专题3.6 对数与对数函数(精讲)(解析版)

专题3.6 对数与对数函数

【考纲要求】

1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征.

4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.

【知识清单】

1．对数及其运算 1.对数的概念

（1）如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

（2）对数的性质：①负数和零没对数；②10a log =；③1a log a =； （3）对数恒等式a log a N ＝N 2.对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M

N ＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；

④log a m M n ＝n

m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).

(3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N

log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；

②log a b ＝

1

log b a

，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . ③log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) 2．对数函数及其性质

(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质

3.反函数

对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

【考点梳理】

考点一 ：对数的化简、求值

【典例1】（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a

-=（ ）

A ．

1

16

B ．

19

C ．

18 D ．

16

【答案】B 【解析】

由3log 42a =可得3log 42a

=，所以49a =，

所以有14

9

a

-=

， 故选：B.

【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a

C ．b

D ．c

【答案】A 【解析】

由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，

()22

2

528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4

5

b <； 由13log 8

c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得4

5

c >.

综上所述，a b c <<. 故选：A. 【规律方法】

1.对数性质在计算中的应用

(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2.对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【变式探究】

1.（2018届安徽省宿州市第三次检测）已知m >0，n >0，log 4m =log 8n =log 16(2m +n)，则log 2√m −log 4n =（ ）

A. -2

B. 2

C. −1

2 D. 1

2 【答案】C 【解析】

由题意，设log 4m =log 8n =log 16(2m +n )=k ，

则m =4k ，n =8k ，2m +n =16k ，据此有：2×4k +8k =16k ， 则：2×(14)k

+(12)k

=1，即2×[(12)k

]2+(12)k

−1=0， 据此可得：(12)k

=1

2或(12)k

=−1，

其中：m

n =4k

8k =(12)k

>0，据此可得：m

n =1

2，

则log 2√m −log 4n =log 2√m −log 2√n =log 2√m n

=log 2√12

=−1

2

.

本题选择C 选项.

2.()5

2016? 1.2

b a a b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ . 【答案】4，2. 【解析】

设log ,1b a t t =>则，因为215

22

t t a b t +=⇒=⇒=，

因此2

2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【易错提醒】

(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．

(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 考点二 ：对数函数的概念与图象

【典例3】（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛

⎫==+> ⎪⎝

⎭且0)a ≠的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】

当01a <<时，函数x

y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1

x

y a =

过定点(0,1)且单调递增，函数