数值分析—填空练习复习题

2 方程根 (9). 设迭代函数(x)在 x*邻近有 r（1）阶连续导数，且 x* = (x*)，并且有(k)(x*)=0
(k=1,…,r-1)，但(r) (x*)0，则 xn+1=(xn)产生的序列{ xn }的收敛阶数为___r___
(10).称序列{xn}是 p
阶收敛的如果
lim
nLeabharlann Baidu
xn1 x * xn x * p
(7). x (3,0,4,12)T ，则|| x ||1 19 ,|| x ||2 13____，|| x || ____12 ；
(8).
已知方程组
1 0.32
2 x1
1
x2
b1 b2
，则解此方程组的
Jacobi
迭代法___收敛（填“收
敛”或“发散”），
(9). X (2,3,4)T 则 || X ||1
1 绪论
(1). 要使 20 的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取___4____位有效数字。
20
＝0.4…10,
a1=4,
r
1 2a1
10-(n-1)<
0.1%
，故可取 n4,
即 4 位有效数字。
(2). 要使 20 的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对
要使迭代法收敛，条件 0<<2 是 必要条件 (充分条件、必要条件、充要条件)；
如果 A 是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当在区间 (0,2) 时。
(21). 给定方程组
1 a
a 1
x1 x2
1 2
，其
Jacobi
迭代格式的迭代矩阵为
0 a
a
0
当 a <1 时，Jacobi 迭代格式收敛；其 Gauss-Seidel 迭代格式的迭代矩阵为
异矩阵___不一定___(一定，不一定)能进行 LU 分解。
(22).设 A 是正定矩阵，则 A 的 cholesky 的分解 唯一 (唯一,不唯一).
2 1 0 (23).设 A 1 2 a ，为使 A 可分解为 A=LLT，其中 L 是对角线元素为正的下三角
0 a 2
形矩阵，则 a 的取值范围是
Jacobi
迭代矩阵
B
0 0.32
2 0
，
(B)
0.8
，
故 Jacobi 迭代是收敛的，
(11).
已知方程组
5x 3x
2y 8 20 y 26
，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高
斯-塞德尔法的迭代格式是________________；
解
0
3
20
2 5
,
x
(k
1)
0
y
(k
1)
2 y(k) 8
5
5
3 x (k1) 13
20
10
(12). 已知方程组
1 0.32
2 x1
1
x2
b1 b2
，则解此方程组的
Jacobi
迭代法_____________
收敛（填“是”或“不”），
解
因
A
1 0.32
2 1
的
Jacobi
迭代矩阵
B
0 0.32
2 0
，
(B)
0
a
2
a
0
，当 a
<1
时 Gauss-Seideli 迭代格式收敛。
(22). 已知方程组
1 0.32
2 x1
1
x2
b1 b2
，则解此方程组的
Jacobi
迭代法__是__收敛（填
“是”或“不”）
(23).已 知
1 A 3
2 4
,
则
A 1
__6___ ， A
(A) 1 (5 33) 2
(16). 设若
A
1 3
0 1
,则矩阵
A
的
1-范数
A 1
4
，cond1(A)= 16 。
(17).如果线性方程组 Ax b 用 Jacobi 迭代法，其迭代矩阵 B 满足 B 1。如果用 1
Gauss-Seidel 迭代法解此线性方程组 Ax b ，则方法 一定 (一定,不一定)收敛
1 1 1 1
(6). 设 x=3.214, y=3.213，欲 计 算 u= x y , 请给 出一个 精度 较高的 算 式 u=.
x y u=
x y
(7). 设 x=3.214, y=3.213，欲计算 u= x y , 请给出一个精度较高的算式 u= .
x y u=
x y
(8). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值,其绝对误 差限的估计式为: | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|；
(18). 设
Q
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 11
，则
Q
2
2
(19). x (3,0,4,12)T ，则|| x ||1
，|| x ||2
，|| x ||
；
答案：（1）19，13，12；
(20).方程组 Ax b 用超松驰法求解时，迭代矩阵为 B (D L)1[(1 )D U] ,
(13).用牛顿法解方程 x3 x2 1 0 的迭代格式为_______________
解
xk 1
xk
xk3 xk2 1 3xk2 2xk
(14).迭代过程 xk1 (xk ) 收敛的充分条件是 (x) 1.___
(15).用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则 x1= 1.5970149
Jacobi
迭代法___是___收敛
（填“是”或“不”）。
2 1 1 x1 1
(3). 给定方程组 1 1
1
x2
1
记
此方程
组的
Jacobi
迭代矩阵为
1 1 2 x3 1
BJ=(aij)33，则 a23= -1； , 且 相应的 Jacobi 迭代序列是__发散_____的。
(4). 设 f (x) x 1 3 ，则 f (x) 关于 C[0,1] 的 f
0.8
，故
Jacobi
迭
代是收敛的，
(13). 已知方程组
5x 3x
2y 8 20 y 26
，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞
德尔法的迭代格式是________________；
解
0
3
20
2 5
,
x
(k
1)
0
y
(k
1)
2 y(k) 8
5
5
3 x (k1) 13
元法的第一次主元素为
_ － 8_________ ； 第二 次 主元 素为 ( 用 小数 表示)
7.5_____;
(21).在方阵 A 的 LU 分解中, 方阵 A 的所有顺序主子不为零,是方阵 A 能进行 LU 分解的
充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能__(能,不能)进行 LU 分解；非奇
(24).（1）.设 f (x) x 1 3 ，则 f (x) 关于 C[0,1]的
__7__ , A 的 谱 半 径
f
1
,
f 1
1
,
f
1
。
4
2
7
(25). X (2,3,4)T 则 || X ||1
，|| X ||2
，|| X ||
解 || X ||1 9,|| X ||2 29,|| X || 4
20
10
a 10
(14). A 0
1 ，要使 lim Ak 0 ，a 应满足___________；
2
k
解 a 1
(15). X (2,3,4)T 则 || X ||1
，|| X ||2
，|| X ||
。
1 A 3
0 1
，则 ||
A
||1
， (A)
。
解 || X ||1 9,|| X ||2 29,|| X || 4 。 || A ||1 4, (A) 1(| I A | ( 1)2 , 1,2 1)
(26). 已知方程组
5x 3x
2y 8 20 y 26
，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞
德尔法的迭代格式是________________；
解
0
3
20
2 5
,
x
(k
1)
0
y
(k
1)
2 y(k) 8
5
5
3 x (k1) 13
20
10
2 1 4 3
1 ,f
1
2
7
(5).
1 A 3
0 1
，则 ||
A ||1
4, (A)
1(|
I
A |
(
1)2 , 1,2
1)
(6). Rn 上的两个范数||x||p, ||x||q 等价指的是_C,DR,_C_||x||q _||x||pD ||x||q _；Rn 上的 两个范数_一定____是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。
c
(11).用牛顿法求 f(x)=0 的 n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数 u(x)=0
的单根，u(x)= f ( x) f ( x)
(12).用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则 x1= ________ 解 x1=1.5970149
，|| X ||2
，|| X ||
解 || X ||1 9,|| X ||2 29,|| X || 4
(10). 已知方程组
1 0.32
2 x1
1
x2
b1 b2
，则解此方程组的
Jacobi
迭代法_____________
收敛（填“是”或“不”），
解
（3）因
A
1 0.32
2 1
的
，取 a=1，则 L=
。
2
0
0
(24). 解
a (
3,
3)
，
1 2
0
3 2
0
2 2
3 3
4 迭代
(1).
A
1 2
1
3
，则 ||
A
||1
，|| A ||2
，|| A ||
；
答：4，3.6180340，5；
(2).
已知方程组
1 0.32
2 x1
1
x2
b1 b2
，则解此方程组的
误差限为 1 10 3 2
(3). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值,其绝
对误差限的估计式为:
| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|
(4). 计算 f=( 2 -1)6 , 取 2 ＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：
设线性方程组的系数矩阵为
A=
8 1 7
4 3 4
1 5 8
3 16
,列主元消元法的第一次主元素为
(13)
；
第二次主元素为(用小数表示) (14) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为 BG=(aij)44，则 a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4;
__C_____.
1
(A)
,
( 2 1)6
(B) (3-2 2 )2, (C)
1
, (D) 99-70 2
(3 2 2)3
(5). 要使 17 的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_________位有效数字？
17
＝0.4…10,
a1=4,
r
1 2a1
10-(n-1)<
0.1%
故可取 n3.097, 即 4 位有效数字。
3 方程组 (19).矩阵的 LU 分解中 L 是一个 _为单位下三角阵，而 U 是一个上三角阵____。
2 1 4 3
(20). 设线性方程组的系数矩阵为
A=
8 1 7
4 3 4
1 5 8
3 16
,全主元消元法的第一次可选的主
元素为 -8，或 8___，第二次可选的主元素为 8+7/8 或-8-7/8 ____. 列主元消
与函数
g
(
x)
x3 2x3
2x 1, 2x
1 x 0 1, 0 x 1
中,
是三次样条函数的函数是 _f____ ，另一函数不是三次样条函数的理由是 _____ 二阶导不连续__________ 。 a) 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1,…,P5 且次数 不
(27).
5 插值
n
(28).在等式 f [ x0 , x1,, xn ] ak f ( xk ) 中, 系数 ak 与函数 f(x)有 k 0
关。（限填“有”
或“无”） (29).设 lk(x) 是 关 于 互 异 节 点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插 值 基 函 数 ， 则
n
( xk x)m lk ( x) 0 m=1,2,…,n
k0
(30).用 n 1个不同节点作不超过 n 次的多项式插值，分别采用 Lagrange 插值方法与
Newton 插值方法所得多项式
(相等, 不相等)。
0,
1 x 0
(31). 函数
f
(x)
x3,
0 x 1
x3 (x 1)2,1 x 2
(16).用牛顿法解方程 x3 x2 1 0 的迭代格式为
______ xk1
xk
xk3
xk2
1
_________
3xk2 2xk
(17).用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则 x1= ________ 解
x1=1.5970149 (18).迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求 a1/2 的 (12) 阶方法