函数奇偶性的应用

函数奇偶性的应用

函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.

一、求函数的解析式

例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，

求f (x )的解析式.

分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.

解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，

所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3

x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，

所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3

x )，x ∈(－∞，0).

在f (－x )＝－f (x )中，

令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，

x (1－3x )，x ＜0.

评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)

设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；

(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.

二、求参数的值

例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.

分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.

解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).

又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).

令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.

解得a＝－1，或a＝2(舍去).

答案－1

评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.

三、求参数的范围

例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.

解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，

得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜1

2.故实数m的取值范围是

⎝

⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.