微分方程解法

1 ex P( x) , Q( x) x x 方法一 利用常数变易法，先求 对应齐次方程 1 y y 0的通解，为此，分离变 量： x 1 1 dy dx y x
两边积分，得
ln y ln x ln C
或
C y x 将C换成x的待定函数C ( x),并将 C ( x) y 代入 x
上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2） 的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程 （1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分 方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次 方程的一个特解之和。
对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的 结论。
例1求方程xy y e x的通解 y ex 解 将方程改写为 y x x 它是一阶线性微分方程 ，其中
第八章
微分方程与差分方程简介
8.1 微分方程的基本概念
8.2 可分离变量的一阶微分方程
8.3 一阶线性微分方程
8.4 可降阶的高阶微分方程
8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 微分方程应用实例
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第八章
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。 本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中 未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有 关内容做一简单介绍。
1 dx x

Ce ln x Cx .
二.一阶线性非其次微分方程
由于其次方程（2）是非其次方程（1）当
Q( x) 0的特殊 情形，可以设想,
它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把 对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成
X的待定函数C（x）,即令
y C ( x )e 就是方程（ 1 ）的解。
P ( x ) dx
(4)
将它代入方程（ 1 ）中，若由此能确定出 C（x） , 则（4）
事实上，由（ 4）式可得 P ( x ) dx dy dC( x) P ( x ) dx e P( x)C ( x)e dx dx
代入（ 1）式中，有 P ( x ) dx P ( x ) dx dC( x) P ( x ) dx e P( x)C ( x)e P( x)C ( x)e Q( x) dx P ( x ) dx 即 C ( x) Q( x)e 积分得
(3) (4)
将条件（ 2）代入（ 3），可得c 1，则所求曲线方程：
例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现 汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已 知汽车刹车后获得加速度为－4 m / s 2,问汽车是否会撞到小孩？ 解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
2
y x 1只是其中过（ 1 ， 2）点的一条积分曲线。
8.2
可分离变量的一阶微分方程
一阶微分方程（differential equation of first order）
y f ( x, y ) 如果能化成 (1) g ( y )dy f ( x)dx(2)
的形式，即可表示为一端只含y的函数和dy, 而另一端只含
(5) (6)
(7) (8)
t 0
将条件v t 0 10代入（7）式中，将条件 S
0代入（ 8）式，
(9)
S 2t 2 10t (10) 在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为： 2 S 2 2.5 10 2.5 12.（米） 5
8.3 一阶线性微分方程
形如 y P ( x ) y Q( x ) (1)
的方程叫做一阶线性微 分方程 （linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
y的一次式。
如果Q ( x ) 0, 则方程（ 1 ）称为线性其次微分方 程； 当Q ( x ) 0时，方程（ 1 ）成为线性非其次微分 方程。 我们先来讨论一阶线性 齐次微分方程 y P( x) y 0 的解法。 ( 2)
如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式， 则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。 （4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分 方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微 分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分 别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一 常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。 为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件， 这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。
例3 种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数 的最大容量为b， 则种群生长速度不仅与t时刻种群数量 N成正比，且与密度制约因子
bN b
成正比，试确定种群
生长规律。
解由题设条件可得方程 ： dN b N k N dt b dN a (b N ) N dt
或 k 其中a b
dN 分离变量，得 adt N (b N ) N (b N ) 两边积分 dN abdt N (b N ) N 得 ln abt ln C bN N abt Ce bN Cbeabt b 于是 N abt 1 abt 1 Ce 1 e C 这就是种群的生长规律 。
上述两例中，（ 1 ）式和（ 5）式都含有未知函数的 导数，它们
d2y dy p qy f ( x) 2 dx dx
(11)
dy y 2x dx dny 1 0 n dx
等都是常微分方程。
(12) (13)
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高 阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和 （12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程， 而（13）是n阶微分方程。
原方程，经整理得 解得
C ( x) e x
C ( x) e x C 1 x 于是原方程的通解为 y (e C ) x 方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
e ye ( e dx C ) x x e ln x ln x e ( e dx C ) x 1 x ( e dx C ) x 1 x (e C ) x
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
d 2s 4 2 dt ds 及条件 S t 0 0, v t 0 t 0 10 dt 对（5）式两端积分一次，得 ds v 4t c1 dt 在积分一次，得 S 2t 2 c1t c2 得c2 0, 从而得到 v 4t 10
解 分离变量，得 y
x dy dx 2 2 1 y 1 x 1 1 1 2 2 两端积分，得 ln(1 y ) ln( 1 x ) ln C 2 2 2 即 1 ＋y 2 C (1 x 2 )
再利用初值条件 y
x 1
1, 确定C 1, 从而所求特解为 yx
一.一阶线性齐次微分方程
方程（2）是可分离变量的微分 方程，分离变量后，得 dy P( x)dx y 两端积分，得ln y P( x)dx＋ln C
即
y Ce
P ( x ) dx
这就是线性齐次微分方 程（2）的通解。 比如线性齐次微分方程 1 y y 0 x 的通解为 y Ce
P ( x ) dx
x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)， 从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法 （method of constant）. 将（5）式改写成两项之和的形式
y Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x)e dx
的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如
（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解
dS 形如y x 0 0或S t 0 10, 的定解条件，即根据 t 0 10 dt 时刻的状态得到的定解条件， 所研究系统所处的初始
称为初值条件（initial value condition）.初值条件的
x的函数和dx, 那么原方程就称为可分 离变量的微分方程 (differential equation of separated variables).
形如 dy f ( x) g ( y ) dx P 1 ( x) P 2 ( y ) dx Q1 ( x )Q2 ( x ) 0
的方程均为可分离变量 的微分方程。
个数通常等于微分方程的阶数，
一阶微分方程的初值条件一般为 y x x0 y0 ; 二阶微分方程的初值条 件 .其中 x0 , y0 , y0 都是给定的值。 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲 线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分 曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如 y x 2 c 是方程（1）的积分曲线族,而
C1 x3
因 eC1 仍是任意常数，令其为 C，则所求得通解为 y Ce
x3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成ln y, 但要 记住结果中的常数C可正可负。 显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
C=0即可。 例2 求微分方程 x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 的通解即在条件 y x0 1下的特解
所以汽车不会撞到小孩 。 都是微分方程。 二.微分方程的基本概念
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 （differential equation）.未知函数为一元函数的微分 方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微 分方程（partial differential equation）.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
P ( x ) dx C ( x ) Q ( x )e dx C
将其代入（ 4）式，就得到了一阶线 性非其次方程（ 1 ）的
p ( x ) dx 通解： Q ( x ) e dx C (5) 上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成
ye


1 dx x
x
1 dx x
dy 2 y x 1 例2 原方程可化为 dx x x2 这是一阶线性非齐次方 程，其中 2 x 1 P( x) , Q( x) 2 x x 代入公式（ 5），得
8.1
微分方程的基本概念
一.引例
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一 点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。 解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义， y(x)应满足：
dy 2x dx 及条件y (1)
x 1
2
(2)
对（ 1 ）式两端积分，得
y 2 xdx即y x 2＋c y x2 1
对（2）式两端分别积分，便 可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
解 首先分离变量 ，得
g ( y )dy
f ( x) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3x dx y
x 3 C1
两端积分，得 即
ln y x 3 C1 y e 或y e e