《电路》第15章电路方程的矩阵形式

第十五章 电路方程的矩阵形式
结束
割集与基 本割集
图的 矩阵 表示
支路VCR 的矩阵表 示
KL的 矩阵 表示
电路分析的 矩阵方法
矩阵的列写规则 关 联 矩 阵
15:56:11
回 路 矩 阵
割 集 矩 阵
结 点 法
回 路 法
割 集 法
列 表 法
知识结构框图
1
重点
1. 割集的定义与确定； 2. 基本矩阵：关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；
2
i2 i1
i5
5
u1 -un1+ un3 -1 0 1 -un1 u2 -1 0 0 u3 un1-un2 1 -1 0 = = u4 -un2 + un3 0 -1 1 u5 un3 0 0 1 un2 u6 0 1 0
AT
15:56:12
un1 un2 un3
矩阵形式 的KVL： [u] = [A]T [un ]
③
结束
①
②
① A= ② ③ ④
1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 -1 1 0 -1 1 1 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 1 0
④
15:56:12
支路1:与结点① ③关联, 背①指③； 支路2:与结点① ②关联, 背①指②； 支路3:与结点② ④关联, 背②指④； ……
8
7
5 6 2
5
7 Q4 6
3
2
Q1 (1,2,5,7,8)
Q2 (1,3,5,8)
4
Q4
Q4 (5,6,7,8)
Q1 8 3 5 1
树支为5,6,7,8时的基本割集组 注意：同一个图，有许多 不同的树，因此能选出许多 不同的基本割集组。
15:56:11
7
Q3
6 2
Q2
8
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
结束
1. 图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。 有三种矩阵形式： 哪三种? 结点 支路
回路
割集
支路
支路
关联矩阵 回路矩阵
割集矩阵
15:56:11
9
2. 关联矩阵A 描述结点与支路的关联性质。 (1) n个结点b条支路的图用 nb 的矩阵Aa描述：
支路b
结束
Aa=
nb
结 点 n
每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。
矩阵Aa 的每一个元素定义为： +1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；
ajk = -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；
0 支路 k 与结点 j 无关。
15:56:12 10
ajk：背离+1，指向-1，无关0。 例 1： ① Aa= ② ③ ④ 1 2 3 4 5 6 -1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 -1 -1
注意：
基本割集数 = n -1 树支数 = 独立结点数
Q1
①连支集合不能构成割集。 这是为什么呢？ 不能分离成二个部分
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。 KCL适用于任一闭合面 这又是为什么呢？
15:56:11 6
当一个割集的所有支路都连接在 同一个结点上，则割集的KCL 方程变为结点上的KCL方程 。 ③对应一组线性独立的KCL方程 的割集称为独立割集，基本割 集是独立割集。 但独立割集不一定是单树支 割集 ( 就象独立回路不一定 是单连支回路一样 )。 对较大规模的电路，用观察法
结束
3. 电路方程的矩阵形式： ①支路电路方程； ②回路电流(网孔电流)方程； ③结点电压方程； ④割集电压方程。
难点
①含受控源、互感等方程矩阵形式的列写；
②割集电压方程。(初次接触、抽象。)
15:56:11 2
引言
在第三章里，我们学习了图的基本知识 和电路的基本分析方法，本章是在第三章的 基础上，对电路进行更深入的讨论，即应用 图论的知识，研究电路方程的系统列写方法 及方程的矩阵形式。本章的研究目的着眼于 方法的系统化，以便于利用计算机作为工具 进行辅助分析。所以，学习这一章的目的是 为此作理论准备的。
1 2 3 4 -1 -1 +1 0 0 0 -1 -1 +1 0 0 +1 0 +1 0 0
5 6 0 0 0 +1 +1 0 -1 -1
①
i3 3 2 i2
i6 6 ④ 1
4 i 4 i5 5
结束
③
i1
划去Aa中任意一行，得到一个 (n-1)×b 阶新矩阵。 这就是降阶关联矩阵，用A表示。(今后主要用A， 简称关联矩阵) 特点 A的某些列只具有一个+1或一个-1，这样的列 对应与划去结点相关联的一条支路。 被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
17
3. 回路矩阵B 描述独立回路与支路的关联性质。
支路b
结束
B=
lb
独 立 回 路 l
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
(1)矩阵B的每一个元素定义为： + 1, 支路 k 与回路 j 关联，且方向一致；
bjk =
-1, 支路 k 与回路 j 关联，且方向相反； 0, 支路 k 不在回路 j 中(无关)。
结束
2
i2 i1
i5
5
1 i1 i2 - i1 - i2 + i3 0 i3 i 4 = - i3 - i4 + i6 = 0 + i 1 + i4 + i5 0 i5 i6
结点1的KCL 矩阵形式 结点 2 的 KCL [A][i] = … … 的KCL 结点(n-1)的KCL
15:56:12
[A][ i ] = 0
结束
15:56:11
3
§15-1 割集
1. 割集 Q 的定义 图G中被切割支路的集合Q同时 满足以下两个条件时称为割集：
①把 Q 中全部支路移去，原 图被分离成二个部分；
Q1 Q a e b Q2 c Q3
结束
d
f
②留下任一被切割支路时，原图依然连通。 (a, d, f )这个支路集合就是 G的一个割集。
(3)回路矩阵[B]的作用 ①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；
设： [u] = [u1 , u3 , u4 , u2 , u5 , u6 ]T
先连支后树支
结束
1 0 0 –1 –1 0 [B][u] = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 –1 1
u1-u2- u5 0 = u3+u2+ u6 = 0 0 u4-u5+ u6 l个独立KVL方程
15
例 已知某图的降阶关联矩阵为
问 支路2,3,5是否组成树, 支路1,2,3是否组成树? ① 画出对应的有向图。 A = ② ③ 答 由支路2,3,5组成的 列形子阵 1 0 -1 A = -1 1 0 0 0 0 其行列式为零， 所以不能组成树。
15:56Fra Baidu bibliotek12
结束
1 2 1 1 0 -1 -1 0
Q1
a e d c Q3 b Q2
结束
f
Q1 Q2 a e d f
7
b c Q3
选择一组独立割集是困难的。 借助于树，就比较方便。
15:56:11
④同一图，能选出若干基本割集组 树支为2,3,4,6时的基本割集组
4 8 3 7 1 5 4
Q3 (1,4,5)
1
4 Q2 8
结束
Q3 1
6
2 Q1 3
结束
6
i5
提示：给定 B 可以画出对应的有向图。 (2)基本回路矩阵Bf 是单连支的回路构成的矩阵 。 Bf 反映了一组单连支回路与支路间的关联关系。
15:56:12 19
写[Bf]时规定： ①连支电流方向为回路电流方向； ②连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列， 先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。 例3：选了 2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。
显然，图中汇集于同一结点的支路
(a, b, e )、 (b, c, f )、 (c, d, e )。
都是 G的一个割集。
15:56:11 4
①全移，G 一分为二； ②少移一条， G连通。
Q6
a
e d f
Q4 b c
a e d f
Q5 b c
结束
(b, d, e, f )是
a e
d f c d
(a, b, c, d ) 也是
15:56:12
u1 u3 u4 u2 u5 u6
② ①
i3 3
2 5 Ⅰ ④ i1 1
i6 Ⅲ Ⅱ i2 6 i5
4 i 4
③
KVL的矩阵形式： [B][u] = 0
21
注意：连支电压可以用树支电压表示。 ② 3 4 i ul i 3 4 证 [ Bf ][ u ] =[ 1 Bt ] =0 i ① ③ 6 ut Ⅲ Ⅱ i2 6 i5 ul + Btut = 0 ul = - Btut ②用回路矩阵[B]T表示矩阵 形式的KCL方程。 设： [ i ] = [i1 , i3 , i4 , i2 , i5 , i6 ]T 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 1 [ B ]T
3 0 1 0
4 0 1 -1
5 6 -1 1 0 0 0 -1
支路1,2,3组成的列形子阵 A= 1 1 0 0 -1 1 -1 0 0
其行列式非零， 所以能组成树。
16
ajk：背离+1，指向-1，无关0。 额外收获 若A阵的某些列构成的方阵的行列式≠0， 则这些列对应的支路组成树。 补上被划去的行 由给出的关联矩阵[A]， 画对应的有向图：
22
4.割集矩阵Q
割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述。
支路b 割 集 数
结束
Q=
(n-1)b
每一行对应一个割集, 每一列对应一条支路。
(1)矩阵Q的每一个元素定义为： +1,支路 k 与割集 j 关联，且方向一致；
15:56:12 12
(3)关联矩阵A的作用
①表示矩阵形式的KCL方程； 设：[ i ] = [i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ]T 以结点④为参考结点 -1 -1 +1 0 0 0 [A][i] = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
①
② i3 3 i6 6 ④ 4 i 4 ③
① i3 3
② i6 6 ④ 1 4 i 4
结束
③
2
i2 i1
i5
5
注意其特点
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 是-1，Aa的每一列元素之和为零； ？
②矩阵中任一行可以从其他 n-1行中导出，即 只有n-1行是独立的。
15:56:12 11
(2)降阶关联矩阵A
②
① A a= ② ③ ④
14
小结 ① 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 给出有向图，可以写出关联矩阵[A]。 ② 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 [A][ i ] = 0 ③ 用 A表示的 KVL 的矩阵形式为 [u] = [A]T [un] 提示 给出关联矩阵[A]，可以画出对应的有向图。
结束
15:56:12
15:56:12
结束
2 5 Ⅰ ④ i1 1
[ il] = [il1 , il2 , il3 ]T
il1 il2 il3
il1 i1 il2 i3 i4 il3 = - i +i = i l1 l2 2 -il1-il3 i5 il2 +il3 i6
矩阵形式的KCL: [ B ]T[ il ]=[ i ] 树支电流可以用 连支电流表出。
15:56:12
18
bjk：方向一致+1，方向相反-1，无关0。 ② 4 i i3 3 取网孔为独立回路， 例 2： 4 i6 ① ③ 顺时针方向。 Ⅱ Ⅰ
1 Ⅰ 0 B =Ⅱ 0 Ⅲ 1 2 1 0 -1 3 1 0 0 4 5 6 0 0 1 -1 1 -1 0 -1 0
5 2 Ⅲ ④ i1 1 i2
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②用矩阵[A]T 表示矩阵形式的KVL方程。 设： [u] = [u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ]T
① i3 3
② i6 6 ④ 1 4 i 4
结束
③
结点①～③的 取④为参考结点， -1 -1 +1 0 0 0T = [u1 u un3 ] 电压列向量 un 0 n1,[A] = 0 1n2 ,0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 结点电压与支路电压之间的关系为
②
结束
1 Ⅰ 1 Bf = Ⅱ 0 Ⅲ 0 Bf = [
15:56:12
3 0 1 0
4 0 0 1
2 5 -1 -1 1 0 0 -1
6 0 1 1
①
i3 3
1l ┆
Bt ]
2 5 Ⅰ ④ i1 1
20
i6 Ⅲ Ⅱ i2 6 i5
4 i 4
③
bjk：方向一致为 1，方向相反为 -1，无关 为0。 说明：支路编号也可以先树支后连支。
a Q7 e c f b
b
少移去e，G仍为两部分， 全移，G被分为三部分， (a, d, e, f )不是G的割集。 (a, b, c, d ,e )不是G的割集
15:56:11 5
Q2 2. 基本割集 指一个树支加相应的 连支构成的割集。 对于具有 n个结点 b条
l1 l2 l3 bt
结束
支路的连通图，树支 数为 (n-1) 条。