12-1 常数项级数的概念和性质
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12.1 常数项级数的概念和性质
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
结论 若级数的一般项un 不趋于0 (n )，则 un 必发散. n1
15
注意
lim
n
un
0并非级数收敛的充分条件.
但
s2n
sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1， 2n 2n 2
矛盾，所以假设不真，故，调和级数发散.
16
例 5 判断下列级数的敛散性，若收敛求其和.
n 1 n 2
1 2
1
n
1 1
1 2
n
1
2
lim
n
sn
1，故，该级数收敛，其和为 1 .
4
4
19
三、柯西审敛原理(选学)
定理(柯西收敛原理) 级数 un 收敛 n1
0，正整数 N，当n N 时，对任意正整数 p，恒有
un+1+un+2 + un+p .
例
解
6
利用柯西审敛原理判定级数 对任意的正整数 p，
n0
的敛散性.
aqn
(a 0)
解：(1)若 q 1，则部分和
sn a aq aq2
aqn1 a aqn 1 q
当
q
1时，由于 lim qn n
0，从而
lim
n
sn
a， 1 q
因此，该级数收敛，且其和s a . 1 q
当
q
1时，由于lim qn n
，从而
lim
n
sn
，故，该级数发散.
8
n0
例 2 判断下列级数的敛散性
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
数学分析12-1
1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1 − ) + ( − ) + L + ( − 2 3 2 3 5 2 2n − 1 2n + 1
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 ) ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1
1 = , 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
第十二章
数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 有限个实数相加是实数， 是什么结果？ 是什么结果？ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 将每天取下的长度“ 将每天取下的长度“加”起来： 起来：
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
——无限个数相加！ 无限个数相加！ 无限个数相加 直观上感觉结果（ 直观上感觉结果（和）应该是1。 应该是 。 再如： 再如： 如果 如果
1−1+1−1+1−1+L
（ 1 − 1 ） 1 − 1 ） 1 − 1） L （ + + + （ 结果是0。 结果是 。 结果是1。 结果是 。
1
1 收敛。 例6 证明级数 ∑ 2 收敛。 n =1 n
∞
证
| um +1 + um + 2 + L + um + p |
1 1 1 L+ = 2 + 2 + 2 ( m + 1) ( m + 2) (m + p) 1 1 1 < + +L+ m ( m + 1) ( m + 1)( m + 2) ( m + p − 1)( m + p ) 1 1 1 1 1 1 = − + − +L+ − m m +1 m +1 m + 2 m + p−1 m + p 1 1 1 = − → 0, ( m → ∞ ) < m m+ p m
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 ) ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1
1 = , 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
第十二章
数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 有限个实数相加是实数， 是什么结果？ 是什么结果？ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 将每天取下的长度“ 将每天取下的长度“加”起来： 起来：
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
——无限个数相加！ 无限个数相加！ 无限个数相加 直观上感觉结果（ 直观上感觉结果（和）应该是1。 应该是 。 再如： 再如： 如果 如果
1−1+1−1+1−1+L
（ 1 − 1 ） 1 − 1 ） 1 − 1） L （ + + + （ 结果是0。 结果是 。 结果是1。 结果是 。
1
1 收敛。 例6 证明级数 ∑ 2 收敛。 n =1 n
∞
证
| um +1 + um + 2 + L + um + p |
1 1 1 L+ = 2 + 2 + 2 ( m + 1) ( m + 2) (m + p) 1 1 1 < + +L+ m ( m + 1) ( m + 1)( m + 2) ( m + p − 1)( m + p ) 1 1 1 1 1 1 = − + − +L+ − m m +1 m +1 m + 2 m + p−1 m + p 1 1 1 = − → 0, ( m → ∞ ) < m m+ p m
12-1 常数项级数的概念和性质
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
返回
注
1。由性质2可知，两收敛级数的和或差是收敛级数
k 1个
∴{ S2k1 }发散，从而{Sn }发散
∴
n1
1 n
发散.
返回
例2
证明：调和级数
n1
1 n
发散.
又证
s2n
sn
1 n
1
n
1
2
1 2n
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 这是不可能的.
n0
解 如果q 1时
sn a aq aq2
aqn1
a aqn 1q
a aqn , 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
发散
等比如级果数q是一1时
个常用的级数
当q 1时, sn na 当q 1时, 级数变为a a
第一节 常数项级数的概念和性质
一、函数逼近理论简介 二、预备知识回顾 三、常数项级数的概念 四、无穷级数的基本性质 五、级数收敛的必要条件
返回
一、函数逼近理论简介
常数项级数的概念与性质
m1
证明：设 un S ， v1 u1 u2 un1 ，
n1
v2 un11 un2 ， ，
vm unm11 unm ， ，
级数 un 和 vm 的部分和分别为Sn 和 n ，
n1
m1
则1 Sn1 ，2 Sn2 ， ，k Snk ， ， 故{n}是 {Sn} 的子列，
从而当 lim Sn 存在时， lim n 必存在，且
级数简介
无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表示、 函数逼近及数值计算的一种重要数学工具.
正项级数
常数项级数交错项级数
无穷级数函数项级数LF任ao幂意uurre级项ienrt数 级级级数数数
第九章 常数项级数
常数项级数的概念与性质 常数项级数的判敛法 反常积分判敛法
1.1 常数项级数的概念
n1
n
证若明n：1∴u设 n收limn敛 1uunnnlliSimm，u(nS∵n0uS，nnS1 )nSSnS1，0 。
即 若 limnun 0n un发散 ，
n
n1
但 lim un 0 un 收敛。
n
n1
例如调和级数 1 是发散的，而 lim 1 0 。
n1 n
n n
例 7．判别级数
kn1
例 8．判别下列级数的敛散性：
（1）1lnln2 ln3
解：∵ (1)n1(ln)n1 是等比级数，公比 qln ，
n1
q lnlne1，
∴原级数发散。
（2） [
2
(1)n( 3 )n ]
n1 n(n1)
4
解：∵
2
收敛；
n1n(n1)
(1)n( 3)n 为公比q 3 的等比级数，
常数项级数的概念及性质
当q 1时，级数变为
limqn 0( q 1)
n
Sn
a1 a1qn 1q
10
当q 1时，级数变为
因此
a,
S n
0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综上
n0
aqn
收敛，当 发散，当
q q
1时，其和为 首项
1 公比
1时，
1 n
如： ( ) n1 2
收敛；其和为1.
(1)n1 1
n1
3n
收敛；
1
2
（n112(）232)
n（发12）散3 ；L
3n2
5n
n0
11 1 1 3 312133134
32
n0
3n 5n
9 1 3
发L 散.
11
5
例 3 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
15
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
16
17
二、无穷级数的基本性质（常数项级数 函数项级数都使用）
1 )
n1
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求
limqn 0( q 1)
n
Sn
a1 a1qn 1q
10
当q 1时，级数变为
因此
a,
S n
0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综上
n0
aqn
收敛，当 发散，当
q q
1时，其和为 首项
1 公比
1时，
1 n
如： ( ) n1 2
收敛；其和为1.
(1)n1 1
n1
3n
收敛；
1
2
（n112(）232)
n（发12）散3 ；L
3n2
5n
n0
11 1 1 3 312133134
32
n0
3n 5n
9 1 3
发L 散.
11
5
例 3 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
15
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
16
17
二、无穷级数的基本性质（常数项级数 函数项级数都使用）
1 )
n1
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求
常数项级数基本概念以及性质
1 4 p
1 4p
1 4p
1 4p
1 4 p1
1 2 2 p1
1 8 p
1
9p
1 15 p
1 8p
1 8p
1 8p
1 8 p1
1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2
x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法
设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数的概念与性质课件
n
a 当q 1时, 因为 lim q 0, 所以 lim sn , n n 1 q 级数收敛;
n
9
a aqn sn 1 q 1 q
当q 1时, 因为 lim q n , 所以 lim sn ,
n
n
级数发散;
n n aq a aq aq ( a 0) 如果 q 1时,
n 1
例如 则新级数的部分和数列 为原级数部分
和数列 sn ( n 1,2, ) 的一个子数列, 因此必有
s.
22
定理12.5 若级数 un收敛, 则 lim un 0 证 设 s un , 即 lim sn s, 则 un sn sn1
n 1
n 1
13
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以, 此级数收敛, 且其和为 2.
n n 2 n 1
14
二、收敛级数的基本性质 性质12.1 设常数 k 0, 则 un与 kun
解题思路 级数收敛的必要条件 lim un 0,
n
常用判别级数发散.
24
n 3 2n 5 (1) n1 ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3)
解 由于
发散
n 3 2n 5 1 lim un lim 0 n ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3) n 8
常数项级数的概念
收敛级数的基本性质
柯西审敛原理
小结 思考题
第12章 无穷级数 2
a 当q 1时, 因为 lim q 0, 所以 lim sn , n n 1 q 级数收敛;
n
9
a aqn sn 1 q 1 q
当q 1时, 因为 lim q n , 所以 lim sn ,
n
n
级数发散;
n n aq a aq aq ( a 0) 如果 q 1时,
n 1
例如 则新级数的部分和数列 为原级数部分
和数列 sn ( n 1,2, ) 的一个子数列, 因此必有
s.
22
定理12.5 若级数 un收敛, 则 lim un 0 证 设 s un , 即 lim sn s, 则 un sn sn1
n 1
n 1
13
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以, 此级数收敛, 且其和为 2.
n n 2 n 1
14
二、收敛级数的基本性质 性质12.1 设常数 k 0, 则 un与 kun
解题思路 级数收敛的必要条件 lim un 0,
n
常用判别级数发散.
24
n 3 2n 5 (1) n1 ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3)
解 由于
发散
n 3 2n 5 1 lim un lim 0 n ( 2n 1)( 2n 1)( 2n 3) n 8
常数项级数的概念
收敛级数的基本性质
柯西审敛原理
小结 思考题
第12章 无穷级数 2
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
高数-常数项级数的概念和性质
23
n
证: 当 k≤x ≤ k+1 时，1 1 ,从而
xk
k1 dx
k1 1 dx
1
k x kk
k
于是
sn
n
S n
k 1
1 k
1 1 1 1
23
n
n
k1 dx
2 dx
3 dx
n1 dx
k
k 1
x 1 x 2x
nx
n1 dx 1x
lnx
|n1
1
ln(n
1)
因为 limsn limln（n 1）
9
1 105
2
1 106
6
1 107
无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加” 运算？“相加”的结果是什么？
定义1 给定数列 u1, u2 , u3 un 则称
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数 简称级数，记做 un
n1
即： un u1 u2 u3 un
n1
式子中每一项都是常数，称作常数项级数，
S
由极限的运算可知
lim
n
un
lim
n
(
Sn
S n1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0.
注意：这个性质的逆命题不正确，即级数 un的通项
n1
的极限为零，并不一定能保证原级数收敛.
例 如：
调和级数
1
n n
的一般项 un
1 n
它满足
lim
n
un
lim
n
1 n
0,
但 1 不收敛. n n
12.1 常数项级数的概念和性质
第12章
目录
12.1 常数项级数的概念和性质 12.2 常数项级数的审敛法
第12章 无穷级数
12.3 幂级数 12.4 函数展开成幂级数 12.5 函数的幂级数展开式的应用 12.6 傅立叶级数 12.7 一般周期函数的傅立叶级数
12.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
n 1
零，因此该级数是发散的．
12.1 常数项级数的概念和性质
三、思考与练习
1．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数 的收敛性： （1）
n 1
n1 n ；
1 （ 2） 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
12.1 常数项级数的概念和性质
n 1
12.1 常数项级数的概念和性质
证
设级数 un 的部分和为 S n ，且 Sn S
n 1
(n ) ，则有
注意：此定理的逆命题不成立．即从
lim un 0 不能得出级数 un 收敛． lim un 0 因此，
n
只是级数 un 收敛的必要条件，而非充分条件．
三、思考与练习
12.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
举例：计算圆周率 在公元263年，我国著名数学家刘徽首创用半 R 1 时，圆的面积 S ） 径 R 1（这点很巧妙， 的圆的内接正多边形的面积来接近圆的面积从而 计算圆周率的方法，这一方法称为“割圆术”。 刘徽首先计算出圆的内接正六边形的面积，然后 将正多边形的边数屡次加倍，使正多边形的面积 逐渐增大并接近圆的面积 π.
n 1
u1 u2 u3 un
目录
12.1 常数项级数的概念和性质 12.2 常数项级数的审敛法
第12章 无穷级数
12.3 幂级数 12.4 函数展开成幂级数 12.5 函数的幂级数展开式的应用 12.6 傅立叶级数 12.7 一般周期函数的傅立叶级数
12.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
n 1
零，因此该级数是发散的．
12.1 常数项级数的概念和性质
三、思考与练习
1．根据级数收敛与发散的定义判定下列级数 的收敛性： （1）
n 1
n1 n ；
1 （ 2） 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
12.1 常数项级数的概念和性质
n 1
12.1 常数项级数的概念和性质
证
设级数 un 的部分和为 S n ，且 Sn S
n 1
(n ) ，则有
注意：此定理的逆命题不成立．即从
lim un 0 不能得出级数 un 收敛． lim un 0 因此，
n
只是级数 un 收敛的必要条件，而非充分条件．
三、思考与练习
12.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
举例：计算圆周率 在公元263年，我国著名数学家刘徽首创用半 R 1 时，圆的面积 S ） 径 R 1（这点很巧妙， 的圆的内接正多边形的面积来接近圆的面积从而 计算圆周率的方法，这一方法称为“割圆术”。 刘徽首先计算出圆的内接正六边形的面积，然后 将正多边形的边数屡次加倍，使正多边形的面积 逐渐增大并接近圆的面积 π.
n 1
u1 u2 u3 un
高等数学@12.1 级数概念与性质
n0
（1）当|q|
<1时，收敛，其和为
1
a
q
（2）当|q|≥1时，发散
如：
n0
5 3n
,
收敛
(1)n
n0 2n , 收敛
(2)n
n0
发散
思考(2)：级数 1 1 1 1 1 是否收敛？
n1 n
23
n
S
n
1
1 2
1 3
(1)
lim
n
un
0
则 un 发散。
n1
(2)若加括号后的级数发散， 则原级数必发散。
(3)若级数 un 收敛， vn 发散
n1
n1
则级数 (un vn ) 必发散
n1
(4) 级数 kun与 un 收敛性相同 (k 0)
n1
n1
(5) 级数 un 与 un 收敛性相同。
收敛，则
lnimun
0
（必要条件）
问题
1.若
lim
n
un
0
则 un 发散
n1
2.若
lim
n
un
0
则 un
n1
未必收敛
如 1 n1 n
性质1 若常数k≠0，则级数 un 与 kun 收敛性相同.
n1
n1
证 设 Sn u1 u2 un
1. 级数收敛的性质：
（1）常数 k≠0，级数 un与 kun同敛散。
常数项级数的概念和性质
性质2 也说成：两个收敛级数可以逐项相加或相减.
1 1 如 级数 ( n n ) 收敛. 3 n 1 2
-11
注释 :
(1) 若级数 un 和 vn 中一个收敛，一个发散，则 (un vn ) 必发散.
n 1 n 1 n 1
(用反证法可证)
(2) 若级数 un 和 vn 均发散，则 (un vn ) 可能收敛，也可能发散.
n
综上，当 q 1，等比级数 a q n 收敛；
n 0
当 q 1，等比级数 a q n 发散.
n 0
-7-
例 2 判断下列级数的敛散性 1 (1) n 1 3 n 1
n 1
4n (2) n 1 n 1 3
1 n1 1 n 解 (1) 原式 ( ) ( ) ， 是等比级数， n 0 3 n 1 3
-3-
★ 级数 un 部分和数列
n 1
当n 依次取1, 2,
, 时，部分和 sn 分别为
s1 u1，
s2 u1 u2，
sn u1 u2 u3
un，
它们构成一个数列sn ，称为级数 un 的部分和数列.
n 1
★ 下面，由级数的部分和数列sn 在 n 时是否存在极限， 引入无穷级数的收敛与发散的概念.
n 1 n 1
所得新级数 c un 也收敛，且其和为 c s.
n 1
说明： 级数的每一项同乘一个非零的常数后，它的收敛性不会改变.
性质 2 若级数 un 和 vn 分别收敛于 s 和，则级数 (un vn )
n 1 n 1 n 1
12.1常数项级数的概念和性质
数的一般项或通项.级数 (1)的前 n项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和.当 n依次取1,2,3
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即
常数项级数的概念
时,它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
1)
...的收敛性.
解
un
1 n(n
1)
1 n
n
1
1,
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1
n
1
1
.
所以
lim
n
sn
lim n
1
n
1
1
1,
即题设级数收敛，其和为1.
例 4 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
|是用 sn
近似代替 s 所产生的误差.
例1
写出级数
1 2
3 24
2
5 4
6
2
7 46
8
...
的
一般项.
解 分母是偶数的连乘积，而且第一项为偶数，第
二项是两个偶数之积，第三项是三个偶数之积，...，
第 n 项是个 n 偶数之积，故可写成(2n)!!,
而分子为奇数， 故第 n项为2n 1. 于是该级数的
sn
1 2 3 n
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1
技巧:
1 2 (1 1 2n 1 ),
利用 “拆项相消” 求 和
1 2n 1 )
lim s n lim
n
1 2
n
(1
1 2
,
级数收敛
, 和为
1 2
.
例4. 判别级数
解:
的敛散性 .
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
ln(1 1 ) ln 2
二、常数项级数的概念
给定一个数列 u1 , u2 定义：
, u3 , , u n ,
将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 级数的部分和 部分和数列
s1 u1 , s2 u1 u2 , sn u1 u2 un ,
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 面积为 P1 3 , A1 3 4 ;
第一次分叉：
周长为 P2 4 3 P1 ,
播放
面积为
A 2 A1 3
1 9
A1 ;
依次类推
第 n 次分叉： 周长为 面积为
Pn ( ) 3 4
n1
P1
n 1 ,2 ,
An An1 3{ 4 A1 3 1
n
故原级数收敛 , 其和为
例 5
试把循环小数 2.317 2.3171717 表示
成分数的形式.
解
2 . 3 17 2 . 3
17 10
3
17 10
5
17 10
n
7
2 .3
17 10
3
1 n 0 100
等比级数
公比 q
1147 495
s 1 2 gt
2
知t
2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2 t 2 2 t3
1 1 2 1 2 2 2 ( 2) g
2 g
1 2 2 1 2.63 ( s )
于是有
lim P n
n
1 3 1 4 9 ) A1 (1
lim A n A 1 ( 1
n
3 5
)
2 5
3
.
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq
n 0
n
a aq aq aq ( a 0)
1
3
k 1 k
3k
2
2k
1
n
2 k 1
1 1 k ( k 1) ( k 1)(k 2)
1 1 1 2 1 2 ( n 1)(n 2)
进行拆项相消
11 ( 2) 其和为 . lim S n , 这说明原级数收敛 , 3 4 4 2 n n 3n 2n n 1
u n 叫做级数的一般项,
n
sn u1 u2 un
ui
i 1
s3 u1 u2 u3 ,,
2. 级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时,如果级数 u n 的部分和
n1
数列 s n 有极限 s , 即 lim s n s 则称无穷级数
n
n2
[(
1 9
)
n1
A 1 ]}
2 n2
A1 3 4 ( ) A1 3 4 9 9
1
( ) 9
1
n1
A1
1 4 1 4 2 1 4 n2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9
1
n 2 ,3 ,
一、问题的提出
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程
n 2n 1 2 ,
假设调和级数收敛
, 其和为 s .
于是 lim( s 2 n s n ) s s 0 ,
n
便有
0
1 2
(n )
这是不可能的
.
级数发散
.
2项
2项
4项
8项
(1
1 2
) (
1 3 1
1 4
) (
1 5 1
1 6
1 7
1 8
) ( 1
2
n
（ q 称为公比）的收敛性.
解 如果q 1时
s n a aq aq
2
aq
aq
n
n1
a aq 1 q
n
a 1 q
1 q
,
当 q 1时 , 当 q 1时 ,
lim q
n
n
0
lim s n
n
a 1 q
1 100
2 .3
17 10
3
1
1 1 100
.
三、无穷级数的基本性质
性质 1 如果级数
u
n 1
n
收敛,则 kun 亦收敛.
n 1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
n
性质 2 设两收敛级数s
u
n 1
,
v
n 1
n
,
则级数
(u
发散 , 从而原级数发散 .
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当 n 无限增大时 , 它的一般项 u n 趋于零 , 即
级数收敛 lim un 0.
n
证明
s
n1
un
则
u n s n s n1 ,
lim u n lim s n lim s n 1 s s 0 .
n 1
n
v n ) 收敛,其和为s .
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n
必发散 . (用反证法可证)
n 1
vn )
但若二级数都发散 ,
例如,
取 u n (1)
lim s n k lim s k s s . k
n n
类似地可以证明在级数前面加上（或去掉） 有限项不影响级数的敛散性.
性质 4
收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛
于原来的和.
证明
( u1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 ) 1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
1
(3)
Sn 1 Sn
2
3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 1 2 3 4 n 1 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
1 2
, m sn ,
则 lim
m m
lim s n s .
n
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1 ) (1 1 )
1111
推论
收敛 发散
如果加括弧后所成的级数发散,则原来级
数也发散.
例6.判断级数的敛散性:
解: 考虑加括号后的级数
1
1 (
的收敛性.
解
un
1
( 2 n 1 )( 2 n 1 )
2 2n 1
1 2n 1
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sn
1 13
1
1 35
1 (2n 1) (2 n 1)
1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
第12章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
第12章
教学目的与要求：
• 理解常数项级数收敛、发散以及收
敛级数的和的概念； •掌握级数的基本性质及收敛的必要 条件； •掌握几何级数(等比级数)的收敛性 •重点： 无穷级数收敛、发散以及和的概念 几何级数(等比级数)的收敛性
n
例2
判别无穷级数 2 3
2n n 1
1 n
的收敛性.
解
un 2
2n
3
1 n
4 4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比
| q | 1 ,
原级数发散 .
q
4 3