§4定理教学

师：为什么?
生l0：因为OP与OQ的夹角应在[0，π]内，而α,β不一定在 [0，π]内，所以α-β不一定是OP与OQ的夹角．
师：好极了!遇事要冷静，不要被一时的成功冲昏头脑，考虑问
题应全面，接下来该怎么办? 生：分情况讨论!
(此处略)
师：这样一来，我们就证明了②式，有了这一公式，要算两角 差的余弦就很方便了，这一公式也就是我们今天要学习的“两 角 差的余弦公式” ……
(下面的课从略)．
反思与简评:
C（α-β）这一公式，在新课程教材中是“两角和与差的正弦、
余弦和正切公式”的“母”公式．这一公式是怎样得出来的?又 该
如何证明它?既是本章内容的重点，又是本章教学的难点．对这
一公式，人教A版教材上的生成方式，笔者认为思路是可取的， 但过程不自然．第一：所构图形太复杂，一开始学生也不易想 到“单位圆”；第二：证明方法太突然，缺乏“亲近感”，尤 其在 证明过程中没有揭示出证明的关键点——“算两次”的思想方 法．而在上述的公式生成过程中，通过从特殊问题(求cos(6045)的值)入手，先猜出cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，
B
A
E
C
(生3口述，老师板书)
ADcosl5=(AE+BE)cos60 =ADcos45cos60+BEcos60 =ADcos45cos60+DEcot30cos60 =ADcos45cos60+ADsin45cot30cos60 ∴ cosl5=cos45cos60+sin45cot30cos60
下面我们一起来反思上述解法的关键点在哪里? (与学生一起反思上述解法的每一步) 师：生7，你来说一说上述解法的关键点在哪里?
生7：算两次!就是把“AC”算了两次，第一次得出AC=ADcosl5，
第二次得出AC=ABcos60，这样就得出了关于cosl5的一个方程，
然后通过解方程就得出了cosl5，也就是cos(60-45)的值． 师：说得太好了!上述解法实际上应用了“算两次”的思想方法，
生：不!
师：那怎么办?总不能“见死不救”吧! 生5：让他们自己按上述方法去解决．
生6：老师，我们能否得出一个一般的公式?免得每次都这样去
做，太烦了! 师：这个想法好!得出一个怎样的公式?
生6：是否对任意的α,β∈R，都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ． ② 师：很好!你是怎样想到的? 生6：我是根据上述①式猜出来的! 师：真不错!不过，猜出来的结论不一定正确，你能证明它吗? 生6：还没有想好!
“过
河拆桥”、学会“感恩”及遇事要冷静，不要被一时的成功冲 昏头
脑，考虑问题应全面等。
概念是思维的细胞，定理、公式是解题的重要工具，加强
侯老师点评：
本节课是发表在著名期刊上的获奖课例，能上到这样的层 次，要非常优秀的课才有可能，我们在上面过程中也看到，确 实非常精彩！正如“反思与简评”中所述，不再赘言。 若仔细推敲课堂上的细节，就会发现本节课至少存在三处 “硬伤”，而且“伤”得不轻，都“伤”在关键处：
生4：(上台)通过化简得出
cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45． ①
师：等式①的确优美多了!当然①式也还不太和谐—— 生：左边是“-，而右边是“+”．
师：很好!这也正好说明世上并没有“十全十美”的事物
(到此，同学们松了一口大气，大有洋洋得意之感!)这时—— 师：你们别高兴太早!刚才甲同学是将cosl5化成cos(60-45)， 我们帮他解决了；若乙同学是将cosl5化成cos(45-30)，而丙同 学是将cosl5又化成cos(135-120)呢?⋯⋯，我们是不是一一帮他 们去解决?
你们还在哪里也用到过这一思想方法?
生：在《平面向量》里也用过． 师：对啊!“算两次”是一种重要的解题思想方法，不仅过去用
到，现在用到，而且将来还可能用到!Biblioteka Baidu面再回到②式的证明，
怎样才能证明它呢? 生8：老师!是不是还是用“算两次”? 师：怎么算? 生8：还没想好!
师：请再想一想．有谁想到了吗?(大约1分钟后)
三：公式与法则的教学
公式法则的教学与定理教学是类似的，特别是公式的引入或
发现和定理教学中一样，在得出公式后，还可以有如下侧重： 1、讲清公式法则的实质 如正、余弦定理的实质是三角形中边与角的固有关系，是解 三角形的基础，是进行边、角转换的桥梁等。
2、能熟练地正用、逆用公式
在平时解题中，大量的题目要求将数学公式、法则进行逆 向运用(按课本给出的形式由右向左使用)，甚至变形使用，学 生在这方面是弱项，教师教学中注意有意识引导，做足量练习 题使其掌握方法。
生2：很简单!在Rt△ACD中，AC=ADcosl5．
师：这样就有ADcosl5=ABcos60．现在要求cosl5，若在这一等
式的右边也出现AD，那么，两边同约去AD，即可求出cosl5.
下面怎样才能使等式的右边也出现AD呢?
(学生又陷入沉思中!大约2分钟后)
生3：老师，可不可以这样做? 师：怎么做?请讲!
生：好像没有!
师：除了前面第一章我们已学习了三角函数的有关知识外，我
们还学过其它的三角函数知识没有? 生：在初中还学过解直角三角形!
师：好的!既然在第一章的三角函数里没有公式可用，那么，我
们不妨就到直角三角形中去看一看!你能否画出一个角为60 的直角三角形? 生：太容易了! 师：是吗?那我就来画一个Rt△ABC， 使得∠A=60，∠C=90，（如图）
3、努力防止负迁移 学生在使用公式、法则解题时常常出现把外形相似的东西 混淆起来了，只要甲乙两个问题相似，不管实质如何，就会 “张冠李戴”，这在心理学中称为负迁移。为了促进正迁移， 防 止负迁移产生，教师教学中要强调使用的条件，区分它们之同 的异同和本质的联系，有目的地进行对比练习、预防性练习、
举反例等．
师：前面说了，在第一章三角函数里已没有公式可用，又不能 用作直角三角形的方法，那怎么办?换句话说，现在进是进不了 了，进不了就—— 生：退! 师：退到什么地方去呢?这是一个三角函数问题吧!，那三角函 数是从什么地方出发的? P Q 生：单位圆!退到单位圆中去． α β 师：好的!那就到单位圆中去看一看： O 如图，在单位圆中，设α,β的终边 与单位圆分别相交于P，Q两点， 由三角函数的定义得P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)， 请大家观察②式的右边，它恰是——
生：知道!
师：为什么?说说理由看? 生：因为cosl5>0，而cos60-cos45<0，所以等式不成立． 师：很好!这样我们达成了一个共识：cos(60-45)≠cos60-cos45, 那么cos(60一45)究竟等于多少呢? (学生陷入沉思中!) 师：cos(60-45)是一个三角函数问题，在前面第一章我们已学 习了三角函数的有关知识，能否有公式可用?
语言、图形语言三者的相互转化。 【反思总结】：如果把图形中的△ACD去掉， 即可得出定理的推论：直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半!
3、定理的应用—— 训练中巩固
该阶段包括分层应用、检测反馈两个基本环节， 【分层应用】：由易到难，拾级而上，变式展开，形成梯度!
（1）基础训练
目的是熟悉定理，直接应用! 如图矩形中，AB=OA=4，求BD与AD的长!
§4、定理教学
一、定理教学的形式：
1、传授式教学（四个环节）：
1）引出定理 2）分析定理 3）证明定理 4）应用定理 2、发现式教学（五个环节）：
1）探索发现 2）提出假设 3）验证假设（证明）4）得出定理 5）应用定理
3、新课改下的定理教学模式
1）发生型模式
基本程序：创设情境——提出问题——组织交流——
4、适当引伸 适当引伸，既能加深学生对公式法则的理解，又能扩大其 应用，使学生基础知识在深度和广度上得到提高，还能使学生 从教师的分析引导中懂得怎样变更问题、进行联想、类比等。
【案例】“公式C（α-β）”的获奖课例实录
师：有一天，甲同学来问我这样一个问题：cosl5=cos(6045)=cos60-cos45为什么不对?说实话，甲学还很不错，知道这 一等式是不成立的。同学们你们是否也知道?
出相关的延续性问题，延长学生思维的时间和空间。
5、定理的拓展—作业中延伸 如上，可布置两种类型的作业：
A类（书面）：习题4.6第97页第2、3题
B类（拓展）：某公园一角有一块三角形形状的 （如图），工人们想让其更加美观，种植另一 种颜色的花草，与原来的能正好组成一个矩形， 你能帮助他们吗？（ 假设角形的周围有足够大的空间）
【验证】 学生利用自制的平行四边形学具，和课本面、课桌
面等，探索矩形的特殊性质! 【概括】：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等!
2、定理的形成 — 交流中建构
该阶段包括推理论证、语言转化、反思总结三个基本环节! 【推理论证】：师生共同寻找各种证明方法，注意启发引导。
【语言转化】证明过程中教师要引导学生熟练文字语言、符号
师：好的!请继续思考．有谁能证明②式?(思考，约1分钟后)
师：能否仍按前面作直角三角形的方法去证?
生：不能? 师：为什么?
生：因为α,β不一定能成为直角三角形的—个内角．
师：很对，不过不要否定得太快!虽然现在不能作直角三角形 了，但前面的那种证法中所用的思想方法说不定还有用呢!所以
不能“过河拆桥”，要学会“感恩”!
的？（ 预测：学生可能会回答—从角、边、对角线，以及对称 性等方面研究平行四边形的性质! ）类比平行四边形的性质，结 合矩形的定义，猜想矩形有什么性质？ 【猜想】猜想一（ 共性）：矩形具有平行四边形的所有性质； 猜想二（角）：矩形的四个角都是直角； 猜想三（对角线）：矩形的对角线相等； 猜想四（对称性）：矩形是轴对称图形； ⋯⋯
B
C A
在这个Rt△中，你还能作出一个45，同时还出现15的角吗?
生1：很好办!以A为顶点，AB为一边，在Rt△ABC 中作∠BAD=45交BC于D，则∠DAC=15． 师：你真行!在这个直角三角形中， 能否得出cosl5呢? 师：在Rt△ACD中，还可得出AC=? 生2：AC=ABcos60．
B D C A
一般公式，然后再去证明公式，途中既有对“数学美”的追求，
也经历了“类比猜想、抽象概括、联想、算两次和修正”等思 维 的碰撞，完全像是数学家发现这一公式的试验场，虽然途中也 有“一波三折”，但整个过程还是比较自然流畅，没有半点强 加 给学生的成分．另外，在公式的生成过程中，还有情感、态度 和价值观的自然流露：“丑不可言”、总不能“见死不救”吧、
鼓励猜想——引导论证——运用结论——形成定理体系。 2）问题解决型模式
基本程序：创设情境——建立模型——引入定理
——验证定理——应用定理。
二：例谈怎样进行定理教学（例：“矩形性质定理”）
1、定理的发现——情境中探索
该阶段包括观察、猜想、验证、归纳四个基本环节 【观察】：我们在研究平行四边形性质时，是从哪几方面研究
生：OP· OQ，即OP· OQ=cosαcosβ+sinαsinβ
师：那②式的左边等于—— 生9：“算两次”，OP· OQ=|OP|· |OQ|cos(α-β) 从而有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 生：原来如此! 师：果然又用到“算两次”!但③式一定正确吗? 生：正确! 生10：还不一定吧? ③
（2）变式训练
变式延伸也就是适当改变问题的条件和结论，或变换其形式 （包括图形位置）和内容，使问题深化、递进，使学生从不同的 背景、不同的角度、不同的方向来理解定理的实质。 【检测反馈】：检测是反馈信息的“ 主渠道”，不能忽视。
4、定理的升华—反思中提高
包括通过本节课的学习有哪些收获及还有什么疑难问题两部 分! 目的是引导学生自己归纳总结本定理学习的内容、方法，提
D
生3：在图中，过D作DE⊥AB于E，则由ADcosl5=ABcos60，得
师：太妙了!(这时教室里响起了热烈的掌声，
同学们也有大功告成之感!)
上述结果完全是正确的，但形式太“丑”了， 说得不好听一点，简直是“丑不可言”!
B
A
E
C
(学生感到很突然，教室里立即
D
鸦雀无声)，你们看，等式右边的第一项是两项的积，而第二项 则是三项的积，不和谐吧!更“可恶”的是：左边实际上 cos(6045)只与60,45有关，与30无关，而右边的第二项竟然冒出一个 30，这个“30”岂不是来添乱吗? 生4：那就把它化掉吧! 师：好的，生4，你来试试!