运筹学——图与网络模型3

v xij x ji 0 vj vj v
vi s vi s, t —守恒方程 vi t
它表示发点s有值为v的出流,收点t有值为v的入流,除收点和发点 外,流入顶点vi的流量等于流出vi的流量,称此规则为守恒方程。
v1
3,1
2,1
v2
1,1
3,2
C cs1, cs3 , c12 , c23 , c2t , c34 , c42 , c4t
从vt开始，按照标号点的第一个标号，用反向追踪的方法， 找出一条从 vs 到 vt 的增广链 μ ，如图中双箭线所示。不难看 出,μ+={(vs ,v1),(v3 ,vt)},μ– ={(v2 ,v1) , (v3 ,v2)}, 取θ=1，在μ上调整x，得到
v2
(3 , 3) s (5(5 2) ) , ,1
(1 , 1) (1 , 1)
(5 , 1)
v1 (2 , 2) v3 (vs , 4) (-v2 , 1)
(2 , 1)
（4）看v2:在弧（v2 ,v4）上，x24 =3
<c24=4,故给v4标
号（v2 , l(v4) ）其中 l(v4 )=min[ l(v2) , (c24 –x24)]= min[1 , 1]=1. 在弧（ v3 ,v2)上， x32 =1 > 0 ,故给 v3 标号（-v2 ， l(v3)) , 其中 l (l(v3 )= min[l(v2) , x32] = min[1 , 1] =1。
10
2
10
10
v1
（2,1）
v2
（3,1）
40
（3,2）
20
10
s
15 40
vs 1
15
（1,0） 15
v4
v3
40
（2,2）
（1,1）
15
t
v6
15 45
v t8
（2,2）
（2,1）
v30 4
20
v3
v7
令 xij 为通过弧 (vi , v j ) 的流量，则有流量与容量的关系： 0 xij cij —流量限制 流 x ( xij )要满足守恒规则:
（5）在v3 ,v4中任意选一个，比如v3 ,在弧（v3 ,
vt ）
上 ， x3t =1< c3t =2, 故 给 vt 标 号 (v3 ,l(vt)), 其 中 l(vt)=min[l(v3),(c3t-x3t)]=min[1,1]=1.因为 vt 被标上号， 根据标号法，转入调整过程。
2.调整过程
2.增广链与截集
1）前向弧、反向弧：设P 是D 中从S 到t 的途径,若其中某一弧 (vi , v j ) 的方向也是从S 到t 的方向,则称它为前向弧,否则称 为反向弧。
2）增广链：设 x ( xij ) 是G上一个可行流,如果对 P 的每个前向弧 (vi , v j ) 有 xij cij,每个反向弧 (vi , v j )有 xij 0 ,则称 途径P是关于流 x ( xij )的增广链。
v1
3,1
2,1
前向弧
v2
1,1
3,2
v1
3,2
2,2
v2
1,0
3,2
s
2,2
1,0
t
2,1
s
2,2
1,0
t
2,2
v3
前向弧
2,2
v4
v3
2,2
v4
反向弧
某河流中有4个岛屿，从两岸至各岛屿之间共有13座桥梁相连。 6 C 13 A 在一次敌对的军事行动中，指挥官决定炸断一些桥梁， 12 5 9 7 以切断两岸的交通联系。 11 2 问题是至少需要炸断哪几座桥梁，才能达到目的。 4 1 F
(4 , 3)
(1 ,, 0) 1 1 ((1, ,10) 1 )
v4
(5 , 3)
(3 , 0)
(2 ,, 1) (2 2) v3
t
v1
(2 , 2)
调整后的可行流x*，如图所示，再对这个可行流从新进 行标号过程，寻找增广链。
v4
(5 , 3)
(3 , 0)
(2 , 1)
t
v1
(2 , 2)
v3
v2 (3 , 3)
(4 , 3)
v4
(5 , 3) (1 , 1) (3 , 0)
解：用标号法。
1.标号过程。
s (5 , 1)
(1 , 1)
(2 , 1)
1
v （1）首先给vs标号（0，+∞） （2）看vs : 在弧(vs ,v2)上,xs2=cs3=3
v xij x ji 0 vj vj v
vi s vi s, t —守恒方程 vi t
可行流:满足流量限制和守恒方程的流称为可行流,也称为(s,t)－流。 最大流问题(MFP) ：求流量最大的可行流问题。 求最大流问题的线性规划模型为: max
v
xij x ji v, vi s vj vj xij x ji v, vi t vj vj s.t. xij x ji 0, vi s, t vj vj 0 xij c ji , 对任意 (vi , v j ) A
如果 v j 被标号且存在一条弧 (vi , v j ) 使 xij 0 ，则给未标号
的顶点 v i 标上 ( j, (i)) ，其中 (i) min{ ( j ), xij }
（4）当过程继续到t被标号时，一个从 S 到 t 的增广链产生了， 因而流量可以增加 (t ) ；如果过程没有进行到 t 就结束了， 则不存在从 S 到 t 的增广链，说明当前已是最大流。
Cij 0
x 非饱和弧： ij Cij
非零流弧：xij 0
增广路特点：1、前向弧为非饱和弧。 2、后向弧为非零流弧。 其特点可说明：前向弧可增加流量。后向弧可减少流量。
5）几个结论
①任一可行流的流量总不超过某个截集的截量。
②(增广链定理):一个可行流是最大流的充要条件是 不存在增广链。
引例
某电力公司有三个发电厂，它们负责五个城市的供电任务，输电 网络如下图所示。图中顶点v1、v2、v3代表发电厂， v4、v5、v6、 v7、v8代表城市。已知三个发电厂在满足五个城市用电需求量后 还分别剩余15MW、10MW和40MW的发电能力，见下图顶点v1、 v2、v3上的数字。输电网还剩余输电能力，见下图中弧旁的数字。 城市v8由于经济发展要求增加供应电力65MW。问该输电网的输 电能力能否满足需要?若不能,应增建哪些输电线路。
(V1,V2 ) {(vi , v j ) : vi V1, v j V2 , (vi , v j ) A}
截量：截集（V1，V2）中所有弧的容量之和称为该截集的截 量，记为C(V1，V2)，即
C (V1 , V2 )
ij ( vi , v j )(V1 ,V2 )
c
饱和弧： xij 4） 零流弧： xij
③(最大流最小截集定理):任何带发点 s 和收点 t 的容量
网络中，最大流的流量等于最小截集的截量。
v2
2
v4
4
4 2 1 3 7
v5
v6
求网络图中最大流的流量。
v1
6
v3
5
v2 v2
2,2
v4
v2 2
2,2
v4
4,4
v1 1
4,4
2,2 -2 +3
v3 3
4,4
v1 v1
4,4
2,1 -1
1,0 +1
D
8
10
E
B 1 2
3
A
5
6
B
3 4 7
C
10
D
8
9 11
E
12 13
F
3）截集：将网络D=(V,A,C)的顶点集V分为两部分V1和V2，使 s V1 , t V2 ，且 V1 V2 ,V1 V2 V ，则把从V1指向V2的 弧的全体称为分离V1和V2的一个截集，记为（V1，V2），即

为了在图中将cij 和xij 都表示出来，一般在弧(vi,vj)旁标上(cij ，xij )。
标上流量和容量的图称为流量图。
v1
3,1
2,1
v2
1,1
3,2
C cs1, cs3 , c12 , c23 , c2t , c34 , c42 , c4t
t x xs1, xs3 , x12 , x23 , x2t , x34 , x42 , x4t
10
v2
40
10
v5
20 15 10
v1
15
15
v4
30 40
v6
15 45
v8
v3ห้องสมุดไป่ตู้
20
v7
四.最大流问题
1.网络流 设有向网络D=（V,A,C）, 弧 (vi , v j ) A 的权 cij 0 为容量， 且 cij C 。
通过弧 (vi , v j )的量称为流量，记作 xij 。 所有弧上流量的集合 xij 称为网络D的一个流,记作x。
条弧 (v j , vi )，如果 x ji 0 且 v j 未标号，则给 v j 一 个标号 (i, ( j)) ，其中 ( j) min{x ji , (i)} 。 （3）如果 t 已被标号，转第三步，否则转（1）。 第三步 在增广链的每个弧上改变流量，其方法是： 前向弧的 流量增加 (t )，反向弧的流量减少 (t )。然后抹去除s外的 所有顶点标号，转第二步。 第四步 此时当前流是最大流，且把所有标号点集记为 S ，则
，1 0， 2， 1 2， 2，1 1 ， ， ， 2， ，1 2 3 2，1 3 2， ， ，
s
2,2
1,0
2,1
v3
2,2
v4
D有两个特殊顶点s，t： s 仅有出弧而没有入弧， 称为发点； t 仅有入弧而无出弧， 称为收点。 网络中既非发点又非收点的其它点称为中间点。
下面只研究具有一个发点和一个收点的网络。 v5 v
c 一个标号 (i, ( j )) ，其中 ( j) min{ ij xij , (i)} ；对每
(S , S ) 是D 的最小割。
3）实例
求图的网络最大流，弧旁的权数表示（cij , xij）。
v2
(3 , 3) s (5 , 1)
(4 , 3)
(1 , 1) (1 , 1)
， 2 1 3 2 1 2 32 ，， ， ， ， ，
s
2,2
1,0
2,1
t x xs1, xs3 , x12 , x23 , x2t , x34 , x42 , x4t
，1 0 2 2 1 1 12 ， ， ， ， ， ，
v3
2,2
v4
0 xij cij
—流量限制
(2 , 2)
v3
, 不
具备标号条件。在弧(vs ,v1)上,xs1=1< cs1= 5 , 故给v1标号（vs , l(v1)),其中 l(v1)=min[l(vs),(cs1 –xs1)]=min[+∞, 5 – 1]=4.
（3）看v1:在弧（v1 ,v3）上,x13=c13=2,不具备标号条件.
5,5
3,2
v6 6
1,1
3,2 7,4
v5
v6
6,3
+4 7,3
v5 v5
6,4
+2
v3 v
3
5,5
3．Ford-Fulkerson算法
1）基本思想 从任意一个可行流（例如零流）出发，找一条从S到t 的增广 链，并在这条增广链上增加流值，于是便得到一个新的可行 流，继续此过程，直到找不出从S到t 的增广链为止。该算法 关键是找从S到t 的增广链，这可通过标号法来实现，具体的 规则如下： （1）在标号过程中，一个顶点总处于下述三种状态之一： ①已标号且已检查过（即该顶点已有一标号且所有相邻点 该标的都已标好）； ②已标号但未检查过；
③未标号。
（2）一个顶点 v i 的标号有两个分量组成，形如 ( j, (i)) 或 ( j, (i)) 其第一个分量表示前继或后继顶点，第二个分量表示允许增 加的流量。 （3）如果顶点 v j 被标号且存在一条弧 (v j , vi ) ,使 x ji c ji ，则给
未标号的 v i 标上 ( j, (i)) ，其中 (i) min{ ( j),c ji x ji} ；
2）Ford-Fulkerson算法步骤： 第一步 令 x ( xij ) 是任意整数可行流，给s 一个永久标号 (, ) 。 第二步（1）如果所有标号顶点都已检查过，转第四步。 （2）找一个已标号但未检查的顶点 v i ，并作如下检查:对每
一条弧 (vi , v j )，如果 xij cij 且 v j 未标号，则给 v j
在弧(v2 ,v1)上,x21 =1 > 0 ,故给 v2标号（-v1 , l(v2)）,其中 l(v2)=min[l(v1) , x21 ] = min [ 4 , 1 ]= 1.
(–v1 , 1) v2 (4 , 3) (3 , 3)
(0,+)
s
(v2 , 1) v4 (5 , 3)
(3 , 0) t (v3 , 1)