②非线性弹性本构关系全量型增量型③弹塑性本构

（6）钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（τ-s）关系，包括单调和反复荷载作用； （7）构件（截面）单调加载下的弯矩-曲率关系，在（地震）反复荷载下的弯矩-曲率恢复力模型； （8）二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面的 联结单元模型等。
各种非线性本构关系的理论概念、数学表达式和计算参数取值等差别较大，计算结果也不相同。进行结构非线 性分析时，应慎重选择混凝土本构模型，重要结构应进行理论的或试验的验证。
Nonlinear analysis of concrete structures
Chapter 3 Constitutive law — mathematical description of constitutive law curve
三、常用钢筋、混凝土本构关系有：
（1）混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系； （2）混凝土多轴应力-应变关系； （3）多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒 或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温＜0oC）状况下的加卸载，……； （4）与时间有关的混凝土受力性能，如徐变（松弛）、收缩、……； （5）钢材（筋）的应力-应变关系和反复应力作用的Bauschinger效应；
清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：
x 1
y a0 a1x a2 x2 a3x3
⑴
x
x 1
y b0 b1x b2 x2
⑵
上升段⑴式满足条件1、2、3、7，下降段⑵式满足条件3～7。
将条件1和3中的三个边界条件代入⑴式，可解得：
a0 0 , a2 3 2a1 , a3 a1 2
3.1 混凝土受压应力-应变全曲线(Stress-strain curve of concrete in compression)
Stress-strain curve of concrete in compression is desoordinates as ( 将混凝土受压应力-应变全曲线用无量纲坐标表示)：
(N/mm 2 )
f cu ,k
Nonlinear Analysis of Concrete Structures Chapter 3 Constitutive law — mathematical description of constitutive law curve 对参数取αa 和αd 赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。
d2 y dx 2
2d [x3 3x [d (x 1)2
(2 1
d
x ]3
)]
0
可解得拐点inflexion位置xD（＞1.0）
同理，由数学条件5满足：
d3 y dx3
6
d
[
2 d
x
4
6
2 d
x
2
(8
2 d
4 d
[d (x 1)2 x
)x ]3
(3
2 d
4 d
1)]
0
可解得最大曲率点point of the maximum curvature的位置 xE＞xD
对不同强度等级的结构混凝土或约束混凝土，选用合适的参数值，可得到与试验结果 相符的理论曲线。过镇海等建议的参数值见上表。
混凝土受压应力应变试验曲线的数 学函数曲线有：多 项式、指数式、三 角函数、有理分式、 分段式等
Compressive stress-strain relation of concrete
Chapter 3 Constitutive law — mathematical description of constitutive law curve 二、确定本构关系的三种方法：
⑴ 用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定； ⑵ 选定适合该结构的本构模型，其数学表达式中的参数由少量试验标定； ⑶ 采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。 混凝土材料施工工艺和质量控制不够精细，混凝土力学试验结果变异性和离散度较大。结构分 析的本构关系应根据结构重要性、计算精度、试验条件等慎重地选择。
上升段曲线方程为：
x 1 y a x (3 2a )x2 (a 2)x3
⑶
上升段曲线方程，满足条件7，由条件2的不等式，可得αa值的范围：
1.5 a 3.0
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故d的取值范围为： 0 d
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此外，由数学条件 4 满足：
b1 1 2b0 ,
b2 b0
式中b0为独立参数，规范称其为下降段参数，
即 αd= b0 将其代入⑵式，并简化可得：
x 1 y
x
⑷
d (x 1)2 x
x 1
y
x
d (x 1)2 x
⑷
上式满足条件6、7。
当d 0时，y 1,峰点后为水平线（全塑性）； d 时，y 0,峰点后为垂直线（脆性）。
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x 1
y a0 a1x a2 x2 a3x3
⑴
x 1
y
b0
x b1x
b2 x2
⑵
下降段曲线方程含三个参数，将条件3 的两个边界条件代入，可解得：
NNoonnlliinneeaarr aAnnaalylyssisisofocfoCnocnrectreetsetruSctrtuurcetsures
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7. 全部曲线x 0, 1 y 0.
下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交
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下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数αd 值而变化，按式
testing stress-strain curve of concrete column under compression
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d2 y
2 d [x3
3x (2 1
d
)]
0
dx 2
[ d (x 1)2 x ]3
d3 y dx3
6
d
[
2 d
x
4
6
2 d
x
2
(8
2 d
4 d
[d (x 1)2 x
)x ]3
(3
2 d
4 d
1)]
0
计算结果如图，与试验数据一致
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一、本构关系分类: types of constitutive laws ①线弹性本构关系：虎克定律
②非全线量性型弹：性本构{关系c }： [Ec ]{} 增量型： {d c } [Ec ]{d }
③弹塑性本构关系： 变形理论：简称为弹塑性小变形理论 增量理论：用增量形式描述材料处于塑性状态时的应力应变关系
1. x 0, y 0;
2.
0
x
1,
d2y dx 2
0,即曲线斜率(dy
/
dx)单调减小，无拐点；
3. x 1时, y 1, dy / dx 0,即单峰值；
4.
当d2y dx2
0时，xD
1,即下降段有一拐点(D);
5.
当d3y dx3
0时，xE
1,即下降段上的最大曲率点(E);
6. 当x , y 0时, dy 0, dx
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初始弹性模量测定方法testing method of elastic modulus
s
ε ce εcp
0.5fc
5~10 次
e
Ec
2.2
105 34.74
④损伤本构关系 ⑤其它本构理论：粘弹性与粘塑性本构关系、内时理论
各类本构关系的理论基础不同，表达形式多样，计算结果差别较大。尚无通用的混凝土本构 模型。实际工程中应用广泛的还是源自试验、满足计算精度要求、形式简明和使用方便的非线弹 性本构模型。
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Nonlinear Analysis of Concrete Structures Chapter 3 Constitutive law — mathematical description of constitutive law curve 3.1 混凝土轴压应力-应变全曲线(Stress-strain curve of concrete in compression) In nonlinear analysis of reinforced concrete structures, constitutive law of material is a very important physical relationship.
a1
dy dx
x0
d ( / fc ) d ( / p )
x0
d / d x0 fc / p
E0 Ep
a
式中：E0 混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。
E p fc / c 棱柱体抗压强度和峰值应变的比值，即峰值割线模量
N/mm2 αa=a1，规范称之为曲线上升段参数。 物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比E0/Ep
令, x , y
p
fc
The coordinate at peak point (1,1) is ploted as left curve 绘制峰点坐标为（1，1）的标准曲线如图
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式中的独立参数a1可从式⑴知，当x=0时，dy/dx= a1，从各符号的定义可得：
a1
dy dx
x0
d ( / fc ) d ( / p ) x0
d / d
x0
fc / p
E0 Ep
a
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上升段理论曲线随参数αa的变化： αa＞3，
曲线局部y＞1，显然违背试验结果；
1.1＜αa＜1.5， 曲线的初始段（x＜0.3）内有拐点，
单曲度不明显，在y≤0.5～0.6范围 内接近一直线；
αa＜1.1，
上升段曲线上拐点inflexion明显，与 混凝土材性不符。
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