第四章-曲线坐标系下张量分析

第四章：曲线坐标系张量分析

张量场函数：()=T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾：

笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 123123x x x =++r e e e

i x 坐标线：只变化一个坐标i x 时，矢径的轨迹。

直线坐标系下，坐标线都是直线。

当()i i 123x x ,,=ξξξ，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系

协变基：i i ∂=∂ξr

g

所以：

k

i k i x ∂=∂ξg e '''k i i i i i k i i x ∂ξ∂ξ==∂ξ∂∂∂ξ

ξe g g

j

j m

m x

∂ξ=∂g e '

'

'

j j j j j m m j j

x ∂ξ∂∂ξ∂ξ==∂ξ∂ξg e g 原因：

k j m j

j j m m i i j

i i

i k m x x x x ∂ξ∂∂ξ⋅=⋅=∂==δ∂∂ξ∂∂ξ∂ξξ

∂e e g g 曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数 基矢量的导数

基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：

j k k ij k ij,k i

∂=Γ=Γ∂ξg g g

其中组合系数

k

ij

Γ 称为第二类Christoffel 符号 ij,k Γ称为第一类Christoffel 符号

Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上：

j k k ij

i ∂Γ=

⋅∂ξg g j

ij,k k i

∂Γ=

⋅∂ξ

g g

① 指标对称性

第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。然而，根据协变基矢量的定义：

j j ∂=∂ξ

r

g 可得：

2j

k k k i i k

k ij ji i j j ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓ∂ξ

Γg r g g g g

2j

i k k k i i j ij,k

ji,j k ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓΓ∂ξ

g r g

g g g 说明Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。 ②不是张量

在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel 符号全部为零。如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 ② 两类Christoffel 符号之间的联系

由于Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。

k j

j

k k km

km ij

m ij,m

i i

j j

m m

ij,k

km km ij i i g

g g g ∂∂Γ=

⋅=⋅=Γ∂ξ∂ξ∂∂Γ=⋅=⋅=Γ∂ξ∂ξ

g g g g g g g g

④逆变基矢量的导数 由 i i j j ⋅=δg g 可知：

i

j i j k k 0∂∂⋅+⋅=∂ξ∂ξ

g g g g 从而

i i

j kj k ∂⋅=-Γ∂ξ

g g

i i j

kj k ∂=-Γ⋅∂ξ

g g （逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号）

⑤与度量张量分量导数之间的关系

ki kj,i ij

j i

j i k k k ,j g ∂∂∂=⋅+⋅=+∂ξ∂ξΓ∂ξΓg g g g (a)

jk ij,k ik,j i

g ∂=Γ+∂ξ

Γ

(b) jk ki

ij,k j ,i g ∂+ΓΓ=∂ξ

(c)

(b)+(c)-(a)

jk ij ki ij,k i j k g g 1g ()2∂∂∂Γ=+-∂ξ∂ξ∂ξ

规则：

① 分别求度量张量分量对曲线坐标i j k ,,ξξξ的导数，度量张量的分量指标按与曲线

坐标指标构成顺时针排序确定；

② 曲线坐标的指标为i,j 时为正，曲线坐标的指标为k 时为负； ③ 将所得结果相加的一半即为ij,k Γ。 例题123()=⋅⨯g g g 对曲线坐标的导数

123i

123231312i i i k k k i1k 23i21k 3i312k 123i1i2i3123k [()]

()()()()()()()()∂⋅⨯=∂ξ∂ξ∂∂∂=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∂ξ∂ξ∂ξ

=Γ⋅⨯+Γ⋅⨯+Γ⋅⨯=Γ+Γ+Γ⋅⨯=Γg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g 从中可得Christoffel 符号的一个重要性质：

k

ik

Γ==Hamilton 算子∇ 定义： i

i ∂∇=

⊗∂ξ

g 运算规则：作用于张量时，运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量组成；基矢量指标与曲线坐标指标相同；基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与张量之间的运算相同：

i

j

k