理论力学11—达朗贝尔原理1分析

加速度a 提升重量为W 的重物,尺寸如图,求支座A，B
处的动反力。
R
A
a FA
W
B
P
FB
b l
FI FI ma
解:梁在主动力、约束力、惯性力作用下平衡：
MB
0:
(W
FI
)(b
R)
P
l 2
FAl
0
FI ma
FA
2W
(b
R) 2l
Pl
FI
(b l
R)
R
2W (b R) Pl 静反力
A
ai
ri mi
k OBiblioteka Fj Iti zi FIni
y
i yi xi
qi
x
z
FIit miait miria
FIin miain miriw 2
惯性力对x轴的矩为
M Ix M x (FIit ) M x (FIin )
x
miria cosqi zi miriw 2 sinqi zi
O
11.2.2 刚体绕定轴转动
刚体定轴转动时, 设其角速
度为w, 角加速度为a, 刚体
内任一质点的质量为mi，到 转轴的距离为ri, 则刚体内任 一质点的惯性力为FIi＝-miai。
在转轴上任选一点O为简化
中心, 建立直角坐标系如图,
质点的坐标为xi, yi, zi, 现分 别计算惯性力系对三个坐标
ma F FN
FI
m
将上式改写成 F FN ma 0
F
令 FI ma
FN
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为 质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加
速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。
11.1.1 质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用在质点 上的主动力、约束力和假想加在质点上的 惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质 点的达朗贝尔原理。
第 11 章
达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决动力学问 题提供了另一种求解的方法。这种 方法的特点是：用静力学研究平衡 问题的方法来研究动力学的不平衡 问题, 因此这种方法又叫动静法。
由于静力学研究平衡问题的方 法比较简单, 也容易掌握, 因此动静 法在工程中被广泛使用。
11.1 达朗贝尔原理
11.1.1 质点的达朗贝尔原理 设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束力为FN 。由牛顿第二定律，有
x
轴的矩MIx, MIy, MIz。
z
ai ri mi
k Oj
zi FIi
y
i yi xi
qi
w
a
质 点 的 惯 性 力 FIi ＝ － miai 可 以 分 解 为 切 向
惯性力FIit与法向惯性力FIin, 它们的方向如
图, 大小分别为
z
FIit miait miria
FIin miain miriw 2
以FIR表示惯性力系的主矢，则
FIR miai maC
该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适 用于做平移、定轴转动和平面运动的刚体。
主矢的大小和方向与简化中心的位置无关， 主矩一般与简化中心的位置有关。所以下面只 对刚体做平移、定轴转动、平面运动时惯性力 系简化的主矩进行讨论。
11.2.1 刚体作平移
FN
rw 2
mg ( g
cosq )
Mq
mFgN
r O
这就是钢球在任一位置q 时所受的法向反力, 显
然当钢球脱离筒壁时, FN＝0 , 由此可求出其脱
离角a 为
a arccos(rw 2 )
g
例11-2 如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在 支座上,梁重为P，绞盘半径为R,重量忽略不计,绞车以
应该强调指出，质点并非处于平衡状 态，这样做的目的是将动力学问题转化为 静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移 原理构成了分析力学的基础。
例1 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转
动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 钢球被筒壁带 到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线轨迹自由 落下，从而击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径
该式表明: 质点系中每个质点上作用的主动力、 约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就 是质点系的达朗贝尔原理(形式1)。
这样的方程共有n个，代表n个平衡力系， 相加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间 任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和 对于任一点的主矩等于零，即
Fi FNi FIi 0
B
2l
a
P
Wa(b R)
附加动反力
FA
gl
FB
b
Fy 0 : FA FB W P FI 0
l W
FI
FB
2W (l
b 2l
R)
Pl(静反力) Wa(l
b gl
R)(附加动反力)
11.1.2 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,......,n )
ri mi
k O
Fj Iti zi FIni
y
i yi xi
qi
a mi xi zi w 2 mi yi zi
aO w qi
ri
xi
yi
cosqi
xi ri
,
sinqi
yi ri
FIti x
作平移时，刚体任一点的加速度ai与质心的加 速度aC相同，如图，以O为简化中心，有
MIO ri ( miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有：
M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以
简化为通过质心的合力，其
力大小等于刚体质量与加速
度的乘积，合力的方向与加 速度方向相反。
为r，试求钢球的脱离角a。
解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。
钢球未脱离筒壁前, 作圆周 运动, 其加速度为
at 0 an rw 2
FI F
w
M qr
mFgN O
惯性力的大小为 FI mrw 2
加上惯性力后, 由达朗贝尔原理 FI F
w
Fn 0 : FN mg cosq FI 0
Mo (Fi ) Mo (FNi ) Mo (FIi ) 0
由此可得： 作用在质点系中所有的主动力、约束力和
惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理(形式2)。
由于质点系的内力总是成对存在，且等值 、反向、共线，因此上式中将不包含内力。
11.2 刚体惯性力系的简化
对于刚体这种特殊的质点系，每个质 点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成 一个力系，如果先利用静力学的力系简化 理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给 解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定 轴转动和平面运动时惯性力系的简化。