6.2 牛顿插值多项式

Rn ( x ) f ( x ) N n ( x ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x xi )
i 0 n
(2)
证 明 将x 看成 [a , b] 上一点, 可得
f ( x ) f [ x ] f [ x0 ] f [ x, x0 ]( x x0 ),
x0 , x1 , , xn [a , b], 则 [a, b], 使得
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 , , xn ] n!
计算均差可按下表逐行进行
x i f [ xi ] x 0 f [ x0 ]
一阶均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
0.17332 0.17918
0.00976
插值多项式为 N 4 ( x ) N 3 ( x ) 0.00976 x( x 0.20)( x 0.30)( x 0.50)
三. 小 结
1.Newton均差插值多项式
N n ( x ) f [ x0 ] f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
第四章
第一节 第二节
插 值 法
拉格朗日插值 牛顿插值多项式
第二节
牛顿插值多项式
本节主要内容:
一. 均差及其性质 二. Newton均差插值公式
三. 小结
一. 均差及其性质
对于n+1个节点 ( xi , f ( xi )) (i 0,1, , n) 的插值
问题, 将n 次插值多项式写成如下形式
依次递推可得 a3 , a4 , , an . 定义 1 记 f [ xi ] f ( xi ), 称 f [ xi ] 为 f ( x ) 关于xi 的
f [ xi 1 ] f [ xi ] 为 f ( x) 零阶均差. 称 f [ xi , xi 1 ] xi 1 xi
N n ( xi ) f ( xi ) yi (i 0,1, , n) 的插值多项式.
证毕.
例 1 已知 f ( x ) shx 的离散数据如下表：
xi
0.00 0.20
0.20134
0.30
0.30452
0.50
0.52110
f ( xi ) 0.00000
用Newton插值多项式, 计算 f (0.23) 的近似值并
f ( x2 ) a0 a1 ( x2 x 0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x 2 ) f ( x0 ) a1 x1 x0 x 2 x0 ( x2 x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x2 x1 x1 x0 ( x 2 x0 )
若增加一个节点 x 0.60, 只需再增加如下一行：
xi
0.00 0.20 0.30 0.50 0.60
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110 0.63665
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
1.0067 1.0318 1.0829 1.1555
0.08367 0.17033 0.24200
当 x x0 时, 当 x x1 时,
a0 N n ( x0 ) f ( x0 )
N n ( x1 ) a0 a1 ( x1 x0 ) f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 x1 x0
当 x x2 时,
N n ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) f ( x2 )
f [ x , x0 , x1 , , xn ]n1 ( x ) N n ( x ) Rn ( x )
上式中 N n ( x ) 是(1)式, Rn ( x ) 就是(2)式. 由(2)式有 N n ( x i ) f ( xi ) (i 0,1, , n) 因此由(1) 定义的 N n ( x ) 是满足插值条件
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ]( x x1 ),
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ),
……………
f [ x, x0 , , xn1 ] f [ x0 , x1 , , xn ] f [ x, x0 , x1 , , xn ]( x xn ),
f [ xn , xn1 , , x1 , x0 ]
f [ x0 , x1 , , xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] (3) f [ x0 , x1 , , xk ] xk xk 1
(4) 若函数 f ( x ) 在 [a , b] 上存在n 阶导数, 且节点
x 2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x 3 f [ x3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x0 , , x 3 ]
……
Hale Waihona Puke Baidu
……
……
…
f [ x0 , x1 , , xn ]
f [ x n 1 , x n ] f [ xn 2 , xn 1 , x n ] f [ x n 3 , , x n ] …
二. Newton均差插值公式
定理2 设 N n ( x ) 是满足插值条件 N n ( xi ) f ( xi ) yi
( i 0,1, , n) 的插值多项式, 则
均差有如下基本性质：
定理 1: (1) 均差与函数值的关系为
f [ x0 , x1 , , xn ]
j0 n
f (xj ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xn )
(2) 均差与节点的排列顺序有关, 即
f [ x0 , x1 , , xn ] f [ x1 , x0 , x2 , , xn ]
N n ( x ) f [ x0 ] f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
f [ x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
(1) 而且余项
N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 )
ak ( k 0,1, , n) 为待定系数. 形如上式的插值
多项式称为牛顿(Newton)插值多项式. 由插值条件 N n ( x j ) f ( x j ) ( j 0,1, , n),
依次将后一式代入前一式, 得
f ( x ) f [ x0 ] f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
f [ x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
f [ x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
2. 插值余项
Rn ( x ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x xi )
i 0 n
估计误差.
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
0.17332
则Newton插值多项式为
N 3 ( x ) 1.0067 x 0.08367 x( x 0.20) 0.17332 x( x 0.20)( x 0.30)
关于xi , xi+1的一阶均差.
f [ xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 ] 称为二阶均差. f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 2 xi
一般地, k 阶均差为
f [ xi 1 , xi 2 , , xi k ] f [ xi , xi 1 , , xi k 1 ] f [ xi , xi 1 , , xi k ] xi k x i
由此算出
f (0.23) N 3 (0.23) 0.23203
0 0.5
因 f (4) ( x ) shx , 余项为
1 R3 ( x ) x( x 0.20)( x 0.30)( x 0.50) shx, 4!
估计误差
| R3 (0.23) | | f (0.23) N 3 (0.23) | 1 0.23 0.03 0.07 0.27 0.53 3 106 24