测量误差合成传递

ε = ε1 + ε 2 + K + ε m = ∑ ε i
i =1
由于所得结果是明确大小和方向的数值， 由于所得结果是明确大小和方向的数值 ， 故可直 接在测量结果中修正， 接在测量结果中修正 ， 在一般情况下最后测量结 果不应含有已定系统误差的内容。 果不应含有已定系统误差的内容。
（2）不确定系统误差的合成
若误差符号不确定：
∆y = ±( ∆x1 + ∆x 2
)
相对误差： ∆x1 ⋅ x1 ∆x 2 ⋅ x 2 ∆y ∆x1 ± ∆x 2 = γy = = ± (x1 ± x2 ) ⋅ x1 (x1 ± x2 ) ⋅ x2 y x1 ± x 2 x1 x2 = ⋅ γ x1 ± ⋅ γ x2 x1 ± x 2 x1 ± x 2
1 ∂2 f 1 ∂2 f 1 ∂2 f 2 2 2 (∆x1 ) + (∆x2 ) + K + (∆xn ) + K + 2 2 2 2 ∂x1 2 ∂x 2 2 ∂x n
1．函数误差传递的基本公式 ．
略去高阶项 绝对误差： 绝对误差：
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + K + ∆x n = ∑ ∆xi ∂x1 ∂x 2 ∂x n i =1 ∂xi
∂f 2 ∂f σy = ∂x σ x1 + ∂x 1 2
∂f 2 = ∑ ∂x σ xi = i =1 i
n 2
2
∂f 2 σ x2 + K + ∂x n
部分误差
2
2 σ xn
1．函数误差传递的基本公式 ． 假设间接测量的数学表达式为： 假设间接测量的数学表达式为：
间接测量值 直接测量值
y = f ( x1 , x 2 ,K , x n )
将上式按泰勒级数展开
∂f ∂f ∂f y + ∆y = f ( x1 , x 2 , K , x n ) + ∆x1 + ∆x 2 + K + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
2
∑ Di
1
n
2
∂f Di = σ xi ∂xi
相对误差
σy
∂f = ∂x y 1
2
σ x1 y
∂f + ∂x 2
2

2
σ x2 y
+ K + ∂f ∂x n
2

误差的合成、 第七节 误差的合成、间接测量的误差传递 一．误差合成 由多个不同类型的单项误差求测量中的总 误差是误差合成问题。 误差是误差合成问题。
1、随机误差合成 、
若测量结果中有k个彼此独立的随机误差， 若测量结果中有 个彼此独立的随机误差，各 个彼此独立的随机误差 个随机误差互不相关， 个随机误差互不相关 ， 各个随机误差的标准 方差分别为σ 方差分别为σ1、σ2、σ3、…、σk则随机误 、 差合成的总标准差σ 差合成的总标准差σ为：
γy =± γx +γx
1
(
2
)
（4）幂函数的误差传递 ） 设
n y = kx1m ⋅ x 2 ，则绝对误差 m −1 m n −1 ∆y = kmx1 x 2 ∆x1 + knx1 x 2 ∆x 2
相对误差：
γ
y
∆y = = mγ y
+ nγ
x1
+ nγ
x2
若误差符号不确定： 若误差符号不确定：
γ
y
= ± mγ
(
x1
x2
)
例6： ： 已知： 已知：R1=1kΩ，R2=2 kΩ，γ R = ±5% Ω Ω 1 γ R = ±5% 求 γ R 2
解： R
= R1 + R2
R1 R2 γ R = ± R + R γ R1 + R + R γ R2 2 1 2 1 2 1 = ± 5% + 5% = ±5% 1+ 2 1+ 2 结论： 结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的 相对误差保持不变。 相对误差保持不变。
绝对和法： 绝对和法： ∆y = ± ∑
i =1
n
n
∂f ∆xi ∂xi
∆xi2
2
∂f 方和根法： 方和根法： ∆y = ∑ i =1 ∂xi
（1）和差函数的误差传递 ） 设
y = x1 ± x， 则绝对误差 2
∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 = ∆x1 ± ∆x 2 ∂x1 ∂x2
不确定系统误差又称未定系统误差，指测量误差既 不确定系统误差又称未定系统误差， 具有系统误差可知的一面， 具有系统误差可知的一面，又具有不可预测的随机 误差一面。在通常情况下， 误差一面。在通常情况下，未定系统误差多以极限 误差的形式给出误差的最大变化范围。 误差的形式给出误差的最大变化范围。
①绝对值合成法： 表达式： 表达式：
1）仪表精度等级引起的误差： 仪表精度等级引起的误差：
∆p1 = ± (γ j × Lm ) = ± (0.5% × 600) = ±3kpa
2）读数误差（即分度误差) ∆p 2 = ± 2kpa 读数误差（即分度误差) 环境温度引起误差： 3)环境温度引起误差：
∆p3 = ±10 × 3 × 4% = ±1.2kpa
σ=
∑σ
i =1
k
2 i
1、随机误差合成 、
若以极限误差表示， 若以极限误差表示，则合成的极限误 差为： 差为： k
l=
∑
i =1
li2
当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。 当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。
li = 3σ i
2、系统误差的合成 、 （1）确定的系统误差的合成 ） 又称已定系统误差， 又称已定系统误差 ， 是指测量误差的大 方向和变化规律是可以掌握的。 小、方向和变化规律是可以掌握的。只要 是已定的系统误差， 是已定的系统误差，都应当用代数的方法 计算其合成误差。 计算其合成误差。 表达式： 表达式： m
∑ε
i =1
m
2 i
一般应用于m大于10。 一般应用于m大于10。 10
例5 ：
0.5级，量程0~600kPa，分度值 级 量程 ， 2kPa，h=0.05m，读数 ， ，读数300kPa， ， 指针来回摆动± 个格 个格， 指针来回摆动±1个格，环境温度 30ºC，偏离 ，偏离1ºC的附加误差为基本 的附加误差为基本 误差的4%。 误差的 。
ε = ±(ε1 + ε 2 + K + ε m ) = ±∑ ε i
i =1 m
当m大于10时，合成误差估计值往往偏大。一般应 大于10时 合成误差估计值往往偏大。 10 用于m小于10 10。 用于m小于10。
(2)方和根合成法
表达式： 表达式：
ε = ± ε + ε +K+ ε = ±
2 1 2 2 k m
2
σ xn y
=
2
∂f = ∑ ∂x i =1 i
n

2
σ xi y

2
已知 Q = I Rt γ R = ±1% ， ， ±2% ， γ t = ±0.5% ，求γ Q 。
2
γ Q = ±( 2γ i + γ R + γ t ) = ±5.5%
3．随机误差的函数传递 ．
y = f ( x1 , x 2 ,K , x n )
已 知 各 个 直 接 测 量 的 标 准 误 差 σ x1 ， σ x …， σ x，则 ， 2 n
4)安装位置引起的误差： 安装位置引起的误差：
∆p 4 = − ρgh = −0.05 × 1000 × 10 = −0.5kpa
前三项属于未定系统误差， 前三项属于未定系统误差 ， 最后一项属于 已定系统误差。 已定系统误差。 前三项按绝对值合成法：∆p = ±(3 + 2 +1.2) = ±6.2kpa 前三项按绝对值合成法：
100℃ 例 7 ： 温 度 表 量 程 为 100℃ ， 精 度 等 级 1 级 ， 65℃ 60℃ 计算温差的相对误差。 t1=65℃，t2=60℃，计算温差的相对误差。
解1： ∆t m = ±100 ⋅ 1% = ±1 ℃ 1 γ t1 = ± =≈ ±1.5% 65
1 γt 2 = ± =≈ ±1.7% 60
（2）积函数误差传递 ）
设
y = x1 ⋅ x 2 ， 则绝对误差
∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 ∂x1 ∂x2
= x2 ∆x1 + x1 ∆x 2
相对误差： 相对误差：
∆y x 2 ∆x1 + x1 ∆x 2 γy = = = γ x1 + γ x2 y x1 ⋅ x 2
若误差符号不确定：
γ
y
= ± γ
(
x1
+ γ
x2
)
（3）商函数误差传递 ） 设
x1 y= x2 ，则绝对误差
1 x1 ∂f ∂f ∆x1 − 2 ∆x2 ∆y = ∆x1 + ∆x2 = x2 x2 ∂x1 ∂x2
相对误差： 相对误差：
若误差符号不确定： 若误差符号不确定：
∆y γy = = γ x1 − γ x2 y

相对误差： 相对误差：
n ∆y ∂f ∆x1 ∂f ∆x 2 ∂f ∆x n ∂f ∆xi = + +K+ =∑ y ∂x1 y ∂x 2 y ∂x n y y i =1 ∂xi
2．系统误差的函数传递 ．
当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统 误差代入上式计算即可。 上式计算即可 误差代入上式计算即可。当系统误差为未定系统误 当各分项数小于10可采用绝对和法 可采用绝对和法， 差 ， 当各分项数小于 可采用绝对和法 ， 当各分 项数大于10可采用方和根法。 项数大于 可采用方和根法。 可采用方和根法
P = 300.5 ± 6.2kPa
3．随机误差与系统误差的合成
∆ = ε ± [e + l ]
其中ε为已定系统误差， 为未定系统误 其中ε为已定系统误差，e为未定系统误 为随机误差的极限误差。 差，l为随机误差的极限误差。 为随机误差的极限误差
二．间接测量的误差传递 研究函数误差一般有以下三个内容： 研究函数误差一般有以下三个内容： 已知函数关系及各个测量值的误差， ①．已知函数关系及各个测量值的误差，求 函数即间接测量的误差。 函数即间接测量的误差。 已知函数关系及函数的总误差， ②．已知函数关系及函数的总误差，分配各 个测量值的误差。 个测量值的误差。 确定最佳测量条件， ③．确定最佳测量条件，使函数误差达到最 小。
65 γ + 60 γ = ± γ ∆t = ± γ =± γ t1 + t 2 = ±39.9% 65 − 60 65 − 60
解2：γ ∆t = ±
∆tm1 + ∆tm21 t1 − t2
2 = = 40% =5 = 40%
例8： ：
γi =
解：