全称量词和存在量词

解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
故所求的取值范围 a≥5.
跟踪练习
1. 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意 x∈R恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立， 求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
解：(1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有 的”．∀x∈R，x2≥0.是真命题．
(2)∃x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，是真命题．
如x＝0，y＝2时：2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0 成立．
(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾 股定理．
即∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长， a2＋b2＝c2.是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在 x0∈R，使x0－1 1＝0 成 立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当 m＝4，n＝3 时，使 m－n＝1 成 立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在 A＝{3}，使 A {1,2,3}成立，
所以该命题是真命题．
跟踪练习
1. 指出下列命题是全称命题，还是特称命题， 并判断它们的真假． (1)对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立． (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被 5整除． (3)对数函数都是单调函数． (4)∀x∈R，x2－3x＋2＝0.
例题讲解
类型一、全称命题与特称命题的判定 [例 1] 指出下列命题是全称命题还是特称命题， 并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x0∈R，使x0－1 1＝0； (3)存在一组 m、n 的值，使 m－n＝1；
(4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为∀ x∈N,2x＋1 都是奇数， 所以该命题是真命题．
(2)特称命题： ①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题． ②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0)，读作 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
如何判断特称命题的真假呢？ 提示：要判定特称命题“∃ x0∈M，p(x0)”是真命题， 只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使 p(x0)成立即可；如 果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个 特称命题是假命题．
2.特称命题的否定：
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定， 有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的 否定綈p：∀x∈M， ¬p(x)．特称命题的否定是全称 命题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的 否定为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中， 把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有 的”．
跟踪练习
1. 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；
(2)两个有理数之间，都有一个有理数； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.
解：(1)一切n边形的内角和都等于(n-2)×180°；
(2)任意两个有理数之间，都有一个有理数；
(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.
如何判断全称命题的真假呢？ 提示：要判定全称命题“∀ x∈M，p(x)”是真命题， 需要对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)成立；如果在 集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这 个全称命题就是假命题．
2．存在量词和特称命题
(1)存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词，并且符号“∃”表示．
例题讲解
类型三、全称命题与特称命题的真假判断 [例 3] 给出下列四个命题． ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③∃x0∈Z，x03<1； ④∃x0∈Q，x02＝3. 其中是真命题的是________(把所有真命题的序号 都填上)．
[解析] ①由于∀x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立． 所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
概念理解
1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是( ) A．真命题 B．全称命题 C．特称命题 D．不含量词的命题
解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命 题．
答案：B
常见的全称量词有：“所有的”“任意一 个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”
等．
常见的存在量词有：“存在一个”“至少有
二、 含有一 个量词的命题
的否定
新课讲解
1．全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定， 有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否
定綈p：∃x0∈M， ¬p(x0)．全称命题的否定是特称命
题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至 少存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称量词 “所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
⑤凡x∈A，都有p(x)成立
⑤有一个x∈A，使p(x)成立.
2．既是特称命题，又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个 x∈R，使 x2≤0 C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数 x，使1x>2 解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
答案：B
3．下列命题是假命题的是( ) A．∀x∈R,3x>0 B．∀x∈N，x≥1 C．∃x∈Z，x<1 D．∃x∈Q， x∉Q
解析：①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即： 任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在 量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称 命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为 任意三角形内角和为180°.
答案：①②③ ④⑤
5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并 判断真假： (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立； (3)勾股定理．
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只 需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意 x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个 实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4. 所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
[解] (1)依题意可得以下几种不同的表述： 对所有的四边形x，x的内角和为360°； 对一切四边形x，x的内角和为360°； 每一个四边形x的内角和为360°； 任一个四边形x的内角和为360°； 凡是四边形x，它的内角和为360°.
(2)依题意可得以下几种不同的表述： 存在实数 x0，使 x20＝x0 成立； 至少有一个 x0∈R，使 x20＝x0 成立； 对有些实数 x0，使 x20＝x0 成立； 至少有一个 x0∈R，使 x20＝x0 成立； 对某一个 x0∈R，使 x02＝x0 成立．
命一题个”“全称有命些题“”∀x“∈A有，p一(x个)” ”“某特个称命”题““∃有x∈的A，”p(x)”
等．
①所有的x∈A，p(x)成立
①存在x∈A，使p(x)成立
表述方 法
②对一切x∈A，p(x)成立 ③对每一个x∈A，p(x)成立 ④任选一个x∈A，使p(x)成立
②至少有一个x∈A，使p(x)成立 ③对有些x∈A，使p(x)成立 ④对某个x∈A，使p(x)成立
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3， 而它们都不是有理数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x02＝3”是假命题．