解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯= 2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有4

4A ；

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44

A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44

A ；

（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有4

4A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色

（1）当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， （2）区域3与5必须同色，故有34A 种；

（3）当用四种颜色时，若区域2与4同色，

(4)则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

② ① ③

④ 2

4

3

1 5

1 2 3

4

①

②

③

④

⑤

⑥

分析：可把问题分为三类：

（1）四格涂不同的颜色，方法种数为4

5A ；

（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A ；

（3）两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=

4、根据相间区使用颜色的种类分类

例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4333108⨯⨯⨯=种方法。

（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有22

34C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。

（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法。此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。

故总计有108+432+192=732种方法。说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？ 解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种

（1）当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12

（2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色， ，1n A

-与n A 不同色，共有1

43n -⨯种

染色方法， 但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：

1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯ 2

1

3

2

1

2343

43

43

43

43

n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33

n n n n

n

--==⨯-++-⨯=-⨯+

二、点的涂色问题 方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

A

B C D E

F

3A 1A 2

A 4

A n

A

3

A