初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度
【学习目标】 一. 教学内容： 数据的离散程度 二. 学习目标：
1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。

2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。

三. 重点：
极差的定义，方差、标准差的应用。

四、难点：
会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。

【学习内容】 （一）知识要点
知识点1：表示数据集中趋势的代表
平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表
极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。

一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义
在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数-
x 的差的绝对值的平均数即
T=
|)x x ||x x ||x x (|n
1
n 21----+⋅⋅⋅+-+-叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义
在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即
S 2=])x x ()x x ()x x [(n
12n 2
221-
---+⋅⋅⋅+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组
数据的方差。

知识点6：标准差
方差的算术平方根，即用S=])x x ()x x ()x x [(n
12n 2
221----+⋅⋅⋅+-+-来描述这一组数
据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点7：方差与平均数的性质
若x 1，x 2，…x n 的方差是S 2
，平均数是-
x ，则有
①x 1+b ， x 2+b …x n +b 的方差为S 2
，平均数是-
x +b
②ax 1， ax 2，…ax n 的方差为a 2s 2
，平均数是a -
x
③ax 1+b ， ax 2+b ，…ax n +b 的方差为a 2s 2
，平均数是a -
x +b 【典型例题】
例1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年） 甲：3、4、5、6、8、8、8、10 乙：4、6、6、6、8、9、12、13 丙：3、3、4、7、9、10、11、12
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。

请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。

甲： 乙： 丙： 解：众数、平均数、中位数
例2. 下表是南京2005年2月下旬和2006年同期的每日最高气温（单位：℃）如何对
解：2005年2月下旬和2006年2月下旬的气温的极差（即温差）分别是： 2005年2月下旬：22－6=16（℃） 2006年2月下旬：16－9=7（℃）
可以看出，2005年2月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16℃，即极差为16℃，2006年2月下旬气温的极差为7℃，气温变化的范围不大。

例3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x ，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。

解：平均数是4
x
2848x 1010+=
+++ 中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数
（1）当x ≤8时，98x 94x
2892108中位数为∴=∴=+∴=+
（2）当8＜x ≤10时，8x 4x
28210x =∴+=+（舍去）
（3）当x ＞10时，104
x
281021010=+∴=+∴x=12，此时中位数为10
例4. 从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm ） 甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42； 乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。

（1）哪种棉花长得较高？ （2）哪种棉花长得较齐？
解：（1）10
1
x =-甲（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30
10
1x =-乙（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31
∵-
甲x ＜-
乙x
∴乙种棉花长得高
（2）2.104])3042()3041()3025[(101S 2222
=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=甲
8.128])3140()3116()3127[(101S 2222
=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=乙
∵2S 甲＜2S 乙
∴甲种棉花长得整齐
例5. 小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。

求测试成绩的极差、方差和标准差。

（精确到0.01） 解：极差=14－12=2
63
.04.0S 4
.0])1313()1312()1313()1314()1313[(5
1S 13
)1312131413(51
x 222
222≈==-+-+-+-+-⨯==++++⨯=-
例6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑
回答下列问题：
（1）甲学生成绩的众数是 分，乙学生成绩的中位数是 分。

（2）若甲学生成绩的平均数为-
甲x ，乙学生成绩的平均数为-乙x ，则-甲x 与-
乙x 的大小关系是 。

（3）经计算知2S 甲=13.2，2
S 乙=26.36，这说明 。

（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为 ，乙的优秀率为 。

解：（1）86，83
（2）-
甲x ＞-
乙x
（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定 （4）50%， 40%。

例7. 已知： x 1，x 2，…x n 的平均数是-
x ，标准差是S x 。

3x 1+5，3x 2+5，…，3x n +5的平均数是-
y ，标准差是S y ，试说明： （1）-y =3-
x +5 （2）S y =3S x
解：（1）
5x 35)x x x (n 3
]n 5)x x x (3[n
1
)]5x 3()5x 3()5x 3[(n 1
y n 21n 21n 21+=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++=
--
（2）
])y y ()y y ()y y [(n
1S 2n 2
2212y ----+⋅⋅⋅+-+-=
2x
2n 2
2212n 2221n 22
1S 9]
)x x ()x x ()x x [(n 19]
)x x (9)x x (9)x x (9[n
1
)]5x 35x 3()5x 35x 3()5x 35x 3[(n
1=-+⋅⋅⋅+-+-⨯=-+⋅⋅⋅+-+-=--++⋅⋅⋅+--++--+=--------- x y S 3S =∴ 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一、选择题
1. 6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（ ） A. 10 B. 9 C. 11 D. 12
2. 甲、乙两个样本中，2.0S ,4.0S 22==乙甲
则两个样本的波动情况是（ ） A. 甲的波动比乙大 B. 乙的波动比甲大
C. 甲、乙波动一样大
D. 无法比较
3. 如果10个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（ ）
A. 极差和方差
B. 极差和标准差
C. 方差和标准差
D. 以上都不对
5. 一组数据的方差为S 2
，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差是（ ）
A. 2
S 2 B. S 2 C. 2S 2 D. 4S
2
6. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们射击的环数的方差分别为：
2S 甲=2.4 ，2
S 乙=3.2，则射击的稳定程度是（ ）
A. 甲高
B. 乙高
C. 一样高
D. 不能确定 二、填空题
7. 某次考试5个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54则这5个班级的平均成绩的极差是 。

8.已知某班第8小组8位男生的身高如下（单位：m ）： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，1.69，1.71，1.82则他们的平均身高是 。

9.一组数据的方差为S 2
，将这组数据中的每个数据都乘以2，再减去3，则所得新数据的方差为 。

10.已知样本4，2，x 的方差S 2
=
3
2
，则x 的值 。

11.一组数据为1，－1，0，－1，1，则这组数据的极差、方差、标准差分别为 ， ， 。

12. 若1，2，3，a 的平均数是3，且4，5，a ，b 的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a ，b 的方差是 。

13. 已知甲、乙两名学生5次考试数学成绩如下：
甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90
（1）=-
甲x ，S 甲≈ （精确到0.01），2
S 甲 =
（2）=-
乙x ，S 乙≈ （精确到0.01），2S 乙=
三、解答题
14. 甲、乙两名学生各进行了5次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方差是0.005，乙的成绩如下：2.20m ，2.30m.2.30m ， 2.40m ，2.30m ，那么甲、乙的成绩谁更稳定些？说说你的理由。

请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？ 16. 某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：
（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”
（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。

【试题答案】
1. C
2. A
3. B
4. C
5. D
6. A
7. 15 8. 1.73m 9. 4S 2
10. 3 11. 2 0.8 0.89 12. 4
13. （1）100，5.80，33.6 （2）100，10.49，110 14. 解：乙的成绩更稳定些。

因为 004.0S 30
.2)30.240.230.230.220.2(51
x 2
==++++=-乙乙
2
2S S 甲乙而<
所以乙的成绩更稳定些。

15. 解：平均成绩均为80分，故两班成绩一样好。

244S 21= 108S 22= ∵>21S 22S ∴（2）班成绩较为整齐。

故（2）班的成绩较好。

16. 解：（1）由中位数可知85分排在第25位以后，从位次上讲不能说85分是上游。

但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得85分，说明他对阶段学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲，也可以说属于上游。

（2）初三（1）班成绩的中位数为87，而平均分为79分，标准差很大，说明两极分化严重。

建议：采取措施，加强“帮扶”工作。

初三（2）中位数和平均分都是79分，标准差较小，说明差别不大，两头学生少。

建议：采取措施，“提优”工作要加强。