 混沌通信
Lorenz 吸引子
Rossler 吸引子
Smale马蹄
Singular cycle(Fig.1)
A singular cycle gives rise to (singular) horseshoe Ref. Labarca and Pacifica’s work
例子 根的寻找
对分搜索（微积分中的介值定理）
给定
f ( a ) 0 f (b )
，考虑中间点
z
(a b) 2
Newton法（速度快，但不永远可靠）
描述一个力学系统：状态参量；从一个状态点到另一
个状态点的对应法则。
具备这两个要素的系统自Poincaré以来被称为一个动
无限维空间
1996年，Neerven提出了较新的结论 2000年，Clark等将Lyapunov稳定性理论扩展到了线
性非自治系统
对Lyapunov函数的要求


通常要求Lyapunov函数是光滑正定的
可能存在不连续的Lyapunov函数（Bacciotti & Rosier, 1998） 可能是下半连续函数，或是不连续的函数（Chellaboina, 1999,

Lyapunov函数的构造的一般方法：
针对特殊的非线性系统，作出具体的Lyapunov函数， 通常为所研究系统的能量函数，或是能量值加上一个额 外的能量因子，从而解决具体的个别问题。
Lyapunov稳定性理论最早解决有限维空间的问题
1970s将对线性自治系统的研究从有限维空间扩展到了
下一时刻：连续时间
例：垂直向上抛球
由于时间连续变化，没有下一“即时”时刻。此时我们 用t表示时间，考虑系统在任意给定的时刻是如何变化的。 球向上的速度是dh/dt=v；重力把球向下拉dv/dt=-g，因 此，系统的改变为
动力系统分为连续动力系统和离散动力系统
保守系统----相流可压缩系统
无约束优化问题
1991年，Nocedal提出了无约束的优化算法理论。 1997年，Schropp开始将动力系统应用于优化问题的研究工作，并取

得了一定的进展。他利用梯度方程 x ( t ) f ( x ) 的解的定量特性计算实值 函数 f 的局部极小值。并且在所有平衡点都是正则的假设条件下，用任 意的定常步长的单步或线性多步法离散化相应的动力系统，证明了有 界轨迹的全局收敛性。此外，在 A ( ) 稳定的情况下推导出了刚性优化问 题的有效算法。
典型的动力系统可以由依赖于时间的微分方程所描述，并且该微分方程是
依赖于参数的。除了上述提到的优化平方差的方法以外，还可以运用残差范数的 方法，比如说利用绝对残差的最小值，或者绝对残差的最大值。在参数识别，尤 其是关于动力系统中参数识别这方面的研究，Schittkowski做了大量的研究工作
此外，在参数识别问题中经常会遇到灵敏度矩阵(sensitivity matrix)这一概念。
Philipp对Hilbert空间中的这类动力系统，考虑了未知参数 q 的识别问题。 原有的基于在线的参数识别问题都是针对线性的、有限维问题 y ( t ) A ( t ) q 而Philipp在这篇论文中，基于预估误差的极小化，将动力系统的参数识别问题扩 展到了非线性无限维的情况，并用Lyapunov理论证明了这个问题的稳定性。
科郝曲线
被用作晶莹剔透的雪花模型
谢尔宾斯基三角形垫片
谢尔宾斯基地毯
门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔
皮亚诺曲线
无论X是有限维的还是无限维的，都需要研究如下四 个方面：
所研究系统的解的存在性；
解的唯一性；
解的稳定性（对于初值）；
系统的鲁棒性。
Question:找到不动点后，如何判 断其稳定性？
自然中的动力系统 例子（一）
Βιβλιοθήκη Baidu 对踵之兔(澳大利亚)
比萨斜兔 (1202,Leonardo)
“某人有一对兔子，养在一处四周被围墙围着的地方。我们希望知道，如果这对 兔子每月生一对小兔，且新生的兔子在两个月大时便可繁殖，那么一对兔子一年 中可繁殖出多少对兔子。若第一对兔子在第一个月内生一对小兔，则兔子增加一 倍，第一个月末便有两对兔子；第一对兔子在第二个月内生一对小兔，这样，第 二个月末便有三对兔子。至此，一个月内会有两队兔子怀孕，从而第三个月末会 有五对。于是，同一个月内会有三对兔子怀孕，从而第四个月末会有八对……加 上第一个数与第二个数，即1和2，第二个数与第三个数，第三个数与第四个数……”
耗散系统----相流不可压缩系统
动力系统
连续动力 系统
离散动力 系统
耗散

保测度流 Hamilton系统
Poincar é截面
保测度映射 辛映射
离散动力系统与连续动力系统的转换
连续动力系统可以通过(1)取Poincare截面的方法， (2)等时映射方法：即每一相同时间记下一个状态点的 方法来获得离散动力系统；
1.
结构稳定性、分岔、分形与混沌
结构稳定性或鲁棒性
当动力系统受到小扰动后拓扑结构保持不变 分岔 当某个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的扰 动都可使系统的拓扑结构发生突然的变化。 含参数的动力系统还可能通过一系列的分岔导致混沌运 动的产生。 混沌 某些确定性系统的随机性过程； 某些非线性动力系统具有的一种特定性质； 系统的解对初值具有敏感的依赖性。

离散动力系统可经过适当的方法扩充成一个流， 但这种扩充一般不常见，因为研究映射通常比研究常 微分方程更容易。一个连续系统，通过Poincare截面 得到一个界面上的映射，该映射的性质可以通过 Poincare截面反映原系统的性质。

动力系统的其它分类
确定性与随机系统（方程是否含随机项） 2. 自治与非自治系统（右端f是否显含时间） 3. 可逆与不可逆系统 可逆：x(t)唯一得到x(t-1). 只要任一轨道不并和，就 是可逆系统。连续的确定性流总是可逆的。映射系 统则未必。从一个流得到的映射总是可逆的。保守 映射可逆的。只要映射的Jacobi行列式不为零，该映 射是可逆的。 4. 其他，如：随机性(K系统、C系统)
其主要出现于对依赖于参数的系统的定量及定性的研究中。灵敏度矩阵是研究系统对于 参数依赖性的强有力的工具。系统关于参数的灵敏性方程通常应用于优化问题、反问题、 模型选择，以及生物学、力学和控制论中。
由于实际模型对于参数的依赖，人们越来越多的关注这方面的研究。特别是具概率测度
的动力系统，在实际问题中尤为普遍。这一类问题可归结为如下的一般动力系统：
1998年，Alvarez等人用与牛顿法相关联的动力系统方法解决了参数
凸优化问题。
三、非线性动力系统的稳定性和 渐近稳定性
19世纪末 俄国数学家 Lyapunov
稳定性理论 Lyapunov 第一方法 通过解系统的微分方程式， 根据解的性质判断系统的稳定性；
Lyapunov第二方法 无需求解系统的微分方程式 就可以对系统的稳定性直接进行分析判断。构造辅助 函数，称其为能量函数。
随后，在2004年，他们又研究了具有反应--扩散现象的三维种群生态动力系统的参数识
别问题。依据该系统正问题的解的性质，建立了参数识别的数学模型，并论证了系统正问
题的解关于待识别参数的连续依赖性与参数识别问题的最优解的存在性。
在实际应用中，许多依赖于时间的问题都可以归结为非线性动力系统的简单形式：
哈尔滨工业大学数学系
引言
动力系统的研究现状及分析 非线性动力系统的稳定性和渐近稳定性 解非线性不适定问题的渐近正则化方法 求解非线性不适定问题的动力系统方法和离散化方法
一、引言
什么是动力系统？
动态的；确定性；可预测性。
动力系统研究的主要动因，是它在处理与我们周围世
界的关系中随处可见的重要性。 数学中的动力系统 自然中的动力系统
Singular cycle (Fig.2)
homoclinic singular cycle gives rise to horseshoes.
Ref. Silnikov’s work
几种自然分形图形
B.B.Mandelbrot 集
同学们自己做的mandelbrot集合图像
立体图形
茱莉亚集

Lyapunov理论的直接应用
2003年，Xu和Yung研究了Banach空间的非线性时变动力系统
的Lyapunov稳定性理论，并将Lyapunov稳定性定理和Barbashin--Krasovskii-LaSalle不变集原理扩展到了无限维Banach空间进一步加以研究。在解存在及运 动可加性的前提假设下，提出了一致稳定及一致渐近稳定的充分必要条件，并 构造了Lyapunov函数。这一扩展理论也可作为连续系统及不连续系统的稳定性 的有效的判别标准。 1995年，吴忠麟和吴新元基于Lyapunov的渐近稳定性和常微分方程的非线性 求解方法，提出了解方程 f ( x ) 0 在[a,b]内的根的非线性迭代公式。它的突出 特点即它是全局收敛的，并且不需要估计导数值 f '( x ) 就可以找到每一个新的 迭代值 f ( x )
分形---1. 若集合的Hausdorff维数大于其拓扑维数（Cantor三分集、
Koch曲线、Sierpinski垫) 2. 若集合的整体与其组成成分具有某种自相似性。 3. Falconer ①A具有精细的结构，即有任意小比例的细节； ②A是如此的不规则，以致它的整体和局部都不能用传统 的集合语言来描述； ③A通常有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的； ④A的某种分形维数大于其拓扑维数； ⑤在大多数令人感兴趣的情形下，A以非常简单的方式定 义，或由迭代产生。
其中P是概率测度。实际上，这类含有概率参数的系统并不是一个新的问题，最早的工 作可以追溯到Young在变分学中的广义曲线问题。
2002年，李春发，冯恩民等人研究了一类弱耦合反应--扩散动力系统的参数识别问题。
通过构造上、下解，证明了反应--扩散方程组的解的存在唯一性，并给出了求解参数识别 问题的最优化关系，从而可以选取适当的梯度法或者共轭梯度法，实现对系统参数的识别。
线性化
Lyapunov function
Lyapunov方法
x
二动力系统方法的研究现状及分析
连续型方法
参数识别问题
参数识别在自然科学、工程控制、及其他学科中都起着非常重要的作用。 它的主要想法是通过优化实验数据与理论的拟合函数值之间的距离，识别数学模
型中的某些未知参数。因此，尽管某些参数无法直接测量出来，但是可以通过最 小二乘拟合而得到。
Li,2000）

系统的解也可能是不连续的（Biles & Schechter,2000 DeLaubenfels & Vu Quoc Phong, 1997; Kunstmann,1998） Gen-Qi Xu, Siu Pang Yung, 2003, 用Lyapunov稳定性理论研究

的）
Banach空间的非线性动力系统的稳定性。（Lyapunov函数和解都可以是不连续