解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。

根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种；㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。

根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。

现有4解析：依题意至少要用3种颜色。

①若用3种颜色，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。

共有4种。

根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。

从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。

例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有一组对角小方格涂相同的颜色。

排列组合中的区域涂色问题

排列组合中区域涂色问题排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。

本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。

区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。

再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。

最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为45A ；当使用3中颜色时，分两类：①④同色或者②④同色，方法种数为352A 。

可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为35A 。

根据分类分类加法原理，所有涂色方法总数为43552A A +。

例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。

①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区域合并成了4个区域）故有34A 种；②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

最后，由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A ；③涂两种颜色：两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=例4、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

妙解排列组合里的涂色问题

㊀㊀㊀妙解排列组合里的涂色问题◉江苏省江安高级中学㊀肖雄伟摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提供一些思考的方向和解题的思路．关键词:排列组合;涂色;解题技巧１一分步,二分类对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计数原理解题．图１例题１㊀假设中国的某一个省由５个市区组成,这个省的市区分布如图１所示,现给地图上色,要求相邻区域使用的颜色不能相同,现有４种颜色可供选择,那么不同的上色方法一共有㊀㊀㊀㊀种．分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总的上色方法就有４ˑ３ˑ２ˑ２＝４８种;当市区２和市区４的颜色不一样的时候,优先给市区２上色的方法有３种,此时市区４就有两种上色方法,那么市区３和市区５就只有一种上色方法,因此此时上色的总方法数为:４ˑ３ˑ２ˑ１ˑ１＝２４种．所以,一共有２４＋４８＝７２种上色方法．图２推广１㊀如图２,用４种不同颜色给图中A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点涂色,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析已知条件要求,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,看似问题较为复杂,无从下手．结合图形解读问题要求,可以发现需要涂色的６个点可以分为上下两部分,即A ,D ,E 为一组,剩下的点B ,C ,F 为另一组．解答该问题可先使用分步法,后使用分类法．首先第一步涂色A ,D ,E ,即A ３４种方法;第二步分别涂色B ,C ,F ,即２ˑ４＋１ˑ３种方法．此时涂色方法总数为A ３４(２ˑ４＋１ˑ３)＝２６４种,所以一共有２６４种涂色方法．２一分类,二分步对于某些较为复杂繁琐的涂色问题,就需要首先以使用颜色的种类为依据进行分类,特别是不同的题目对于要求使用颜色的种类也不一样．当题目中出现要求三种颜色时就需要进行分类计数,如果没有出现最多使用三种颜色的要求,那么问题就更复杂了,还需要做深入的思考和处理,分类计数原理是处理此类复杂问题的首要方法．即解题步骤为首先分析题目要求的用色的种类,要求有最多使用三种颜色的就可以进行分类,如果没有最多三种颜色这个条件的要求,那么需要再思索．一般来说,中学阶段出现后面这种情况的题型很少．㊀图３例题２㊀幼儿园老师让班上的小朋友给图３中的四个格子涂色,其中要求:有６种不同的颜色可以使用,每一个格子一次只能涂一种颜色,一次使用的颜色最多只有三种且每两个相邻的格子颜色不能一样．那么不一样的涂色方式有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析题目信息可以知道,此题与例题１有共同的特点,就是结合使用分步和分类的方法来解题,但它明显比例题１复杂得多．因此对于此题应该首先以使用颜色的种类为依据来进行分类,这样就会简便许多,出错的几率也会相应减小．分类方式有两种:３８２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀第一种就是使用２种颜色涂,就有C １３A ２２＝３０种;第二种就是使用三种颜色上色,选颜色的方法就有C ３６＝２０种,选出３种颜色以后就在格子上上色的方法有C １３(２＋２＋２)＝１８种．根据分步计数原理就有:１８ˑC ３６＝３６０种．因此,一共有３０＋３６０＝３９０种上色方法．图４推广２㊀在一个正六边形的六个区域内栽种观赏植物,如图４,要求同一块区域内栽种同一种植物,相邻的两块区域种植不同的植物,现有４种不同的植物可供选择,则有㊀㊀㊀㊀种种植方案．分析:对问题所给条件分析,不难发现解答该问题需要使用分类计数原理和分步计数原理．以种植植物的种类个数为依据计算,进而求解具体种植方案仍具有一定难度．应考虑局部分类法,即以不相邻区域的种植植物种类个数为分类依据,进一步计算种植方案．则该问题可以分为三类情况:①区域A ,C ,E 种植同一种植物,剩下区域B ,D ,F 分别各有３种选择,即C １４ˑ３ˑ３ˑ３＝１０８种方案;②区域A ,C ,E 一共种植２种植物,剩下区域B ,D ,F 有３ˑ２ˑ２种选择,即C ２４C １３C １２ˑ３ˑ２ˑ２＝４３２种方案;③区域A ,C ,E 一共种植３种植物,剩下区域B ,D ,F 有２ˑ２ˑ２种选择,即A ３４ˑ２ˑ２ˑ２＝１９２种方案．所以,一共有种植方案１０８＋４３２＋１９２＝７３２种．３一平面,二空间对于一些很难掌握的点线面需要涂色的立体图形,由于相邻的地方比较多,因此就需要先把立体问题转化成为平面上的问题,然后再以使用颜色的种类为依据进行分类解答．即解题步骤为首先将立体图形转化成为平面图形,再根据题目情况分类,具体的分类情况由实际题目的要求决定,分类依据还是以使用的颜色种类为依据,分别进行讨论求解,最后所有情况相加就是需要求的总的情况数．例题３㊀已知有一个四棱锥P ＧA B C D ,如图５所示,使用４种不同的颜色在四棱锥的每个面上上色,要求相邻的区域颜色不同,一共有多少种涂法?图５㊀㊀图６分析:分析可知,此题需要将立体图形转化成平面图形,在平面区域中涂色．如图６所示,区域１,２,３,４等价于四棱锥的侧面,区域５等价于底面．下面就以使用的颜色的种类来分类:(１)使用３种颜色时:也就是区域１和３颜色一样㊁区域２和４颜色一样,那么就有A ３４种;(２)使用４种颜色时,那么根据要求区域１和３㊁区域２和４这两组里面只会有一组颜色一样,那么就有C １２A ４４种．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３４＋C １２A ４４＝７２种．推广３㊀用６种不同颜色给三棱柱A B C ＧD E F 的面涂色,如图７所示,要求有公共棱的平面涂色不相同,则有多少种涂色方法?图７㊀㊀图８分析:根据例题３可知,几何体有关于平面的涂色问题,解答时通常转化为平面图形进行求解．则该问题的求解思路与之类似,即将图７的三棱柱A B C ＧD E F 转变为图８的平面图形,以涂色颜色的种类为依据分类进行求解,其中图７中三棱柱的底面D E F 也需要涂色．由已知条件可知,至少需要上４种颜色,具体的解题过程为:使用４种颜色,即上下底面同一个颜色,则有A ３６C １３＝３６０种方法;使用５种颜色,即上下底面不同颜色,则有A ３６A ２３＝７２０种方法．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３６C １３＋A ３６A ２３＝１０８０种方法．涂色方法计数问题是目前排列组合问题的重难点,要学会正确的解答思路．解决此类问题的策略,首先要分析题目,然后再根据题目选择合适的解题方法,正确使用分类和分步计数原理．对于排列组合的基础知识也需要掌握牢固,避免出现基础性的错误．参考文献:[１]杨瑞强．涂色型排列组合问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２００８(４):１９Ｇ２０．[２]王东侠．例谈高考数学中涂色问题的处理技巧[J ]．河北理科教学研究,２０１２(３):４４Ｇ４５．[３]周建学．巧用捆绑法解涂色题[J ]．中学生数学(高中版),２００４(２３):１．Z４８复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

排列组合涂色问题

用三种颜色给6个格子涂色，若每种颜色只能涂两个格子，相邻的格子不重色，则涂色方法有几种？（格子是横排，一字排开6个）
第一种情况：首尾格颜色相同
此时易知只要第一格（尾格与之相同）和第二格的颜色确定下来，其他格
就定下来
方法数=3*2
第二种情况：首尾格颜色不同
先定首尾格，有3*2=6种；
剩下四格，
若2、4格相同，则2、4格只能选未选的第三种颜色，所以此时这四格有
2种方法
若2、4格不同，则第二格只能选与尾格相同的颜色或者未选的第三种颜色，
然后其他格便确定下来，此时这四格也有2种
所以第二种情况总共有6*（2+2）种
两种情况加起来有30种方法。

解决排列组合中涂色问题专题讲座

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，① ②③ ④ ⑤ ⑥4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

涂色问题的解题技巧

ʏ江苏省张家港中等专业学校张娴韩文美排列组合中有一类常见问题涂色问题,此类问题基于两个计数原理与排列组合知识,关注图形的结构特征,解决方法技巧性强且灵活多变,有利于培养同学们的创新思维能力㊁分析问题与观察问题以及解决问题的能力,已成为数学命题中比较常见的一类基本题型,备受各方关注㊂1.直线型涂色问题图1例1 (2022 2023学年江苏省常州一中高二下学期段考数学试卷)现有6种不同的颜色,给图1中的5个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用4种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种㊂分析:根据题设条件,选出的颜色可以是2种,3种或者4种,依次通过直线型的图形结构特征求出方法数,通过分类法求和,即可得以分析与求解㊂解:由题意选出的颜色可以是2种,3种或者4种,规定左边起为第一个空,不同情况如下㊂当选出2种颜色时,第一个空有2种选择,第一个空颜色确定后,其余空颜色就确定了,共有C 26ˑ2=30(种)方法㊂当选出3种颜色时,第一个空有3种选择,第二个空有2种选择,第三个空可分为与第一个空颜色相同和不同的情况,第四个空和第五个空都各有2种选择,但要去掉整体只用了2种颜色的情况,共有C 36C 13C 12㊃(C 12C 12+C 12C 12)-2C 36C 23=840(种)方法㊂当选出4种颜色时,必有2种颜色相同,可采用插空法,将这2种相同颜色去插入另外3种颜色形成的空,共有C 46C 14A 33C 24=2160(种)方法㊂综上分析,不同的涂色方法共有30+840+2160=3030(种)㊂点评:直线型涂色问题往往从第一个位置入手,逐一分析,在前一个已涂色的条件下涂下一个位置,注意对不同位置的分析加以合理分类讨论与分步处理,进而确定直线型涂色问题的种数㊂2.区域型涂色问题图2例2 (2022 2023学年湖北省武汉市高二下学期期中数学试卷)七巧板是古代劳动人民智慧的结晶㊂图2是某同学用木板制作的七巧板,它包括5个等腰直角三角形㊁一个正方形和一个平行四边形㊂若用四种颜色给各板块涂色,要求正方形板块单独一色,其余板块两块一种颜色,而且有公共边的板块不同色,则不同的涂色方案有种㊂分析:根据题设条件,先对七巧板中的不同区域加以合理标记,并通过画图分析其中四板块A ,B ,C ,D 必涂上不同颜色,再根据分类㊁分步计数原理计算剩下的部分即可得以分析与求解㊂解:由题意知,对七巧板中的不同区域加以合理标记,如图3所示㊂93解题篇创新题追根溯源高二数学 2024年3月图3由于一共4种颜色,板块A 需单独一色,剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色,且板块B ,C ,D 两两有公共边不能同色,故板块A ,B ,C ,D 必定涂不同的颜色㊂①当板块E 与板块C 同色时,则板块F ,G 与板块B ,D 或板块D ,B 分别同色,共有2种情况㊂②当板块E 与板块B 同色时,则板块F 只能与D 同色,板块G 只能与C 同色,共1种情况㊂又板块A ,B ,C ,D 颜色可排列,故共(2+1)ˑA 44=72(种)方案㊂点评:区域型涂色问题,应该给区域依次标上相应的序号,以便分析问题㊂在给各区域涂色时,要注意不同的涂色顺序,其解题就有繁简之分㊂在实际解答时,应按不同的涂色顺序多多尝试,看哪一种最简单㊂3.立体型涂色问题图4例3 (2024届上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷)某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具,如图4所示,现给图中的正方体展开图的6个区域涂色,有红㊁橙㊁黄㊁绿4种颜色可选,要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同,共有种不同的涂色方法㊂分析:根据题设条件,由正方体展开图的平面图形回归正方体的立体图形,先从涂A 入手,再分C 与F 同色㊁C 与F 不同色两种情况讨论,利用分步㊁分类计数原理分析与运算可得答案㊂图5解:如图5所示,还原回正方体后,D ㊁B 为正方体的前后两个对面,A ㊁E 为正方体的左右两个对面,F ㊁C 为正方体的上下两个对面,先涂A有4种涂法㊂①当C 与F 同色时,涂C 有3种涂法,若D 与B 同色,则有2种涂法,最后涂E 有2种涂法;若D 与B 不同色,则有A 22种涂法,最后涂E 有1种涂法㊂则有4ˑ3ˑ(2ˑ2+A 22ˑ1)=72(种)涂法㊂②当C 与F 不同色时,涂C 有3种涂法,涂F 有2种涂法,此时D 与B 必同色且只有1种涂法,E 也只有1种涂法㊂则有4ˑ3ˑ2ˑ1ˑ1=24(种)涂法㊂综上分析可得,一共有72+24=96(种)不同的涂法㊂点评:立体型涂色问题,往往要同时考虑平面几何的结构特征,又要考虑立体几何的结构特征,综合二维与三维中的涂色要求与限制条件,全面考查同学们的空间想象能力与逻辑推理能力㊂4.环状型涂色问题图6例4 (2024届浙江省名校联盟高三上学期9月份月考数学试卷)五行是华夏民族创造的哲学思想,多用于哲学㊁中医学和占卜方面㊂五行学说是华夏文明重要的组成部分㊂古代先民认为,天下万物皆由五类元素组成,分别是金㊁木㊁水㊁火㊁土,彼此之间存在相生相克的关系㊂图6是五行图,现有5种颜色可供选择给五行涂色,要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火,水生木,不能同色),五行相克可以用同一种颜色(例如水克火,木克土,可以用同一种颜色),则不同的涂色方法种数为( )㊂A.3125 B .1000C .1040D .1020分析:根据题设条件,从数学文化场景中加以合理转化,抽象问题的本质与内涵,通过环状型涂色问题来转化,并加以分析,先根据不相邻区域是否同色进行分类,确定涂色顺序,再分步计数即可㊂解:依题可知五行相克可以用同一种颜4 解题篇创新题追根溯源高二数学 2024年3月色,也可以不用同一种颜色,即无限制条件而五行相生不能用同一种颜色,即相邻位置不能用同一种颜色㊂故问题转化为图7中A ,B ,C ,D ,E 5个区域,有5种不同的颜色可用,要求相邻区域不能涂同一种颜色,即5种颜色5个区域的环状涂色问题㊂图7分为以下两类情况㊂第一类,A ,C ,D 3个区域涂3种不同的颜色㊂第一步涂A ,C ,D 区域,从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上,则有A 35种方法;第二步涂B 区域,由于A ,C 颜色不同,则有3种方法;第三步涂E 区域,由于A ,D 颜色不同,则有3种方法㊂由分步计数原理知,共有3ˑ3ˑA 35=540(种)方法㊂第二类,A ,C ,D 3个区域涂2种不同的颜色㊂C ,D 不能涂同种颜色,则A ,C 涂色相同,或A ,D 涂色相同,两种情况方法数相同㊂若A ,C 涂色相同,第一步涂A ,C ,D 区域,A ,C 可看成同一区域,且A ,D 区域不同色,即涂2个区域不同色,从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上,则有A 25种方法;第二步涂B 区域,由于A ,C 颜色相同,则有4种方法;第三步涂E 区域,由于A ,D 颜色不同,则有3种方法㊂由分步计数原理知,共有4ˑ3ˑA 25=240(种)方法㊂若A ,D 涂一色,与A ,C 涂一色的方法数相同,则共有2ˑ240=480(种)方法㊂由分类计数原理可知,不同的涂色方法数为540+480=1020㊂选D ㊂点评:求解环状型涂色问题,是基于直线型涂色问题加以分析与处理,同时要考虑最后一个位置与原来第一个位置之间的限制,这样才能形成一个闭环,这也是解决问题中比较容易出错的一个环节,要加以高度重视㊂5.探究型涂色问题例5 (2023年吉林省长春市高考数学质检试卷)将圆分成n (n ȡ2,且n ɪN *)个扇形,每个扇形用红㊁黄㊁蓝㊁橙四色之一涂色,要求相邻扇形不同色,设这n 个扇形的涂色方法为a n 种,则a n 与a n -1的递推关系是㊂分析:根据题设条件,对n 个扇形依次加以编号,按n =2与n >2两种情况加以分类讨论a n 的情况,由分步计数原理得到a n 与a n -1之间的关系㊂解:将圆分成n 个扇形时,将n 个扇形依次设为T 1,T 2, ,T n ㊂设这n 个扇形的涂色方法为a n 种㊂当n =2时,a 2=4ˑ3=12㊂当n >2时,T 1有4种涂法,T 2有3种涂法,接着T 3,T 4, ,T n -1,T n ,依次有3种涂法,故共有4ˑ3n -1种涂法㊂但当T n 与T 1的颜色相同时,有a n -1种涂法,a n =4ˑ3n -1-a n -1㊂点评:求解探究型涂色问题,往往从最简单的图形入手,依次分析两个图形涂色之间的联系与差别,进而加以合理推理,构建相应的关系式,得以解决对应的探究性问题,从而实现问题的解决㊂对于涂色问题,抓住探究问题的本质,结合涂色图形的结构特征,以及涂色的种数与限制条件,从关键点入手,结合选取颜色加以分析,合理分类讨论,借助两个计数原理以及排列组合知识,注意重或者漏的情形,进而加以合理操作与计算㊂(责任编辑徐利杰)14解题篇创新题追根溯源高二数学 2024年3月。

简单的计数问题排列组合中的涂色问题

D1 A1
C1 B1
D A
C B
五、检测练习
5.现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要
求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方
法共有
A.24种
√ B.30种 C.36种 D.48种
解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1 与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
新课引入
用红、黄、蓝、黑四种颜色涂下面三个图形，求下列各种涂色方法数：
(1)若每种图形涂一种颜色，共有多少种涂法？（2）若每种图形涂一种颜色,颜色不能重复，共有多少种涂法？（3）若每种图形涂一种颜色,相邻图形不同色，共有多少种涂法？
一、按区域分步涂色计数法
例1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
变式思考：
若将3种颜色变为4种颜色，按上述要求涂色,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48种。
跟踪练习 1：如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不
同颜色,则不同涂色方法种数为( A )
A. 180
B. 160
四、空间区域涂色问题
例4：将一个四棱锥的每个面染上一种颜色，并且使相邻两个面异色，若只有四种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？
S
D A
CHale Waihona Puke B解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于底面；根据共用颜色多少分类：

_涂色型_排列组合问题的求解策略

评注本题先转化问题, 调整问题图形, 使问题简化, 然后采用先分步再分类, 巧妙地运用图解穷举法安排区域 4、5、6的花色. 这种解决办法需确定或设计出完成事件的程序, 仍需要分类或分步 ( 类与类之间独立且并列, 步与步相依且连续 ), 而每个程序都是简单的排列组合问题, 但也要注意图解穷举要全面, 不能重复也不能遗漏.
第 4期
高中数学教与学
涂色型排列组合问题的求解策略
杨瑞强 (湖北省黄石实验高中, 435000)
涂色型的排列组合问题, 是通过实际问题情境给出图形按要求涂色的一种排列组
合题型, 是近几年试题改革的一个新的亮点. 此类试题立意新颖、构思精巧、解法灵活, 能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力. 解决此类问题的关键是找准入手点进行分类讨论. 本文通过对若干例题的分析, 试图说明此类问题的常见求解策略, 供大家参考.
同, 且两端的格子的颜色也不同, 则不同的涂
色方法共有
种. (用数字作答 )
思路 1 着眼于位置 . 以格子为主分
步、分类: 从左至右第一格涂色有 6种方法; 第
二格涂色有 5种方法; 若第三格与第一格同色, 则第四格有 5种涂法; 若第三格与第一格不同色, 则有 C14 C12 种. 由分步、分类计数原理共有 6 ! 5 ! ( 5 + C14 C12 ) = 390种, 故填 390.
+
2A
4 4
=
24 +
2 ! 24 =

排列组合中涂色问题的常见方法和策略

排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

1.2.5排列组合中的涂色问题(北师大版)

面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
染色问题:
• 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
本类有 C35·C13·C12×2 种涂法．
第三类：用 5 色中的 4 色，有 C45·A44种涂法．由分类加法计数原理，共有涂法 C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．
法3——按涂色区域分类 A52 +2A53 +A54
【训练1】用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、 C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5 种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
４、某城市在中心广场建造一个花圃，
5
花圃分为6个部分（色的花，每部分栽种一
法二 (按用色种数分类) 第一类：用 5 色中的两色，则 A、C 同色，B、D 同色，共有 C25·A22种涂法．第二类：用 5 色中的 3 色，选取 3 种颜色有 C35种选法，三色中的一种颜色涂 A，有 C13种涂法，一种颜色涂 B 有 C12种方法，若余下的一种颜色涂 C，则 D 与 B 同色．若余下的一种颜色涂 D，则 C 与 A 同色．故最后一种颜色有两种涂法．
解 (分步涂色)

排列与组合中的涂色问题例析

排列与组合中的涂色问题例析北京师大燕化附中（102500）钱月华史树德在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。

拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。

一、带状区域的涂色题带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式m n A 的思想方法类似，可构造排好顺序的m 个空位（格），从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个填充.此类涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法？解析：从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有33A 种，且右面两相邻格涂法有12A 种.共有121233=⋅A A 种.二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有33A 种，末一格涂法有12A 种，共有121233=⋅A A 种.三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有44A 种，其中产生与一类重复的有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）.综上得：42)6(4412331233=-++A A A A A （种）.点评：本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。

例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法？解析：首先考虑同色的三个格子排列法有35C 种，且任选4种颜色之一涂色，共有35C 4种。

第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有33A 种，共有(35C •4) •33A =240种。

点评：注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法简化，某同学列出算式35C 34A 时否？为什么？例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？（07天津市理科高考16题）图2解析：题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色（用1种颜色不合题意），启示我们把解法分成两类：一类是用2种颜色涂有26C 种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子涂法有22A 种，共有26C 22A =30种。

例谈涂色问题的常见方法及应对策略

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中学数学杂志
２０１３年第７期
例谈涂色问题的常见方法及应对策略
曲阜师范大学附属中学 “ 涂色型”的排列组合问题，立意新颖、构思精巧、解法灵活，能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力．解决涂色问题的方法技巧性强且灵活多变，这类问题更有利于培养学生的创新思维及分析２７３１６５张海军
题等价于求方程。＋６＋ｃ＝ａｂｃ的正整数解．
１
＋
一
由于口， ≥ｉ（ｉ＝１，２，３，４），故
１
—
ｌ
＋００３０４
１
１
＋
０ｌｒ上２ｒ上４
１
≤
Ｚｘｊｘ斗
不妨设ｎ ≤ｂ ≤ｃ，三角形最小内角 ≤÷，
０，２０，３ｎ４
ｒ上１Ｏ￣２０，３
１１ｌ＋— １Ｘ３ —× ４＋— １Ｘ２ — Ｘ４＋— １Ｘ２ — Ｘ３＜１．
故。 ≤ 。：１，１＋６＋。：６ｃ，即 ÷＋十：１．
（１）Ｂ用四种颜色，则有４必与Ｆ颜色相同、Ｃ与颜
色相同，故有Ａ：Ｘ１ｘ１＝２４
种方法．（２）Ｂ、Ｆ、Ｅ、Ｄ用三种颜
与解决问题的能力，是近几年高考及竞赛试题改革
的一个新亮点．解决此类问题的关键是找准突破口，进行恰当的分类讨论．本文以近几年的高考及竞赛题为例总结涂色问题的常见方法及应对策略．例１（２０１０年天津卷）如图１，用四种不同颜

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略于涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1、当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2、区域3与5必须同色，故有34A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3、当用四种颜色时，若区域2与4同色，4、则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72二、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

排列组合中涂色问题的破解策略

排列组合中涂色问题的破解策略黄世勇【专题名称】高中数学教与学【专题号】G312【复印期号】2010年06期【原文出处】《高中数理化》(京)2010年1期第20,21页【作者简介】黄世勇，江苏省启东市汇龙中学。

【关键词】EEUU作为能力考查型试题，排列组合试题一直充当着十分重要的角色，其中涂色问题作为排列组合中的典型问题，在考题中出现的频率很高。

由于对同学们的思维要求高，故在解题时出现的问题很多。

本文归类总结破解策略，旨在对同学们有所帮助。

一、简单涂色问题:以分步为主，分类为辅例1 如图1，一个地区为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色。

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种。

图1解析本小题在各类资料上都能找到影子，但在所给图形变化后，需要有敏锐的观察力。

本题的区域1较特殊，它与其他4个区域都相邻，故本题采用分步计数原理时，先涂区域1，有4种涂法;涂2、4区域时可同色与不同色，若区域2、4同色有3种涂法，此时区域3、5均有2种涂法，涂法种数为4×3×2×2=48种。

若区域2、4不同色，先涂区域2有3种，再涂区域4有2种，此时区域3、5都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1=24种，因此共有48+24=72种。

破解策略简单的涂色问题可以直接用乘法原理处理，但附加条件较多时应根据已知条件将分步原理和分类原理结合。

特殊的区域优先考虑，故本题先处理区域1，以分步为主，2、4区域和3、5区域处理时又作适当的分类，分步与分类相辅相成。

类比拓展本题可类比为花坛种花，画画配色等。

如将例1改成:如图2，一环形花坛分成A、B、C、D4块，现有4种不同的花供选种，要求每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为______。

图2不难发现，本题虽是种花问题，但与涂色问题的本质是一样的，解题的关键是将4部分分步与分类相结合着色，答案为84种。

高中数学课件6-2排列组合之专题二：涂色问题

2. 将m(m≥4)种颜色染n(n≥3)棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，那么不同的染色方法总数是an=_m_[_(m__-2_)_n+_(_-_1)_n_(m_-_2_)]_
课堂小结
1.环状涂色问题涂法总数公式: an (1)n (m 1) (m 1)n (n≥2，m≥3)
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A, B, C, D四个区域依次分四步完成: 第一步,m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步,m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,
(其中 n为不同区域数, m为不同颜色数)
2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式: an m[(1)n (m 2) (m 2)n ] (n≥3，m≥4)
解: 因为 n=6, m=5, 由公式得
an (1)n (m 1) (m 1)n
(1)6 (5 1) (5 1)6
4 46 = 4100
A
F
B
E PC D
巩固练习
1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有____2_6_0____种不同着色方法 .
2.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现
有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两
块种不同的花，则不同的种法总数为( B )
A.96
B.84
C.60
D.48
A
D
B
C
典例分析
例2 (2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现