初级中学数学几何模型秘籍

③
SOCE
SOCD
1 OC2 2
（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
滴水穿石
~8~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
AC
O D
EB F
以上三个结论：（辅助线之二）
① CD CE 不变
② OE OD 2OC （重点）
③
SOCE
SOCD
1 OC2 2
D O
A
C
D
O
ECEBAFra bibliotekB条件： OAB , OCD 均为等腰直角三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB 90
③ OE 平分 AED （易忘）
O E
导角核心图形
A
B
滴水穿石
~2~
锲而不舍
经典模型系列手册
任意等腰三角形
D
D
O
CO
C
E
A
BA
B
条件： OAB , OCD 均为等腰三角形
且 AOB COD 结论：① OAC≌OBD ;② AEB AOB
温故而知新
~ 13 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
（全等型—任意角 ）
A
D
C
O
EB
条件：① AOB 2 , DCE 180 2 ② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ； ② OD OE 2OC cos
③ SODCE SOCD SOCE OC2 sin cos 难度较大，记得经常复习
满足 BD AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 AD2 BC2 AB2 CD2
S ABCD
1 2
AC
BD
（对角线互相垂直四边形）
温故而知新
~5~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
模型三：对角互补模型 （全等型—90°）
A
AM
D
CD
C
N
O
E BO
EB
条件：① AOB DCE 90
③ OE 平分 AED （易忘）
模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：
① OA OB ， OC OD
② AOB COD
温故而知新
~3~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
模型二：手拉手模型—相似
O
O
C
D
D C
A
B
A
B
条件： CD∥AB ，将 OCD 旋转至右图位置
结论：右图
OCD∽OAB OAC∽OBD
且延长 AC 交 BD 与点 E
必有 BEC BOA
非常重要的结论，必须会熟练证明
滴水穿石
~4~
锲而不舍
经典模型系列手册
手拉手相似（特殊情况）
O
C
D
A
B
A
当 AOB 90 时，
D O
C E
B
除 OCD∽OAB OAC∽OBD 之外
还会隐藏 BD OD OB tan OCD AC OC OA
滴水穿石
~ 14 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A C
O
B
E
D
以上三个结论：（辅助线之二）
①____________________
②_______________________（重点）
③________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
经典模型系列手册
模型一：手拉手模型—全等 等边三角形
O A
D
C E BA
O D
E C
B
条件： OAB , OCD 均为等边三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB 60
③ OE 平分 AED （易忘）
O A
O E BA
D
C E B
温故而知新
~1~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
等腰 RT
SOCD
SOCE
1 OC2 2
滴水穿石
~ 10 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
（全等型—120°）
A
C
D
OE
B
条件：① AOB 2DCE 120
② OC 平分 AOB
结论：① CD CE ；② OD OE OC
③ SODCE SOCD SOCE
3 OC2 4
请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明
（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
温故而知新
~9~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
A
D
C
O
EB
细节变化：若将条件“ OC 平分 AOB ”与结
论“ CD CE ”互换
条件：① AOB DCE 90
② CD CE
结论：① OC 平分 AOB ；
② OD OE 2OC
③
SODCE
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
辅助线之二：过点 C 作 CF OC 证明 ODC≌FEC
温故而知新
~7~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A MC
N O
D
EB
以上三个结论：（辅助线之一）
① CD CE 不变
② OE OD 2OC （重点）
~ 12 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
C A
O D
E
F
B
以上三个结论：（辅助线之二）
①____________________
②_______________________（重点）
③________________________（难点）
请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
② OC 平分 AOB
结论：① CD CE ；② OD OE 2OC
③
SODCE
SOCD
SOCE
1 OC2 2
辅助线之一：作垂直，证明 CDM≌CEN
滴水穿石
~6~
锲而不舍
经典模型系列手册
A
D
C
O
E FB
条件：① AOB DCE 90
② OC 平分 AOB
结论：① CD CE ；② OD OE 2OC
结论：① CE CD tan ；
② (OD tan OE)cos OC
③ SOCD
tan2 SOCE
1 OC2 2
tan
滴水穿石
~ 16 ~
锲而不舍
经典模型系列手册
A D C
O E FB
证明：过点 C 作 CF OC ，交 OB 于点 F ∵ DCE OCF 90 ∴ DCO ECF ∵ AOB DCE 180 ∴ CDO CEO 180 ∴ CDO CEF ∴ CDO∽CEF
请思考初始条件的变化，对模型的影响
温故而知新
~ 15 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
（对角互补模型--相似型）
A
D C
A
D C
M
O
E
B O EN B
如图，若将条件“ OC 平分 AOB ”去掉
条 件 ： ① AOB DCE 90 不 变 ，
C O E ，结论中三个条件又该如何变化？
温故而知新
~ 11 ~
熟能生巧
智康 1 对 1 初数团队制作
辅助线之二：在 OB 上取一点 F ，使 OF OC 证明 OCF 为等边三角形（重要）
A C
D
OE
FB
结论：① CD CE ；② OD OE OC
③ SODCE SOCD SOCE
3 OC2 4
必须熟练，自己独立完成证明
滴水穿石