2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明讲义(有答案)

2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明讲义 (有答案)
班级__________姓名______________
不等式证明的重要方法:
1.比较法(差值比较和商值比较)
2.放缩法
3.利用均值不等式及柯西不等式等
4.利用函数的单调性
5.数学中的常用方法:数形结合法,换元法,分类讨论,数学归纳法. 例1.设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +. 例2.已知,0,0>>b a 求证：a b b a b a b a ≥.
例3. (1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；
(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明； 例4.已知,,,+
∈R c b a 求证：c b a a
c
c
b
b
a
++≥+
+
2
2
2
例5.已知,,,+∈R c b a 证明：
b
a a
c c
b c
b
a
+++++≥++111212121
例6.已知非零向量b a ,，且b a ⊥，求证：
2≤
++b
a b
a
例7.（1）已知42
2=+y
x ，求证：2222≤+≤-y x
（2）已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：12≤x 2－xy ＋y 2
≤3.
例8.设S 1223(1),n n n =⋅+⋅+++ 求证：不等式
2
(1)(1)2
2
n n n n S ++<<
例9.设,0>a 求证：22112
2
-≤+
-+a
a a
a
例10.若c b a ,,都是小于1的正数，求证：()()()a c c b b a ---1,1,1不可能同时大于4
1．
例11.已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +
a
1)(b +
b
1)≥
4
25。

例12.已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *
.求证：n a －1＜
n
a 1-.
例13.求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值。

例14.三个同学对问题“关于x 的不等式2
x ＋25＋|3
x －52
x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 。

例15.在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a 。

（Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令n
n n n n
a a a a
b 11
+++=
，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,…。

例16.已知a ＞0，函数f （x ）＝ax －bx 2。

（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2b ；
（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件。

参考答案
1.解题思路 两边都是多项式，考虑比较法，作差后因式分解. 解题过程 证明：
3
3
2
2
2
2
2
2
32(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--
因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0， 即3332a b +≥2232a b ab +.
2.解题思路 幂指数比较大小通常采用比商法. 解题过程 证明：()a b a b
b a
a b b
a
a b a a
b
a b
b ---=⋅=，当0>>b a 时，0,1>->b a b
a ，()1a
b a
b -> 当0>=b a ，()
1a b
a
b -=，当b a <<0时，10<<b
a ，0<-
b a ，()
1a b
a
b ->，
所以1≥a
b
b a b
a b a ，
又0>a
b b a ，
所以a b b a b a b a ≥
3解题思路 （1）左边是三个因式的乘积，右边只有一项，考虑综合法，用均值不等式.
（2）只需证0x ≤时不等式成立，直接证左边≥0，右边≤0
解题过程 (1)证明：x 是正实数，由基本不等式知
x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，
故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3
(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x ＞0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，
而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)
＝(x ＋1)2(x 2＋1)[ (x －12)2＋3
4
]≥0，
此时不等式仍然成立．
易错点拨 运用均值不等式时注意“正”的条件，（2）问证明过程中用了立方和公式：
()(
)1
x -x 1x 1x 2
3
++=+
4.点拨 由不等式两边的结构特点，左边含有分母，而右边没有，联想重要不等式a b b
a
22
≥+，问题迎
刃而解 答案
a b
a
2b 2
≥+，
,
22
b c c
b
≥+c a a c
22
≥+，
三个不等式相加：
+
+b 2
b
a
+
+c c
b
2≥+a a
c
2
c b a 222++
即
c b a a
c
c
b
b
a
++≥+
+
2
2
2
5.点拨 左右两边都是和的形式，两次运用均值不等式，可证
答案
b a ab ab b a +≥
=
≥+21212
2121，
同理
c
b bc
c
b
+≥
≥+22122121，
c
a ac
ac
c
a
+≥
=
≥+
21212
2121，
三式相加：c a c b b a c b a +++++≥
⎪⎭⎫
⎝⎛+
+2
222121212， 即b
a a
c c
b c
b
a
++
++
+≥++111212121
6.解题思路 0=⋅⇔⊥b a b a ，同时注意2
2a a =，采用分析法，从要证的不等式入手，两边平方可证.
解题过程 要证
2
a b a b
+≤+ ，b a b a +≤+⇐2
2
2
()2a b a b
⇐+≤+
⇐2
2
2
2
22(2)a a b b a a b b +⋅+≤+⋅+
2
2
22
22()a
a b b
a b ⇐+⋅+≤+
⇐022
2
≥+⋅-b b a a
2
()0a b ⇐-≥
.上式显然成立，故原不等式成立.
易错点拨 分析法是中学数学证明问题的常见方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件.用分析法证题时，一定要按格式书写，否则容易出错.
7.解题思路 已知条件是平方和为常数，证明和的范围，这种题型常用三角换元. 解题过程 （1）令⎩⎨⎧==θ
θsin 2cos 2y x ，则2cos 2sin 22sin()4x y π
θθθ+=+=+
故：2222≤+≤-y x
（2） ∵1≤x 2＋y 2≤2，
∴可设x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，其中1≤r ≤2，0≤θ<2π.
∴x 2－xy ＋y 2＝r 2－r 2sin θ cos θ＝r 2⎝⎛⎭⎫1－
12sin 2θ
∵12≤1－12sin2θ≤32， ∴12r 2≤r 2⎝⎛⎭⎫1－12sin2θ
≤32r 2. 而12≤12r 2≤1，32≤3
2
r 2≤3
∴12
≤x 2－xy ＋y 2
≤3. 易错点拨 三角换元是换元法中常见方法，一般变量y x ,满足圆，椭圆的方程求有关的最值问题常考虑此种方法
8.点拨 由要证明的结论联想到
(1)
1232
n n n
+=++++ ，
2
1()1(1352121)2
2
n n n +=
++++-++ ，因此对n S 每一项进行适当的放缩即可.
答案 ()2
2
2
2
113221S n
n n n +++
>
++
+⋅+⋅=
()2
1321+=++++=n n n
(),2
1
2
322
2113221S +++
+++
+<
++
+⋅+
⋅=
n n n n n
()()2
12
2121253212
2
+<
+=
++-+++=n n n n n
故：()2
12
)
1(2
+<
<+n S n n n
9.解题思路 由式子左边的特点，考虑换元法令,21≥=+t a
a 再利用函数单调性可证
解题过程 令,21≥=+
t a
a 则()2
222
2
-+
=
--
=t t t t t f 在[)+∞,2上是减函数，
()()222-
=≤∴f t f ，当且仅当1,2==a t 时取等号
易错点拨 问综合运用了换元法，函数单调性等方法证明不等式，不等式的证明方法灵活，要结合题目的特点，选择恰当的方法
10解题思路 证明中含有否定词，考虑用反证法 解题过程 假设()()()411,4
1
1,411>->
->
-a c c b b a ，则
()()2112
1>-≥
+-b
a b
a ，
()(),
2112
1>
-≥+-c
b c
b ()(),2
112
1>
-≥
+-a
c a
c
三式相加：
2
32
111>
+-++-++-a
c c b b a ，即
2
32
3>
，矛盾
易错点拨 一般，问题中含有“至多，至少”等否定词时考虑用反证法.
11. 证法一： (分析综合法）
欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，
即证4(ab )2
－33(ab )+8≥0，即证ab ≤
4
1或ab ≥8
∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤4
1，从而得证。

证法二： (均值代换法)
设a =
2
1+t 1，b =
2
1+t 2。

∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜
2
1，|t 2|＜
2
1，
.425
4
116254
12
316
2541)4
5(
4
1)
14
1)(
14
1()
2
1)(
2
1(
)141)(
14
1(211)2
1
(211)2
1(11)1)(1(2
2
4
2
2
22
2
2
22
2
22
2
2
222
11212
222
112
2
21
2
12
2
=≥-++=--+=
-++++++=
++++++++=
+++⨯+++=
+⨯
+=+
+∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a
a b
b a a
显然当且仅当t =0，即a =b =2
1时，等号成立
证法三：(比较法)
∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤
4
1，
4
25
)1)(1(0
4)
8)(41(4833442511425
)1
)(1
(2
2
2
2
≥
++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)
∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤
4
1，
2
22
25(1)1139(1)1251611(1)1441644
ab ab ab ab ab ab
⎧-+≥⎪-+⎪∴-≥-=⇒-≥⇒⇒≥
⎨⎪≥⎪⎩ 425)1)(1(≥++b b a a 即。

证法五：(三角代换法)
∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2
α，b =c os 2
α，α∈(0，
2
π
)，
.
425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.
3142sin 4,12sin 2sin 416
)sin 4(2sin 42
cos sin 2cos sin )
cos 1)(cos
sin 1(sin )1)(1(2
2
22
2
22
22
22
22
4
4
2
2
2
2
≥
+
+
≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=
+-+=
+
+
=+
+b b a a b
b a
a 即得ααααααα
αα
ααααα
αα
α
点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证
12. 证法一：要证n a －1＜n
a 1-，
即证a ＜（
n
a 1-+1）n
.
令a －1=t ＞0，则a =t +1. 也就是证t +1＜（1+n t ）n
. ∵（1+
n
t ）n
=1+C 1n
n
t +…+C n n （
n
t ）n
＞1+t ，
即n a －1＜n
a 1-成立.
证法二：设a =x n
，x ＞1. 于是只要证n
x
n
1-＞x －1，
即证
1
1
--x x
n
＞n .联想到等比数列前n 项和1+x +…+x
n －1
=
1
1
--x x
n
， ① 倒序x n －1
+x n －2
+ (1)
1
1
--x x
n
.
②
①+②得2·
1
1
--x x n
=（1+x n －1）+（x +x n －2）+…+（x n －1+1）
＞21-n x +21-n x +…+21-n x ＞2n . ∴1
1
--x x
n
＞n .
13. 分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与c os θ、sin θ来对应进行换元，即令x =c os θ，y =sin θ(0＜θ＜
2
π
＝，这样也得a ≥sin θ+c os θ，但是这种换元是
错误的 其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的。

除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则
a min =f (x )m a x 若 a ≤f (x )，则a m a x =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。

还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。

解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方， 得：x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )， ①
∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2
xy ，
②
当且仅当x =y 时，②中有等号成立。

比较①、②得a 的最小值满足a 2
－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2。

解法二：设y
x xy
y
x xy
y x y
x y x y
x y
x u ++
=+++=
++
=++=
212)
(2
∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2
xy (当x =y 时“=”成立)，
∴
y
x xy
+2
≤1，
y
x xy
+2
的最大值是1。

从而可知，u 的最大值为211=+，
又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2， 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为
y
x +1≤a
1+y
x ，
设
y
x =t a n θ，θ∈(0，
2
π
)。

∴t a n θ+1≤a 1tan 2
+θ，即t a n θ+1≤a se c θ
∴a ≥sin θ+c os θ=2sin(θ+4
π
)，
③
又∵sin(θ+
4
π
)的最大值为1(此时θ=
4
π
)。

由③式可知a 的最小值为2。

点评：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。

该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 题型4：不等式证明的应用
14. 答案：a ≤10。

点评：该题通过设置情景，将不等式知识蕴含在一个对话情景里面，考查学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力。

15.解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2
)1(12)1(+=
+++-+=n n n n a n 。

（Ⅱ）因为 ,2,1,222
2
22
11
==+⋅
+>+++=+=
++n n
n n n n
n n n a a a a b n
n n n n ，
所以n b b b n 221>+++ . 又因为
,2,1,2
22222
=+-
+
=+++=
n n n n
n n n b n ，
所以)]2
1
1()4121()3111[(2221
+-++-+-+=+++n n n b b b n
=3
22
21
232+<+-
+-+n n n n 。

综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n 。

点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势
16.
（Ⅰ
x ∈R ，都有f （x ）≤1，
∵f （x ）＝b
a
b
a x
b 4)2(2
2
+
-
-，
∴b
a
b
a f 4)2(
2
=
≤1，∵a ＞0，b ＞0，∴a ≤2b ．
（Ⅱ）证明：必要性：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒－1≤f （x ），据此可以推出－1≤f （1），
即a －b ≥－1，∴a ≥b －1；
对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≤1，因为b ＞1，可以推出f （
b
1）≤1，即a ·
b
1－1
≤1，∴a ≤2b ；
∴b －1≤a ≤2b ．
充分性：因为b ＞1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］，
可以推出：ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1； 因为b ＞1，a ≤2b ，对任意x ∈［0，1］，
可以推出ax －bx 2≤2b x －bx 2
≤1，
即ax －bx 2≤1。

∴－1≤f （x ）≤1。

综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ． （Ⅲ）解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0，1］：
f （x ）＝ax －bx 2
≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1； f （x ）≤1⇒f （1）≤1⇒a －b ≤1，即a ≤b ＋1，
a≤b＋1⇒f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。

所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b＋1．
22.解：原式⇒（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。

当a=a2时，a=0或a=1，x∈∅，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，
当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a，
∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈∅。

点评：此题考查不等式的证明及分类讨论思想。