解析完全平方公式

剖析完全平方公式
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要基础。

重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解 (例如，只有深刻理解公式的结构特征，才能学会配方法)．学生常犯的错误有：
①难以跳出原有的定式思维，如典型的错误；
错因分析：以为基础类推，不动脑筋，随意“创造”
②混淆公式与；
③运算结果中符号错误、系数错误、忘记平方；
④缺乏整体思想、公式变形难以掌握、不会配方。

一、深刻理解公式可以从以下几方面入手
（一）会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），从根源上理解的错误；
（二）会概述公式：（首平方，尾平方，首尾二倍放中央）
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．与都叫做
完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
（三）会分析公式
1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；
2、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式，使用时要有这样的整体意识。

（四）两个公式的统一：
所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

二、公式运用过程中的基本变化技巧
（一）、变符号：例1：运用完全平方公式计算：
（1）（2）
分析：本例改变了公式中a、b的符号。

方法一：分别变形为
后再套
用公式计算（反思与总结：）
方法二：分别变形为：后再套用公式计算；
方法三：分别变形为：后再套用公式计算；
（二）、变项数：例2：计算：
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，
从而化解矛盾。

所以在运用公式时，可先变形为
或或者，再进行计算．
（三）、变结构：例3：运用公式计算：
（1）（x＋y）·（2x＋2y）；（2）（a＋b）·（－a－b）；（3）（a－b）·（b－a）
分析：本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征（如果不符合公式，可以用“多乘多”法则乘开），但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就符合公式了。

（四）、简便运算例4：计算：（1）9992 （2）100.12
三、完全平方公式的四个困难题型突破
1、与平方差公式的混和使用 例5：计算：（l ）（x+y+z ）（x+y-z ）（2） （2x-y+3z ）（-y-3z-2x ）
2、公式的变形及其应用：
（a+b ）2+(a-b)2=2(a 2+b 2);
2)1(1222-+=+
a a a a ； 2)1(1222
+-=+a
a a a 根据以上变形，我们可以得到如下结论：
（1）a+b ，a-b ，ab ，a 2+b 2
四个量能够实现“知二求二”；
（2）22111
,x x x x x x
+-+，,三个量可以实现“知一求二”
例6 已知实数a 、b 满足（a ＋b ）2=10，ab=1。

求下列各式的值： （1）a 2+b 2； （2）（a －b ）2
例7 已知24241111
2,1x ;(2);(3)x x x x x x x
+=++-求：（）
例8 已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、22
1a a +和2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；
3、公式的逆用： 例9 计算 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655
例10： 已知b a +=4，求
ab b a ++2
2
2
例11： 计算：
巩固练习：
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2
2
2
a c c
b b a -+-+-的值是
⑵1=+y x ，则222
1
21y xy x ++=
⑶已知xy ２
y x ，y x x x -+-=---2
22
2)()1(则
=
4、配方法的简单运用：
例12：已知0341062
2=++-+n m n m ，求n m +的值。

例13：已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b
a b
a -+的值为
例15：试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2
+y 2
-2x+2y+3的值
总是正数.
例16：已知a=
201x ＋20，b=201x ＋19，c=20
1x ＋21， 求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值。

附录：公式的拓展延伸（了解）
拓展一：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展二：杨辉三角形
3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展三： 立方和与立方差公式
))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-。