圆内接四边形的性质与判定PPT教学课件

直线EF // CB,交AD的延长线于F, FG切圆于G.
求证 : 1DFE ~ EFA;2EF FG.
2由1知DFE ~ EFA,
C
所以 EF FD ,即 FA EF
EF 2 FA FD .
因为FG是圆的切线, 所以FG2 FA FD,
B O
E
A DF
G
图2 29
故 FG2 EF 2 ,即 FG EF .
以PA PC .
D C
O
AB
图2 25
CD
O
AB
图2 26
结合切线的性质定理, 我们有
切线长定理 从圆外一点引
A
圆 的 两 条 切 线,它 们 的 切 线 长
O
相 等,圆 心 和 这 一 点 的 连 线 平
P
分 两 条 切 线 的 夹角.
C
图2 27
证明 如图2 27,连结OA、 OC,则OA PA,OC PC.
所以FQA FPC. 则Q、F、P、C四点共圆.
故QFC QPC. 又因为CF AB,
所以 QFC 与QFA 互余.而A与QFA 也互余,
则A QFC , A QPC.
因此, A、B、P、Q四点共圆.
练习:课本P30习题1、2、3
例题：ABCD是圆内接四边形，过点C作DB 的平行线交AB的延长线于E点， 求证：BE·AD=BC·CD．
例1 如图2 9,圆O1与圆O2都经过A、B两点.
经过点A的直线CD与圆O1交于点C,与圆O2交
于点D.经过点B的直线EF与圆O1交于点E,与
圆O2交于F.求证 : CE // DF .
证明 连结AB.
A
因为四边形ABEC是圆 C
•
O1
O1的内接四边形.
E
B
所以BAD E.
图2 9
D
•
O2 F
圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的 对 角 互 补, 那 么 这 个 四 边 形 的 四 个顶 点 共 圆.
推理 如果四边形的外角等于它的内角的对角, 那么这个四边形的四个顶点共圆.
D C
O A
B E
已知 :四边形ABCD中, B D 1800 , 求证 : A、B、C、D在同一圆周上
简称四点共圆 .
． 求证：CD 2 DE
BC 2 CE
A
O C
B
D E
小结：
一、圆的切线的性质定理 二、圆的切线的判定定理 三、圆的切线的判定与性质的应用
选修 4-1
几何证明选讲
第二讲 直线与圆的位 置关系
与圆有关的比例线段
复习：
一、圆内接四边形的判定和性质 二、圆的切线的判定和性质 三、穷举法
探究 如图, AB是圆O的直径,CD AB, AB与CD 相交于P, 线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系 ?
例3 如图2 30 ,两 圆相交于A、B两点, P为两圆公共弦AB 上任一点, 从 P引两 圆的切线 PC、PD, 求证 : PC PD.
P C
B D
A
图2 30
证明 由切割线定理可得PC2 PA PB, PD2 PA PB.
所以 PC 2 PD2,即 PC PD .
例4 如图2 31, AB是圆O的直径, E
分析 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 经过A、B、C三点作圆O,如果能够由条件得 到圆O过点D,那么就证明了命题. 显然,圆O与点D有且只有三种位置关系:
1点D在圆外; 2点D在圆内; 3点D在圆上. 只 要 证 明 在 假 设 条 件 下只 有3成 立, 也 就 证 明
了命题.
证明 1如果点D在圆 的外部图2 7.设 E 是
A E与圆周的交点, 连结 EC,则有AEC B 1800 . 由题设B D
1800 ,可得D AEC.
A O
E D
B C
图2 7
这与"三角形的外角大于任一不相邻的内角" 矛盾.故点D不可能在圆外.
2如果点D在圆O的内部 图2 8.显然, AD的延长
线必与圆相交, 设交点为 E,连结CE,则B E 1800. 因为B ADC
B
两条弦AB、CD相交于圆 A P
内一点P,已知PA PB
O
4,
PC
1 4
PD.求CD的长.
D
图2 28
解
设CD
x, 则P D
4 5
x,
PC
1 5
x.
由相交弦定理,得 PA PB PC PD.
所以4
4
1 5
x
4 5
x,
x
10.
故CD
10.
例2 如图2 29, E是圆内两弦AB和CD的交点, 直线EF // CB,交AD的延长线于F, FG切圆于G.
因为OA OC,OP OP,
所以RtOAP RtOCP.
故 PA PC, APO CPO .
CD
P
O
AB
图2 26
思考 由切割线定理能证明切线长定 理吗?在图2 26中,由 P 向圆任作一条 割线试一试.另外 ,你能将切线长定理 推广到空间的情形吗?
例1 如图2 28 ,圆内的
C
割 线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下 面 继 续 用 运 动 变 化 思想 探 究.
探究 在图2 24 中, 使割线 P PB绕 P 点运动到切线位置
图2 25, 是否还有PA PB
PC PD?
连接AC、AD,同样可以证明 PAC ~ PDA (请同学们自
己证明),因而1 式仍然成立.
选修 4-1
几何证明选讲
第二讲 直线与圆的位置 关系
圆内接四边形的性质与判定
复习：
一、什么是圆的内接多边形? 二、任意多边形都一定有外接圆吗?
思考:什么样的四点共圆呢? 圆内接四边形有什么性质呢?
一般地 ,我们可以从四边形
C
的边的关系、角的关系等来
考察这些图形的共同特征.下 D O
面考察四个角的关系.
B E
DO
C
图2 32
又因为四边形ADFB是圆O2的内接四边形. 所以BAD F 1800 ,则E F 1800.
因此CE // DF.
例2 如图2 10,CF是ABC
C
的AB边上的高, FP BC, FQ Q
P
AC.求证 : A、B、P、Q四 A 点共圆.
F
图2 10
B
证明 连接PQ.
在四边QFPC 中,因为FP BC, FQ BC,
小结
与圆有关的角 与圆的有关的四边形
与圆有关的直线 与圆有关的比例线段
小结
思想方法: 分类思想方法: 运动变化思想: 猜想与证明:
例5 如图2 32, AB、AC是 圆O的切线, ADE是圆O的割 线,连接CD、BD、BE、CE. A 问 题1 由 上 述 条 件 能 推 出 哪 些 结 论?
在这种情况下, A、B两点重 P 合, PA PB PC PD,变形为:
PA2 PC PD. 2
D C
A
O
B
图2 24
D C
O
AB
图2 25
由上述探究和论证, 我们有
切 割 线 定 理 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切线 和 割 线,切 线 长 是 这 点 到 割 线 与圆 交 点 的 两 条 线 段 长 的 比 例 中项.
设 P为圆外一点,过 P 的圆的切线的切点为 A, 称PA为P点到圆的 切线长.
D
C
P
O
AB
图2 25
探究 在图2 25中, 使 割线 PD绕 P点运动到 P
切线位置图2 26,可
以得出什么结论?
从图2 25变到图2 26 时, 点C与 点D重 合,因 此
1式变为PA2 PC 2 ,所 P
D O
当点P在圆外时,在图2 24中,
B
图2 23
连接AD、BC, 容易证明PAD
~ PCB,所以 PA PD ,即
PC PB
D
PA PB PC PD. 1
C P
O
A
B
图2 24
根据上述探究和论证, 我们有 C P A
D O
割线定理 从圆外一点引圆
B
的两条割 线 ,这一点到每条
图2 24
图2 13
是圆O的切线,所以OC CD.
又因为AD CD,所以OC // AD.由此得
ACO CAD. 因为OC OA,所以CAO ACO.
则CAD CAO .故AC平分DAB .
练习:课本P32习题1、2、3 课本P34习题1、2
．
例题：已知 ABC内接于⊙O，∠A
的平分线交⊙O于D，CD的延长线 交过B点的切线于E．
D
C
A
B
E
小结：
一、圆内接四边形的性质定理 二、圆内接四边形的判定定理 三、圆内接四边形判定与性质的应用
选修 4-1
几何证明选讲
第二讲 直线与圆的位 置关系
圆的切线的性质及判定定理
复习：
直线与圆有哪几种位置关系?
相离
相切
相交
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切 点的 半径.
推 理1 经 过 圆 心 且 垂 直 于 切 线的 直 线 必 经 过 切 点.
推理2 经过切点且垂直于切线的直线 必 经 过 圆 心.
请给予证明
O
A
思考 圆的切线性 质定 理及它的 两个推论,涉及一条直线的三条性
质: 1经过圆心 ;2经过切点 ; 3
垂直于切线.你能把圆的切线性质 及它的两个推论概括在同一个定 理中吗?
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直 于 这 条 半 径 的 直 线 是 圆的 切 线.
所以AC AD AF AB. 两式相加得
AC AD BC BE ABAF BF AB2 .
例5 如图2 32, AB、AC是 圆O的切线, ADE是圆O的割 线,连接CD、BD、BE、CE. A
B E
DO
图2 32
C
练习:课本P40习题
．
小结：
一、相交弦定理 二、割线定理 三、切割线定理 四、切线长定理
D A
PO C
D
A
B
P
O
C
D
BA
B
PO
C
连接AD、BC,则由圆周角定理的推论可得: A C. 故RtAPD ~ RtCPB.则 PA PC .即PA PB PC PD.
PD PB
由上述探究及论证, 我们有 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的 两 条 线 段 长 的 积 相 等.
当点P在圆上时 , PA PC 0, 所以PA PB PC PD仍成立. C,PA
则OD // AC, 又因为DEC 900 ,
所以ODE 900. 又因为D在圆周上,所以 DE是圆O的切线.
例2 如 图2 13 , AB 为圆O 的 直径 ,C 为圆O上一点, AD 和过 C点的切线互相垂直, 垂足为D. A 求证 : AC平分DAB .
D C
O
B
证明 连结OC, 因为CD
请给予证明
思考:圆的切线的判定还有其它定理吗?
如果圆心到一条直线的距
离等于半径，则这条直线
是圆的切线
O
A
C
例1 如图2 12, AB 是圆O的直
径,圆O过BC的中点D, DE AC. E
D
求证 : DE是圆O的切线.
B
证明 连接OD. 因为BD CD,OA OB,
O A
所以OD是ABC的中位线.
B
显然,圆内接四边形的角都是
A
圆周角.因此,为了考察这些圆
周角的关系, 我们可以借助圆周角定理.
如图2
61,
连接OA、OC, 则B
1 2
,
D
1 2
.
因为
3600 ,所以B
D
1 2
3600
1800
同理得 A C 1800.
由此得圆内接四边形的性质定理1 :
D
定理1 圆的内接四边形的对角互补. C
A DE
O C
B
图2 8
1800 ,所以E ADC .同样产生矛盾.
所以点D不可能在圆内.
综上所述,点D只能在圆周上.即 A、B、C、 D四点共圆. 因此得
在圆内接四边形判定定理的证明中, 我们用 分类思想对点D与ABC三点确定的圆的位置 关系进行讨论, 在每一种情形中都运用反证 法 .当问题的结论存在多种情形时, 通过 对每 一种情形分别论证,最后获证结论的方法, 称 为穷举法.
D
C
过A、B引两条弦AD和BE, 相交于
Βιβλιοθήκη Baidu
A
C.求证 : AC AD BC BE AB2.
FO
B
证明 连接AE、BD,过C作 CF AB,与AB交于F.
图2 31
因为AB是圆的直径,所以AEB ADB 900.
又因为AFC 900 ,故A、F、C、E四点共圆.
BC BE BF BA.同理 F、B、D、C四点共圆.
将图2 61中的线段AB延长到点E,
得到图2 62.由于ABC EBC
1800 ,所以EBC D.
E
于是又得性质定理2 :
O A
B
图2 62
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
经过上面的讨论, 我们得到了圆内接四边形的两条 性 质.一 个 自 然 的 想 法 是, 它 们 的 逆 命 题 成 立 吗? 如 果 成立 ,就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.
求证 : 1DFE ~ EFA;2EF FG. C
证明 1因为EF // CB,
所以DEF DCB .
因为DCB和DAB都
A
是弧DB上的圆周角,
所以DAB DCB DEF .
B O
E
DF G
图2 29
又DFE EFA, 故DFE ~ EFA .
例2 如图2 29, E是圆内两弦AB和CD的交点,