三招破解三角形解的个数问题
三招破解三角形解的个数问题(打印)
案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类 讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性 质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
三招破解三角形解 的个数问题(打印)
目 录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题 的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定 一组边长后，判断这组边长能否 构成三角形，以及构成三角形的 可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时， 需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三 角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法 来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个 数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的 周期性和振幅，通过分析三角函 数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函 数的性质和图像，对于一些特殊 的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题 的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角 度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。 例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题 时，需要考虑不同情况下解的个数。
解三角解的个数
解三角解的个数1. 任务背景三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。
在解三角形问题中，我们通常给定三角形的一些已知条件，例如边长或角度，然后需要确定三角形的其他未知条件。
解三角形的个数取决于已知条件的数量和类型。
2. 解三角形的基本原理解三角形的基本原理是利用三角形的性质和几何关系来求解未知条件。
根据已知条件的不同，解三角形可以分为以下几种情况：2.1 已知三边长度如果已知三角形的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的角度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为三角形的三边长度，C为对应的角度。
通过余弦定理可以求解三角形的角度。
正弦定理表达式为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C分别为三角形的三个角度。
通过正弦定理可以求解三角形的角度。
根据已知的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理求解出三个角度，从而确定三角形的形状。
2.2 已知两边长度和夹角如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的第三边长度和其他角度。
根据余弦定理，可以求解第三边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为已知的两边长度，C为已知的夹角。
根据正弦定理，可以求解其他角度的正弦值：sin(A) = a * sin(C) / csin(B) = b * sin(C) / c其中，A、B为未知的角度。
2.3 已知两个角度和一边长度如果已知三角形的两个角度和一边长度，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的其他边长度和角度。
根据正弦定理，可以求解其他边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C为已知的两个角度和一边长度。
根据余弦定理，可以求解其他角度的余弦值：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)3. 解三角形的个数根据已知条件的数量和类型，解三角形的个数可以分为以下几种情况：3.1 一解如果已知的条件足够确定三角形的形状和大小，那么解三角形的个数为一解。
解三角形中解的个数问题知识点与练习(解析版)-2021年高考数学必考知识专练(解三角形)
1 专题5：解三角形中解的个数问题知识点与练习（解析版） 解三角形个数问题
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○1若A 为锐角时:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)
( b a ) ,( b a bsinA
)
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解
A b a
已知边a,b 和∠A
有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA
a<CH=bsinA
○2若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b
a
一、单选题
1．在
ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且3a =
，
b =，
45B ∠=︒，则A ∠等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．135°
【答案】C
【分析】
利用正弦定理求得sin A ，根据大边对大角确定A 的范围，得到A 的值.
【详解】
3a =，b =，45B ∠=︒，
由正弦定理得3sin 2
asinB A b ===,。
三角形解的个数问题的解法优化
三角形解的个数问题的解法优化问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<， 得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。
两招破解三角形解的个数问题
两招破解三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧，下面提供“两招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解。
第一招：大角对大边 在已知三角形ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解。
例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，︒=45B ，求A 、C 及c 。
解：由正弦定理，得23245sin 3b B sin a A sin =︒==， 因为︒<︒=9045B ，a b <，所以︒=60A 或︒120。
当︒=60A 时，︒=75C ， 22645sin 75sin 2B sin C sin b c +=︒︒==；当︒=120A 时，︒=15C ， 22645sin 15sin 2B sin C sin b c -=︒︒==。
点评：在三角形中，B sin A sin B A b a >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。
第二招：二次方程的正根个数一般地，在△ABC 中，已知a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程0a b A cos bc 2c 222=-+-，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。
例2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=︒60，∠BCD=︒135，求BC 的长。
解：在△ABD 中，设BD=x ，则BDA cos AD BD 2AD BD BA 222∠⋅⋅-+=，即︒⋅⋅-+=60cos x 10210x 14222，整理得096x 10x 2=--，解得16x 1=，6x 2-=（舍去）。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
三角形解的个数问题专题
解三角形专题2 【2 】三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的双方及个中一边的对角,断定三角形是否有解,并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠= (2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <,故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<,故有无解(3) c b >,故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<,故有两组解2在△ABC 中,A =45°,AB =3,则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要前提B ．必要不充分前提C ．充要前提D ．既为充分也不必要前提另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理联合“大边对大角”来断定三角形解的个数,一般的做法如下,起首运用大边对大角,断定出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,依据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A .C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===,∵4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时,75C =︒,sin 75sin sin 45b C c B ︒===︒;当120A =︒时,15C =︒,sin sin sin 452b C c B ︒===︒． 点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含前提,在运用时我们要留意发掘． 法2：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,常常可对角A 运用余弦定理,并将其整顿为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解． 【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =, 60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒, 整顿得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒ A BCD点评：已知三角形双方和个中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,运用余弦定理联合二次方程来断定显得加倍简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,肯定极点A ,再在A 的一边上肯定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,假如没有交点,则解释该三角形的解的个数为0;如有一个交点,则解释该三角形的解的个数为1;如有两个交点,则解释该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情形（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不能肯定解：在A 的一边上肯定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒, 以极点C 为圆心,认为CB a ==,看该圆与AD 没有交点,则解释该三角形的解的个数为0,故选A ． A b C a D。
三年级数三角形个数技巧口诀
三年级数三角形个数技巧口诀三年级学习数学时，我们经常会遇到关于三角形的问题。
掌握数三角形个数的技巧可以帮助我们更好地解决这类问题。
下面我将给大家介绍一些技巧和口诀，希望能帮助大家更好地理解和记忆。
我们来看一下如何判断一个图形是否为三角形。
在数学中，三角形是由三条边组成的，而且任意两边之和大于第三边。
所以，当我们遇到一个图形时，首先要看它是否满足这两个条件。
如果满足，那么这个图形就是一个三角形。
接下来，我们来看一下如何计算三角形的个数。
在三年级时，通常我们遇到的问题是给定一些线段，让我们计算可以组成多少个不同的三角形。
这时，我们可以通过计算任意三条线段是否满足构成三角形的条件，来确定三角形的个数。
我们可以选择其中的一条线段作为固定边，然后再选择另外两条线段。
这样，我们可以通过计算固定边与其他两条线段之和是否大于第三条边，来确定是否可以构成一个三角形。
如果可以构成三角形，那么就可以计数一个三角形。
接下来，我们可以选择另外一条线段作为固定边，再次计算其他两条线段是否可以构成三角形。
通过这样的方法，我们可以计算出所有可能的三角形个数。
除了通过计算确定三角形的个数外，我们还可以通过观察线段的长度来判断三角形的形态。
当一条线段的长度大于另外两条线段之和时，这三条线段无法构成一个三角形。
当一条线段的长度等于另外两条线段之和时，这三条线段构成一个等边三角形。
当一条线段的长度小于另外两条线段之和时，这三条线段构成一个普通三角形。
我们还可以通过计算线段的斜率来判断三角形的形态。
斜率是一个线段在坐标系中的倾斜程度。
当一条线段的斜率大于0时，这条线段是向上倾斜的。
当一条线段的斜率小于0时，这条线段是向下倾斜的。
当一条线段的斜率等于0时，这条线段是水平的。
通过观察线段的斜率，我们可以判断三角形的形态。
总结一下，掌握数三角形个数的技巧可以帮助我们更好地解决有关三角形的问题。
通过计算线段之间的关系、观察线段的长度和斜率，我们可以判断三角形的形态和个数。
三角形解的个数问题
05
三角形解的个数问题的扩 展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解 性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究 其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质， 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。 通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要 涉及到三角函数的性质和图象，通过分 析三角函数的性质和图象，判断三角形 解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的边长限制，研究不同边长条 件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的角度限制，研究不同角度条 件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几 何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论 中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
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三角形解的个数问题
目 录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化
关于三角形解的个数问题的讨论
关于三角形解的个数问题的讨论
作者：秦森
来源：《试题与研究·新课程论坛》2012年第09期
对于解三角形的问题，有以下的几种情形。
一、已知三角形的三边，此时由余弦定理求出两个个角的余弦值，从而求出这两个角的大小，最后由三角形内角和定理求出第三个角，从而解出该三角形。
二、已知三角形的两边及其夹角，此时由余弦定理可先求出第三边，再由余弦定理求出某个角的余弦值从而求出该角的大小，最后由三角形内角和定理求出第三个角，从而解出该三角形。
三、已知三角形的两角及其任一边，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理直接求出另外两条边，从而解出该三角形。
三角形解的个数问题专题演示教学
解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=o(2) 102080a ,b ,A ==∠=o(3) 105660b ,c ,C ==∠=o(4) 23630a ,b ,A ==∠=o答案:(1) 90A ∠>o 而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<o ，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<o ，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使ACA B C D边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。
解三角形问题的6种突破方法,收藏起来
解三角形问题的6种突破方法,收藏起来解三角形问题的6种突破方法在解决三角形问题时，我们常常遇到各种困难和障碍。
为了能够更好地解决这些问题，我们需要采取一些突破方法来提高解题的效率和准确性。
本文将介绍六种突破方法，帮助读者更好地解决三角形问题。
方法一：角度追踪法角度追踪法是一种通过确定三角形内的特定角度来解决问题的方法。
当我们遇到三角形问题时，首先要测量和计算已知角度的大小，然后根据这些已知角度的关系来推导出其他未知角度的数值。
通过角度追踪法，我们可以准确地计算三角形内各个角度的大小，从而更好地解决问题。
方法二：辅助线引入法辅助线引入法是一种通过引入辅助线来简化问题的方法。
当我们遇到复杂的三角形问题时，可以尝试在三角形内部或者外部引入一条辅助线，从而将原始问题转化为更简单的几何关系。
通过巧妙地选择辅助线的位置和方向，我们可以更好地理解和解决三角形问题。
方法三：相似三角形法相似三角形法是一种通过找到相似三角形的性质来解决问题的方法。
当我们遇到复杂的三角形问题时，可以通过发现三角形之间的相似性质，从而简化问题的求解过程。
通过利用相似三角形的边比例关系和角度对应关系，我们可以更准确地求解三角形的各个边长和角度。
方法四：三角函数法三角函数法是一种通过应用三角函数的性质来解决问题的方法。
在解决三角形问题时，我们可以利用正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，从而求解未知的边长和角度。
通过运用三角函数的计算公式和特性，我们可以更快速和准确地解决各类三角形问题。
方法五：平行线法平行线法是一种通过找到平行线的性质来解决问题的方法。
在解决三角形问题时，我们可以利用平行线的特性来推导和求解三角形的各边和角度。
通过巧妙地运用平行线的定理和性质，我们可以更好地理解和解决三角形问题。
方法六：向量法向量法是一种通过引入向量的概念来解决问题的方法。
当我们遇到复杂的三角形问题时，可以将三角形的边和角表示为向量的形式，然后运用向量的运算法则来解决问题。
三角形解的个数问题专题
第 1 页 共 3 页 解三角形专题2 三角形解的个数问题A 为锐角为锐角 A 为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数个数无解无解 一解一解 两解两解 一解一解 无解无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1)78105a ,b ,A ==Ð= (2)102080a ,b ,A ==Ð= (3)105660b ,c ,C ==Ð= (4)23630a ,b ,A ==Ð= 答案答案:(1) :(1) 90A Ð>而a b <，故无解，故无解(2) 90A ,a b sin A b Ð<<<，故有无解，故有无解(3) c b >，故有一组解，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b Ð<<<，故有两组解，故有两组解2在△ABC 中，A =45=45°，°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60=60°”的°”的°”的A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件．充要条件D ．既为充分也不必要条件．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC D 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC D 中，已知3a =，2b =，45B =°，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin 3sin 453sin 22a B Ab °===，∵4590B =°<°，b a <，∴60A =°或120°． 当60A =°时，75C =°，sin 2sin 7562sin sin 452b Cc B °+===°； 当120A =°时，15C =°，sin 2sin1562sin sin 452b Cc B °-===°． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >Û>Û>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC D 中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ^，10AD =，14AB=，60BDA Ð=°，135BCD Ð=°，求BC 的长．的长． 解：在ABD D 中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-×°， 整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin3082sin sin135BD CDB BC BCD а===а．点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC D 中，A 为已知角（90¹°），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，边长为已知长度，最后以顶点最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，边长为半径画圆，看该圆与看该圆与A 的另一边是否有A BC D交点，如果交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC D 中，60A Ð=°，6a =，3b =，则ABC D 解的情况（解的情况（ ） （A ）无解）无解 （B ）有一解）有一解 （C ）有两解）有两解 （D ）不能确定）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD Ð=°， 以顶点C 为圆心，以6CB a ==为半径画圆，看该圆与AD 没有交点，没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A b Ca D。
三角形解的个数问题
三角形解的个数问题《三角形解的个数问题》嘿，你知道三角形解的个数问题吗？这可真是个超级有趣又有点烧脑的事儿呢。
我记得有一次啊，我们数学老师在黑板上画了一些三角形的草图，然后就开始讲这个三角形解的个数。
当时我就想，不就是三角形嘛，能有多复杂呢？可等老师一讲，我才发现这里面的学问可大着呢。
咱们先来说说，啥时候三角形的解是唯一的。
就像我们搭积木一样，如果给你三条确定长度的小棒，只要这三条小棒的长度能满足一定的条件，那你只能搭出一种三角形。
比如说，三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。
这就像是一把钥匙只能开一把锁一样，这个三角形的形状和大小就被这三条边给确定得死死的，不会有第二种可能啦。
这时候，我们就说这个三角形有唯一解。
你想啊，如果边的长度都确定了，这个三角形就像是被定住了一样，还能有别的样子吗？肯定不能呀。
可是呢，事情没那么简单哦。
有时候三角形的解可不是唯一的呢。
比如说，已知一个角和两条边，这里面就有很多种情况啦。
就像你在一个大操场上，知道从一个点到另外两个点的距离，还有这两个点之间连线和某个方向的夹角。
这时候你去确定这三个点构成的三角形，可能就会有不同的结果。
我跟我同桌就经常讨论这个事儿。
我同桌特别聪明，他说就好比我们在玩捉迷藏，你知道了一部分关于藏起来的人的信息，但是这些信息可能会指向不同的地方。
我觉得他这个比喻特别形象呢。
当已知一个锐角，还有这个锐角的一条邻边和一条对边的时候，你得好好想想这个三角形到底有几种可能。
有时候你会发现好像有两个地方都能藏着那个“三角形”呢。
这就好比你有两个可能的藏身之处，到底哪个才是正确的呢？这就得根据边和角的具体大小关系来判断啦。
再说说已知两边和其中一边的对角的情况。
这就更像一场神秘的探索之旅了。
比如说，有两条边长度是固定的，然后有一个角是其中一条边的对角。
这时候这个三角形可能有一个解，也可能有两个解，甚至可能没有解哦。
这就像你要去寻找一个宝藏，你有了一些线索，但是这些线索可能会带你走向不同的结果。
正弦定理三角形解的个数
正弦定理三角形解的个数
正弦定理是三角形求解中常用的一种方法，可以用来计算三角形的任意一条边或角的大小。
在使用正弦定理时，需要知道两条边和它们夹角的大小，然后可以根据公式计算出第三条边的长度或者另外两个角的大小。
根据正弦定理，三角形的解的个数可以分为以下情况：
1. 两边和它们夹角的大小都已知，此时三角形解的个数唯一。
2. 已知一边和它对应的角的大小，以及另外一条边和它夹角的大小，此时三角形解的个数可能有两个。
3. 已知两边和它们夹角的大小，但不知道它们对应的角，此时三角形解的个数可能有两个。
4. 已知三边或者两边和一个角的大小，此时三角形解的个数可能有一个、两个或者没有解。
在实际使用中，需要根据已知的条件判断出所处的情况，然后再利用正弦定理进行计算。
同时，也需要注意正弦定理的局限性，例如当角度接近180度时，解可能会不唯一，或者根本没有解。
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数三角形个数的巧妙方法(一)
数三角形个数的巧妙方法(一)数三角形个数的巧妙方法问题背景数三角形是组合数学中的一个经典问题。
在一个网格图中，我们需要计算出由顶点组成的三角形的个数。
对于一个 n ×n 的网格图，我们该如何高效地计算出三角形个数呢？暴力枚举法最朴素的做法，就是枚举所有顶点的组合，然后判断是否构成三角形。
时间复杂度为 O (n 6)，对于一张稍微大一点的网格图，就会非常耗时。
优化方法第一步：枚举边我们可以枚举所有的边，然后从该边所在的行和列中找到与该边端点构成三角形的所有点。
假设该边所在的行号为 i ，列号为 j ，则可以得到以下公式：count =∑∑[A k,l +A i,j −A k,j −A i,l =1]nl=j+1n k=i+1其中 A i,j 表示网格图中位置 (i,j ) 上是否有点。
通过这种方法，我们可以将时间复杂度优化到 O (n 4)。
第二步：利用差分来优化我们还可以通过差分的方式，进一步降低时间复杂度。
差分就是一种前缀和的逆运算。
假设 A 是一个序列，B 是 A 的差分序列，即 B i =A i −A i−1。
那么我们可以通过差分求得原序列：A i =∑B j ij=1因此，如果我们能够求出所有点到左上角的连线上，有多少个点，就可以通过差分求解出被这条连线分为两个部分的点的个数，从而计算出与该点构成三角形的个数。
我们将网格图中位置 (i,j ) 上是否有点记为 B i,j 。
则以下公式可以求出所有点到左上角的连线上，有多少个点：S i,j ={B i,j (i =1 or j =1)B i,j +S i−1,j +S i,j−1−S i−1,j−1otℎers最终，我们可以通过以下公式求解三角形的个数：count =∑∑[(B i,j =1) and (i >1) and (j >1)]nj=1n i=1×(S i−1,j−1−S i−1,n −S n,j−1+S n,n )该算法的时间复杂度为 O (n 3)，大大提高了计算效率。
高中 三角形解的个数
高中三角形解的个数
在高中数学中，三角形的解个数是由给定条件所决定的。
一般来说，给定一个三角形的条件有以下几种：
1. 边长关系：已知三条边的长度，可以使用三角形不等式判断是否能构成三角形。
如果能构成三角形，则存在唯一的解，因为三角形的边长决定了三角形的形状。
2. 两边夹角和第三边关系：已知两边和它们夹角的大小，可以使用正弦定理、余弦定理等求解第三边的长度。
根据给定的条件，可能存在一个解、两个解或者无解。
3. 两角和第三边关系：已知两个角的大小和夹角的大小，可以使用正弦定理、余弦定理等求解第三边的长度。
根据给定的条件，可能存在一个解、两个解或者无解。
需要注意的是，以上仅是一些基础情况下的解个数，实际中还可能存在其他类型的条件来确定三角形的解个数。
在复杂的情况下，可能需要借助于几何连续、向量等方法来求解。
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三招破解三角形解的个
数问题
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三角形解的个数问题
学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢一解，二解还是无解《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即
在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求出sin B 的值，
①若该值大于1，与sin 1B ≤矛盾，则无解；
②若该值小于或等于1，则要考虑a ，b 的大小关系及A 为锐角还是钝角：
若A 是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；
若A 是锐角，且b a >，则有1解；
若b a <，且该值小于1，则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解．
但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．
第一招：大角对大边
在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”
来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求
出B 的值，根据三角函数的有界性求解．
【例1】在ABC ∆
中，已知a =
b =45B =︒，求A 、C 及
c ．
解：由正弦定理，得sin sin a B A b =
==4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．
当60A =︒时，75C =︒
，sin 75sin sin 452
b C
c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒
，sin sin sin 45b C c B ︒===︒． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．
第二招：二次方程的正根个数
一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元
二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数
解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．
解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，
整理得210960x x --=，解得16x =． A B C D
由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，
利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
第三招：画圆法
已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC
边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果
没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个
交点，则说明该三角形的解的个数为2．
【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒
，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ）
（A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解
（D ）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒， 以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，
则说明该三角形的解的个数为0，故选A ． A b C a D。