华理线代作业答案第七册

华东理工大学

线性代数 作业簿（第七册)

学 院__＿___＿_＿＿_＿专 业_＿______＿_＿＿班 级__

＿_________

学 号_＿_______＿__姓 名＿＿___＿______任课教师___＿＿

＿____＿＿

５.1 方阵的特征值与特征向量

1． 求下列矩阵的特征值与特征向量:

(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ; (２)⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡=12

221222

1A . 解：(１)由 110

4301

2|A I |---=---λ

λλλ

0)1)(2(2=--=λλ，

解得A 的特征值为: 2,1321===λλλ，

当121==λλ时， 解方程 ()0A I x -=, 由

210101420~012101000A I -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1211p , 故对应121==λλ的全部特征向量为 )0(1≠k kp ；

当23=λ时, 解方程 0)2(=-x E A , 由

3101002410010100000A I ~-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002p ,

故对应23=λ的全部特征向量为 )0(2≠k kp .

解: (2) 由122

212221|A I |--=--λλλ

λ0)5()1(2=-+=λλ, 解得A 的特征值为: 5,1321=-==λλλ, 当12

1==λλ时, 解方程 ()0A I x +=， 由

22211122

2~00022

2000A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=0111p ， ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=1011p ，故对应121-==λλ的全部特征向量为 )0(212211≠+k k p k p k ;

当53=λ时, 解方程： (5)0A I x -=, 由

4221015242~011224000A I --⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113p , 故对应53=λ的全部特征向量为)0(3≠k kp ．

2. 已知3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-，235A A B -=,求B 的特征值．

解: 容易证明， 当λ是A 的特征值时, 则矩阵A 的多项式)(A f 必有特征值)(λf .设235)(A A A f B -==, 则B 有特征值： 4)1(-=f , 6)1(-=-f , 12)2(-=f ．

3．设矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A , 且A 的特征值为3,2,1, 求z y x ,,．

解

:

0]2))(1)[(1(10

321||=----=---=

-x y z y x I A λλλλ

λλ

λ，

因为A 有特征值为3,2,1得: ⎩⎨⎧=----=----0

]2)3)(31)[(31(0

]2)2)(21)[(21(x y x y ,

即⎩⎨⎧=-+=-+03022y x y x ， 解得 ⎩

⎨⎧=-=41y x , z 无限制, 故

R z y x ∈=-=,1,1.

4.设⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111a A , 且A 有特征值2,6321===λλλ， 则a =（ ）.

（A)2; (B)2-; (Ｃ)4; (D)4-.

解: B ． 一方面24||321==λλλA ; 又)6(653342

1

11||a a A +=---=, 所以得2-=a .

5.设向量T k ]1,,1[=α是矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量， 试求常数k 的值.

解:设λαα=-1A , 左乘A 得 αλαA =, 即 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1121112111211k k λ, 即⎩

⎨⎧+=+=)22()3(1k k k λλ, 解得⎩⎨⎧-==2111k λ，⎩⎨⎧==14122k λ, 故有

2-=k 或1=k .

6. 设21,ξξ分别是矩阵A 属于不同特征值21,λλ的特征向量, 试

证: 21ξξ+不可能是A 的特征向量.

解: 设21ξξ+是A 的对应于特征值0λ的特征向量, 即有

201021021)()(ξλξλξξλξξ+=+=+A ,

另一方面, 又有

22112121)(ξλξλξξξξ+=+=+A A A ，

综合得

0)()(220110=-+-ξλλξλλ，

再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 ,02010=-=-λλλλ 即得 21λλ=， 与已知条件21λλ≠矛盾, 故命题得证.

７. 设B A ,为n 阶矩阵, 证明AB 与BA 有相同的特征根. 证明: 只要证明AB 的特征值都是BA 的特征值即可．

如果0是AB 的特征值， 则得 0||=AB ， 从而0||||||||===AB B A BA , 故0也是BA 的特征值;

再设λ是AB 的任意一个非零特征值， 对应的特征向量为x , 即有

x x AB λ=)(,

两边左乘B 得 Bx x AB B λ=)(, 即

)())((Bx Bx BA λ=,

显然0≠Bx (否则有0)()(===Bx A x AB x λ, 得到0=λ, 矛盾）, 故λ也是BA 的特征值, 对应的特征向量为Bx ．

８.设A 为实正交矩阵, 即T A A I =， 证明: A 的特征值的绝对值只能是1或1-.

证明: 设λ是A 的特征值, x 是对应λ的特征向量, 即有

x Ax λ=,

所以有

x x x x Ax Ax T T T 2)()(λλλ==,

另一方面, 又有

()T T T T T Ax Ax x A Ax x Ix x x ===,

结合上述两式得12=λ, 即1±=λ.

5.２ 相似矩阵