高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线

§18直线和圆，圆锥曲线

一．直线与圆

1,两点间的距离公式:设111222(,),(,)P x y P x y ,

则12PP =

; 2,线段的定比分点坐标公式:设111222(,),(,)P x y P x y ,点(,)P x y 分12P P 的比为λ,则 121x x x λλ+=+,12

1y y y λλ

+=+(1)λ≠-

3,直线方程的各种形式

(1),点斜式:00()y y k x x -=-; (2),斜截式:y kx b =+; (3),两点式:

11

2121

y y x x y y x x --=--

(4),截距式:

1(,0)x y

a b a b

+=≠;(5),一般式:0(,Ax By C A B ++=不同为零); (6)参数方程:00cos (sin x x t t y y t α

α

=+⎧⎨

=+⎩为参数,α为倾斜角,t 表示点(,)x y 与00(,)x y 之间的距离)

4,两直线的位置关系

设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=(或111222:,:l y k x b l y k x b =+=+).则 (1),121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠(或12k k =且12b b ≠); (2),1212120l l A A B B ⊥⇔+=(或121k k ⋅=-). 5,两直线的到角公式与夹角公式: (1),到角公式:1l 到2l 的到角为θ,则2112

tan 1k k k k θ-=

+,(00

0180θ≤≤);

(2),夹角公式:1l 与2l 的夹角为θ,则2112

tan 1k k k k θ-=

+,(00

090θ≤≤).

6,点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离

:d =.

7,圆的方程

(1),标准方程:222

()()x a y b R -+-=,其中(,)a b 为圆心坐标,R 为圆半径;

(2),一般方程:2

2

0x y Dx Ey F ++++=,其中22

40D E F +->,圆心为(,)22

D E -

-,

. (3),参数方程: cos sin x a R y b R θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩,其中圆心为(,)a b ,半径为R.

二．圆锥曲线

三．解题思想与方法导引.

1,函数与方程思想2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理

例题讲解

1．在平面直角坐标系中,方程

1(,22x y x y

a b a b

+-+=为相异正数),所表示的曲线是（ ） A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 2．平面上整点(坐标为整数的点)到直线54

35

y x =

+的距离中的最小值是（ ）

A,170 B,85 C,120 D,1

30

3．过抛物线2

8(2)y x =+的焦点F 作倾斜角为0

60的直线,若此直线与抛物线交于A,B

两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于（ ）

A,163 B,83 D,

4．若椭圆

22

13620

x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为（ ）

A, B,(- C,(3, D,(3,-

5．过椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为（ ）

A,bc B,ab C,ac D,2

b

6．已知P 为双曲线22

221x y a b

-=上的任意一点,12,F F 为焦点,若12F PF θ∠=,则12F PF S ∆=（ ）

A,2

cot 2

b θ

B,

1sin 2ab θ C,22tan 2

b a θ

- D,22()sin a b θ+

7．给定点(2,3),(3,2)P Q -,已知直线20ax y ++=与线段PQ(包括P ,Q 在内)有公共点, 则a 的取值范围是 .

8．过定点(,0)F a (0)a >作直线l 交y 轴于Q 点,过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点, 延长TQ 至P 点,使QP TQ =,则P 点的轨迹方程是 .

9．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为

原点),当椭圆的离心率2

e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 .

10．已知12,F F 是椭圆

22

11612

x y +=的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到y 轴的距离为 MN ,且MN 是1MF 和2MF 的等比中项,则MN 的值等于 .

11．已知点A 为双曲线2

2

1x y -=的左顶点,点B 和点C 在双曲线的右分支上,ABC ∆是 等边三角形,则ABC ∆的面积等于 .

12．若椭圆

22

1x y m n

+=(0m n >>)和双曲线221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点1,F 2F ,P 为两条曲线的一个交点,则12PF PF 的值为 .

13．设椭圆22126x y +=有一个内接PAB ∆,射线OP 与x 轴正向成3

π

角,直线AP ,BP 的斜率 适合条件0AP BP k k +=.

(1),求证:过A,B 的直线的斜率k 是定值;

(2),求PAB ∆面积的最大值.

14．已知(AOB θθ∠=为常数且02

π

θ<<

),动点P ,Q 分别在射线OA,OB 上使得POQ ∆

的面积恒为36.设POQ ∆的重心为G,点M 在射线OG 上,且满足3

2

OM OG =. (1),求OG 的最小值; (2),求动点M 的轨迹方程.

15．过抛物线2

2y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线