刚体的能量,定轴转动的动能定理
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§3--3刚体的能量 ，定轴转动的动能定理 一、刚体的平动动能
n mj vC E 1 m v 2 C mj i i k平 m j m M j C i 1 2 mjC mM CC mi M mj C m i 1 2 mj Mi M Mvc C mi i m M 2 C C mi M M mi mi vc为质心的速度
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设 在力矩作用下，刚体的角 位置由 1 2 则力矩的 功
2 1
X X
1
2 1
O
2
M
M
A dA Md (2)
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XO
r
mg
A力矩
转到铅直方向的过程，角速 度从 0 -
Md 0 /2 L mg cos d 0 2
/2
mgL / 2
N Y Z XO r
依动能定理
mg
A力矩
A力矩
L mg 2
1 1 2 2 J J0 2 2
hC
E机械
1 2 1 2 mghC mvC J 2 2
四、力矩的功、定轴转动的动能定理 设有一外力 F 作用在 + d ds 刚体上，绕O轴作定轴 转动（ F 在垂直于轴 O 的平面内）。 M M 在时间 dt 内刚体角位移为 d 力 F 作的功：
F
r
ds rd dA F ds F sin rd Md
L 1 2 mg J 0 2 2 mgL mgL 3g 1 L 2 J mL 3
yi
MgyC
M
g
mi
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的 质元 m , m m m
1 2 i
2 i i 2
ri M
vi m
i
1r 2 2 / 2 2 E E mi i J k k i 1 2 n 1 2 2 1 Ek lim mi ri ( r 2 dm) 2 m 0 2 2 n i 1
角速度由
M
M
考虑一个过程，设在力 矩作用下，刚体的角位 置由 1 2
定轴转动刚体的动能定理：外力矩对转动刚体 所作的功，等于刚体转动动能的增量。
X X
1
2 1
O
2
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
MBaidu Nhomakorabea
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以 枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 求： 当杆过铅直位置时的角速度： 求：， 已知：m，L N Y 解(二)：考虑杆从水平静止 Z
由（1）式：
d d Jd dA Md Jd J dt
2 1 2 1 O
X X
A力矩
2
1
1 2 2 2 1 2 1 2 Md Jd J 2 J1 1 1 2 2 1 1 2 2 此称刚体转动 Md J 2 J1 的动能定理 2 2
其平动动能应为各质元动能和。
二、刚体的重力势能 任取一质元其势能为 m gy i i (以O为参考点）
Y
M
vC
C mi
E p mi gyi
m y M
i
i
yC
结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能 X 零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体 O 的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心 处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）
故刚体的转动动能：
n
i
m v / 2 mi (ri ) / 2 mi ri / 2
2 2
任取一质元 mi 距转轴 ri ，则该质元动能：
n
对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又 如何呢？
2 Ek 1 mvC 1 J 2 m、J C 2 2 C vC
势能零点
n mj vC E 1 m v 2 C mj i i k平 m j m M j C i 1 2 mjC mM CC mi M mj C m i 1 2 mj Mi M Mvc C mi i m M 2 C C mi M M mi mi vc为质心的速度
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设 在力矩作用下，刚体的角 位置由 1 2 则力矩的 功
2 1
X X
1
2 1
O
2
M
M
A dA Md (2)
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XO
r
mg
A力矩
转到铅直方向的过程，角速 度从 0 -
Md 0 /2 L mg cos d 0 2
/2
mgL / 2
N Y Z XO r
依动能定理
mg
A力矩
A力矩
L mg 2
1 1 2 2 J J0 2 2
hC
E机械
1 2 1 2 mghC mvC J 2 2
四、力矩的功、定轴转动的动能定理 设有一外力 F 作用在 + d ds 刚体上，绕O轴作定轴 转动（ F 在垂直于轴 O 的平面内）。 M M 在时间 dt 内刚体角位移为 d 力 F 作的功：
F
r
ds rd dA F ds F sin rd Md
L 1 2 mg J 0 2 2 mgL mgL 3g 1 L 2 J mL 3
yi
MgyC
M
g
mi
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的 质元 m , m m m
1 2 i
2 i i 2
ri M
vi m
i
1r 2 2 / 2 2 E E mi i J k k i 1 2 n 1 2 2 1 Ek lim mi ri ( r 2 dm) 2 m 0 2 2 n i 1
角速度由
M
M
考虑一个过程，设在力 矩作用下，刚体的角位 置由 1 2
定轴转动刚体的动能定理：外力矩对转动刚体 所作的功，等于刚体转动动能的增量。
X X
1
2 1
O
2
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
MBaidu Nhomakorabea
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以 枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 求： 当杆过铅直位置时的角速度： 求：， 已知：m，L N Y 解(二)：考虑杆从水平静止 Z
由（1）式：
d d Jd dA Md Jd J dt
2 1 2 1 O
X X
A力矩
2
1
1 2 2 2 1 2 1 2 Md Jd J 2 J1 1 1 2 2 1 1 2 2 此称刚体转动 Md J 2 J1 的动能定理 2 2
其平动动能应为各质元动能和。
二、刚体的重力势能 任取一质元其势能为 m gy i i (以O为参考点）
Y
M
vC
C mi
E p mi gyi
m y M
i
i
yC
结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能 X 零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体 O 的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心 处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）
故刚体的转动动能：
n
i
m v / 2 mi (ri ) / 2 mi ri / 2
2 2
任取一质元 mi 距转轴 ri ，则该质元动能：
n
对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又 如何呢？
2 Ek 1 mvC 1 J 2 m、J C 2 2 C vC
势能零点