12-1 常数项级数的概念和性质

lim s n k lim s k s s . k
n n
类似地可以证明在级数前面加上（或去掉） 有限项不影响级数的敛散性.
性质 4
收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛
于原来的和.
证明
( u1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 ) 1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
1
技巧:
1 2 (1 1 2n 1 ),
利用 “拆项相消” 求 和
1 2n 1 )

lim s n lim
n
1 2
n
(1

1 2
,

级数收敛
, 和为
1 2
.
例4. 判别级数
解:
的敛散性 .
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
ln(1 1 ) ln 2
, m sn ,
则 lim
m m
lim s n s .
n
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1 ) (1 1 )
1111
推论
收敛 发散
如果加括弧后所成的级数发散,则原来级
数也发散.
例6.判断级数的敛散性:
解: 考虑加括号后的级数
2n
不一定发散.
, vn ( 1)
2 n 1
,
例5

5 1 n 的和. 求级数 2 n 1 n( n 1)
5 1 n(n 1) 2 n n1


解

n1
5 n(n 1)



n1
1 2
n


n1
1 1 5 n(n 1) n 1 n1 n 5 1 1 1 5 ), 5 (1 k 1 n 1 k 1 k
1 100
2 .3
17 10
3
1
1 1 100

.
三、无穷级数的基本性质

性质 1 如果级数
u
n 1

n
收敛,则 kun 亦收敛.
n 1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
n
性质 2 设两收敛级数s

u
n 1
,
v
n 1
n
,
则级数
(u
一、问题的提出
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程
n n n
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 2 3 3 4 ( 1)
n1
n n 1

发散
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 2
n

1 3

1 n

有 lim un 0, 但级数是否收敛?
讨论
s2n sn 1 n 1 1 n 2 1 2n
2
n
（ q 称为公比）的收敛性.
解 如果q 1时
s n a aq aq
2
aq
aq
n
n1

a aq 1 q
n

a 1 q

1 q
,
当 q 1时 , 当 q 1时 ,
lim q
n
n
0
lim s n
n
a 1 q
n2
[(
1 9
)
n1
A 1 ]}
2 n2
A1 3 4 ( ) A1 3 4 9 9
1
( ) 9
1
n1
A1
1 4 1 4 2 1 4 n2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9
1
n 2 ,3 ,
1 9

1 10

1 16
)
( 2
m
1
2
1 2
m
2
2
m 1
)
m
每项均大于
2
项
即前 m 1 项大于 ( m 1 )
1 2

级数发散
.
由性质4推论,调和级数发散.
例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:

( 2)
n 1n 3n 2n

1
二、常数项级数的概念
给定一个数列 u1 , u2 定义：

, u3 , , u n ,
将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 级数的部分和 部分和数列
s1 u1 , s2 u1 u2 , sn u1 u2 un ,
第12章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
第12章
教学目的与要求：
• 理解常数项级数收敛、发散以及收
敛级数的和的概念； •掌握级数的基本性质及收敛的必要 条件； •掌握几何级数(等比级数)的收敛性 •重点： 无穷级数收敛、发散以及和的概念 几何级数(等比级数)的收敛性
n 2n 1 2 ,
假设调和级数收敛
, 其和为 s .
于是 lim( s 2 n s n ) s s 0 ,
n
便有
0
1 2
(n )
这是不可能的
.

级数发散
.
2项
2项
4项
8项
(1
1 2
) (
1 3 1

1 4
) (
1 5 1

1 6

1 7

1 8
) ( 1
3 2
;
解: (1) 令
e
n 1
则
( n 1) !
n 1
u n 1 un

( n 1)
n
1
(n 1, 2 , )
e n! n
n
故 从而 这说明级数(1) 发散.
(2) 因
1 n 3n 2n
3 2

1 n( n 1)(n 2)
( n 1, 2 , )
n
Sn
u n 叫做级数的一般项,
n
sn u1 u2 un
ui
i 1
s3 u1 u2 u3 ,,
2. 级数的收敛与发散:

当 n 无限增大时,如果级数 u n 的部分和
n1
数列 s n 有极限 s , 即 lim s n s 则称无穷级数
n


n1
un
收敛,这时极限 s 叫做级数 u n 的和.并
n1
写成 s u 1 u 2 u 3

如 果 sn 没 有 极 限 ,则 称 无 穷 级 数

n1
un 发 散 .
即
常数项级数收敛(发散) lim s n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值 r n s s n 为级数的余项.
发散 , 从而原级数发散 .
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当 n 无限增大时 , 它的一般项 u n 趋于零 , 即
级数收敛 lim un 0.
n
证明



s

n1
un
则
u n s n s n1 ,
lim u n lim s n lim s n 1 s s 0 .
n 1
n
v n ) 收敛,其和为s .
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n
必发散 . (用反证法可证)
n 1
vn )
但若二级数都发散 ,
例如,
取 u n (1)
n
故原级数收敛 , 其和为
例 5
试把循环小数 2.317 2.3171717 表示
成分数的形式.
解
2 . 3 17 2 . 3
17 10
3


17 10
5

17 10
n
7

2 .3
17 10
3
1 n 0 100
等比级数
公比 q
1147 495
收敛
发散
lim q
n
n
lim s n
n
如果 q 1时
当 q 1时 ,
s n na
发散
当 q 1时 , 级数变为
lim s n 不存在
n
a a a a
发散
综上
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
n
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令 gn
lim g n 5 lim ( 1
n n
1 n 1
) 5,



n1
1 2
n
是等比级数
, 公比 q
1
1 2
1 , 首项是
1 2
，


n1

1 2
n
lim h n
n
2 1 1 2
1,
5 1 故 n 5 1 6. 2 n1 n ( n 1)


性质 3
若级数
un 收敛,则 un 也收敛
n 1 n k 1
( k 1) .且其逆亦真.
证明
u k 1 uk 2 uk n n u k 1 u k 2 u k n sn k sk ,
则 lim
n n
s 1 2 gt
2
知t
2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2 t 2 2 t3

1 1 2 1 2 2 2 ( 2) g
2 g

1 2 2 1 2.63 ( s )
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 面积为 P1 3 , A1 3 4 ;
第一次分叉：
周长为 P2 4 3 P1 ,
播放
面积为
A 2 A1 3
1 9
A1 ;
依次类推
第 n 次分叉： 周长为 面积为
Pn ( ) 3 4
n1
P1
n 1 ,2 ,
An An1 3{ 4 A1 3 1
1
(3)
Sn 1 Sn
2
3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 1 2 3 4 n 1 2 3 n 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 2
1
1 (
的收敛性.
解

un
1
( 2 n 1 )( 2 n 1 )
2 2n 1

1 2n 1
),
sn
1 13
1

1 35

1 (2n 1) (2 n 1)
1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
于是有
lim P n
n
1 3 1 4 9 ) A1 (1
lim A n A 1 ( 1
n
3 5
)
2 5
3
.
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)

aq
n 0
n
a aq aq aq ( a 0)

余项 r n s s n u n 1 u n 2
即
sn s

i1
u n i
误差为 r n
( lim r n 0 )
n
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
n

例2
判别无穷级数 2 3
2n n 1
1 n
的收敛性.
解

un 2
2n
3
1 n
4 4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比
| q | 1 ,
原级数发散 .
q
4 3
,
例3
判别无穷级数
1 1 3

1 35

1 ( 2n 1) ( 2n 1)

1
3
k 1 k
3k
2
2k

1
n
2 k 1

1 1 k ( k 1) ( k 1)(k 2)
1 1 1 2 1 2 ( n 1)(n 2)
进行拆项相消

11 ( 2) 其和为 . lim S n , 这说明原级数收敛 , 3 4 4 2 n n 3n 2n n 1