函数与数列的综合运用练习题

函数与数列的综合运用练习题

1．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 有车站（其中包括起点站A 和终点站B ），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋a k 个（k=1，2，…，n ）。

（1）写出数列a k 与a k －1的关系式（2≤k ≤n ）；

（2）求数列{a n }的通式公式；

（3）k 为何值时，a k 最大？求出a k 的最大值。

2．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，若na n+1=S n +n （n+1）且a 1=2。

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）令n n n S

T 2

， ①当n 为何值时，T n >T n+1，

②若对一切正整数n ，总有T n ≤m ，求m 的取值范围。

3．已知函数1

3)(+=x x x f ，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=f （a n ）（n ∈N +）。 （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）记S n =a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1，求证：S n <3

1。

4．在xoy 平面上有一点列P 1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2），P 3（a 3，b 3），…，P n （a n ，b n ），…，对每一个（n ∈N +），点P n （a n ，b n ）在函数)100()10

(2000<<=a a y x 的图象上，且点P n （a n ，b n ）与点（n ，0）和（n+1，0）构成一个以点P n （a n ，b n ）为顶点的等腰三角形。

（1）求点P n （a n ，b n ）的纵坐标b n 关于n 的表达式；

（2）若对每一个自然数n ，以b n ，b n+1，b n+2能构成一个三角形，求a 的范围；

（3）设B n =b 1·b 2·b 3·…·b n （n ∈N +），若a 取（2）中确定的范围内的最小整数时，求{B n }中的最大项。

5．已知函数f （x ）=3x 2+bx+1是偶函数，g （x ）=5x+c 是奇函数，正数数列{a n }满足a 1=1，f （a n +a n －1）－g （a n+1a n +a n 2）=1。

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）若数列{a n }的前n 项和和为S n ，求n n S ∞

→lim 。

6．设111()(0),1,(),,n n n n n ax f x a a a f a b a a n N x a

*++=≠===∈+令又令。 （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）求数列{b n }的前n 项的和。

7．已知函数f （x ）=ax 2+bx （a<0），对于数列{a n }，设它的前n 项的和为S n ，且S n =f （n ）（n ∈N *）。

（1）证明数列{a n }是递减的等差数列；

（2）证明所有的点))(,(*N k k

S k M k k ∈在同一直线l 1上； （3）设过点（1，a 1），（2，a 2）的直线为l 2，求l 1与l 2夹角的最大值。

8．已知等差数列{a n }，定义f n （x ）=a+a 1x+…+a n x n ，n ∈N *.若对任意的n ∈N *，满足：y=f n （x ）的图象经过点（1，n 2）。

（1）求数{a n }的通式公式；

（2）当n 为奇数时，设)]()([2

1)(x f x f x g n n --=，是否存在自然数m 和M ，使不等式M g m <<)21(恒成立？若存在，求出M 与m 的值；若不存在，说明理由。