初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度

【学习目标】 一. 教学内容： 数据的离散程度 二. 学习目标：

1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。

2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。 三. 重点：

极差的定义，方差、标准差的应用。 四、难点：

会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。 【学习内容】 （一）知识要点

知识点1：表示数据集中趋势的代表

平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表

极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。 知识点3：生活中与极差有关的例子 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义

在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数-

x 的差的绝对值的平均数即

T=

|)x x ||x x ||x x (|n

1

n 21----+⋅⋅⋅+-+-叫做这组数据的“平均差”

。 “平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。 知识点5：方差的定义

在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即

S 2=])x x ()x x ()x x [(n

12n 2

221-

---+⋅⋅⋅+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组

数据的方差。

知识点6：标准差

方差的算术平方根，即用S=])x x ()x x ()x x [(n

12n 2

221----+⋅⋅⋅+-+-来描述这一组数

据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质

若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2

，平均数是-

x ，则有

①x 1+b ， x 2+b …x n +b 的方差为S 2

，平均数是-

x +b

②ax 1， ax 2，…ax n 的方差为a 2s 2

，平均数是a -

x

③ax 1+b ， ax 2+b ，…ax n +b 的方差为a 2s 2

，平均数是a -

x +b 【典型例题】

例1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年） 甲：3、4、5、6、8、8、8、10 乙：4、6、6、6、8、9、12、13 丙：3、3、4、7、9、10、11、12

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。

甲： 乙： 丙： 解：众数、平均数、中位数

例2. 下表是南京2005年2月下旬和2006年同期的每日最高气温（单位：℃）如何对

解：2005年2月下旬和2006年2月下旬的气温的极差（即温差）分别是： 2005年2月下旬：22－6=16（℃） 2006年2月下旬：16－9=7（℃）

可以看出，2005年2月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16℃，即极差为16℃，2006年2月下旬气温的极差为7℃，气温变化的范围不大。

例3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x ，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。

解：平均数是4

x

2848x 1010+=

+++ 中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数

（1）当x ≤8时，98x 94x

2892108中位数为∴=∴=+∴=+

（2）当8＜x ≤10时，8x 4x

28210x =∴+=+（舍去）

（3）当x ＞10时，104

x

281021010=+∴=+∴x=12，此时中位数为10

例4. 从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm ） 甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42； 乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。 （1）哪种棉花长得较高？ （2）哪种棉花长得较齐？

解：（1）10

1

x =-甲（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30

10

1x =-乙（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31

∵-

甲x ＜-

乙x

∴乙种棉花长得高

（2）2.104])3042()3041()3025[(101S 2222

=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=甲

8.128])3140()3116()3127[(101S 2222

=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=乙

∵2S 甲＜2S 乙

∴甲种棉花长得整齐

例5. 小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。求测试成绩的极差、方差和标准差。（精确到0.01） 解：极差=14－12=2

63

.04.0S 4

.0])1313()1312()1313()1314()1313[(5

1S 13

)1312131413(51

x 222

222≈==-+-+-+-+-⨯==++++⨯=-

例6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑

回答下列问题：

（1）甲学生成绩的众数是 分，乙学生成绩的中位数是 分。

（2）若甲学生成绩的平均数为-

甲x ，乙学生成绩的平均数为-乙x ，则-甲x 与-

乙x 的大小关系是 。

（3）经计算知2S 甲=13.2，2

S 乙=26.36，这说明 。

（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为 ，乙的优秀率为 。

解：（1）86，83

（2）-

甲x ＞-

乙x

（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定 （4）50%， 40%。

例7. 已知： x 1，x 2，…x n 的平均数是-

x ，标准差是S x 。3x 1+5，3x 2+5，…，3x n +5的平均数是-

y ，标准差是S y ，试说明： （1）-y =3-

x +5 （2）S y =3S x

解：（1）