恒定总流的动量方程

Fx ,Fy ,Fz：作用于控制体上所有外力（不包括惯性力）在三 个坐标方向的投影
β：
动量修正系数，渐变流断面取1.02～1.05 ， 一般取为1
Q ( 2 v 2 x 1 v1 x ) F x Q ( 2V 2 y 1 v1 y ) F y Q ( 2 v 2 z 1 v1z ) F z
A
dA2
dt 时间内水流动量的变化
1 A1
u1
1’ 2
u2
2’ A2
1’ dA1
K K 22' K 1‘ 1
K 11' K 2 2'
1 1 1 1 1
2
1 u1dt
1 A1
2’
u2dt
u u dtdA dt u u dA u u dtdA dt u u dA
Q2 2 v2 Q1 1 v1＝ F
Q ( 2 v 2 x 1 v1 x ) F x Q ( 2V 2 y 1v1 y ) F y Q ( 2 v 2 z 1 v1z ) F z
Q ( 2 v 2 x 1 v1 x ) F x Q ( 2V 2 y 1v1 y ) F y Q ( 2 v 2 z 1 v1z ) F z
A1 2 2 2 2 2 A2 A2
dA2
2
K 11' K 2 2'
A1
u u dtdA
1 1 2 2 A2
1
dt u1 u1dA1
A1
u u dtdA
2
dt
A2
uu
2
2
d A2
因为断面上的流速分布一般 不知道，所以上述积分不能完成。 如何解决这个积分问题？
A1
K 2- 2' dt u2 u2dA2 Q2 2 v 2dt Q 2 v 2dt
A1
K
dt uudA Q vdt
A
1
A1
u u dA
1 1
1
for a gradually varied flow
v1Q
A2

A1
u u dA
1 1
1
v1Q
uudA
A
vQ
按照动量原理
K＝K 2 2' K 11'＝ Q2 2 v2dt Q1 1 v1dt＝ Fdt
Q2 2 v2 Q1 1 v1＝ F
按照动量原理
K＝K 2 2' K 11'＝ Q2 2 v2dt Q1 1 v1dt＝ Fdt
F F F
z x
x
y
F F F
z
y
Q( 2 v 2 x 1v1 x ) 自由水面等 Q( 2V2 y 1v1 y ) Q( v v ) 2 2z 1 1z [ Qv ] [ F ] Q 2 v 2 x Q1v1 x Q 2V2 y Q1v1 y Q v Q v 2 2z 1 1z
A1
K 2-2' dt u2 u2dA2 Q2 2 v2dt Q 2 v 2dt
A1
K
dt uudA Q vdt
A A1
1
u u dA
1 1
1
v1Q

A1
u u dA
1 1
1
v1Q

uudA
A
vQ
for a gradually varied flow
Fx ,Fy ,Fz：作用于控制体上所有外力（不包括惯性力）在三 个坐标方向的投影
β：
动量修正系数，渐变流断面取1.02～1.05 ， 一般取为1
3.5 实际液体恒定总流的动量方程 3.5.1 动量方程的推导
3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点
3.5.4 动量方程的应用
Q( 2 v 2 x 1v1 x ) 自由水面等 Q( 2V2 y 1v1 y ) Q( v v ) 2 2z 1 1z [ Qv ] [ F ] Q 2 v 2 x Q1v1 x Q 2V2 y Q1v1 y Q v Q v 2 2z 1 1z
1’ dA1 1 u1dt
2
2’
dQ d t u udAdt u uudAdt
u2dt
dA2
dt 时间内水流动量的变化
1 A1
u1
1’ 2
u2
2’ A2
1’ dA1 1 u1dt
A
2
2’
for an e n ti re body : K
u2dt
uudAdt dt uudA
进行研究，如图所示，分析
其运动的变化。把这块流体 加以放大，便于分析。
1 2
2 1
A1 1
A2 2
u1 u2 2 dA1 1
dA2
1
2
1
2
1’ 1 2 2’
1’ 1
2
2’
经过时间Δt 后，流体从1-2运动至1’－ 2’
1’ 1 2
2’
1’ 1
2
2’
经过时间Δt 后，流体从1-2运动至1’－ 2’
3 流体动力学理论基础
3.1
描述液体运动的两种方法
3.2 3.3
3.4 3.5
流体运动的基本概念 恒定总流的连续方程
恒定总流的能量方程 恒定总流的动量方程
3.5 实际液体恒定总流的动量方程 3.5.1 动量方程的推导
3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点
3.5.4 动量方程的应用
3.5 实际液体恒定总流的动量方程 3.5.1 动量方程的推导
F F F
z x
x
y
F F F
z
y
不可改动的负号
Q 2 v 2 x Q 1v1 x Q 2V2 y Q 1v1 y Q v Q v 2 2z 1 1z
外力项 过水断面 不包括惯 性力
F F F
z
x
y
流出的动量（单位时间）
2-2 '
dt 时间内水流动量变化Δ K
1’
1
2
2’
1’
K K 1'-2 ' K 1-2
2
2’
1 t+dt
for a ady flow : Kste K 2-2 1'-2 ' ' K 1'-2 K 1' ( tKd t ) K 1'2 ( t ) 21-2 K K 1'-2 1-1'
3.5.2 动量方程的意义 3.5.3 解题要点
3.5.4 动量方程的应用
θ 水利工程中经常遇到求解作用力的问题, 如平面弯管要求知道制作镇墩的作用力
z
1
Δz
1
2 立面弯管要求知道 固定弯管的作用力 O
2
x
1
h
v1 Q Q
2
v2 ht 2
1
溢流坝要进行稳定性校核
y 1
0
v
1
O
v0
R
x
0 2 射流对墙壁的作用力 v 2
2
1 u1dt u2dt
2’
dA2
K K 1'-2 ' K 1-2 ＝ K 2-2 ' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2 ' K 1-1'
dt 时间内水流动量的变化
1 A1
u1
1’ 2
u2
2’ A2
for an infinitelysmall body : K m u V u
dt 时间内水流动量变化Δ K
1’
1
2
2’
1’
K K 1'-2 ' K 1-2 K 1'-2 ' K 1'-2 K 2-2 ' K 1-2 K 1-1' K 1'-2
2
2’
1
K K 1'-2 ' K 1-2 ＝ K 2-2 ' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2 ＝ K 2-2 ' K 1-1'
作用力与物理学上什么定律有关呢？
由物理学、理论力学可知质点系的动量定律:
质点系的动量在某个方向的变化，等于作用在质
பைடு நூலகம்
点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。
依据这个原理，推求液体
运动的动量变化规律。
在恒定总流中，取一流段进
行研究，如下图所示，分析其
运动的变化。
2 1
2
1
在恒定总流中，取一流段
1
u u dA
1 1
1
v1Q
A2
for a gradually varied flow
2
A1
u u dA
1 1
1
v1Q
A2
2
u u dA
2 2
u u dA
2 2
2
v 2Q
for a gradually varied flow
v 2Q
K 1-1' dt u1u1dA1 Q1 1 v1dt Q 1 v1dt
A2
2
u u dA
2 2
2
for a gradually varied flow

u u dA
2 2
2
K 1-1' dt u1u1dA1 Q1 1 v1dt Q 1 v1dt
A1
K 2-2' dt u2 u2dA2 Q2 2 v2dt Q 2 v2dt
t
K 1-1'
K K 1'-2 ' K 1-2 ＝ K 2-2 ' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K
2-2 '
dt 时间内水流动量的变化
1’
2
u1 u2
1
A1 2’ A2
1’ dA1
K K 1'-2 ' K 1-2 K 1'-2 ' K 2-2 ' K 1'-2 K 1-2 K 1-1' K 1'-2
动量方程推导时，要求流量沿程相等。但是，
实际应用时，流量沿程可不等（例如，有汇流或分 叉情况），动量方程应改为下列形式
F F F
z x
x
y
F F F
z
y
Q( 2 v 2 x 1v1 x ) 自由水面等 Q( 2V2 y 1v1 y ) Q( v v ) 2 2z 1 1z [ Qv ] [ F ] Q 2 v 2 x Q1v1 x Q 2V2 y Q1v1 y Q v Q v 2 2z 1 1z
A1
K
dt uudA Q vdt
A A1
1
u u dA
1 1
1
v1Q
A2
for a gradually varied flow
2
A1
u u dA
1 1
1
v1Q
2
2
u u dA
2 2
for a gradually varied flow
v 2Q

A2
u u dA
用断面平均流速代替
点流速分布，造成的误差 用一个动量修正系数 (常 系数）修正，则
K 1-1' dt u1u1dA1
A1
dt ( 1 v1 )u1dA1
A1
dt 1 v1 u1dA1
A1
dt 1 v1Q1 Q1 1 v1dt
in th esam eway : K 1-1' dt u1 u1dA1 Q1 1 v1dt Q 1 v1dt
2 2
v 2Q
K 1-1' dt u1u1dA1 Q1 1 v1dt Q 1 v1dt
A1
K 2-2' dt u2 u2dA2 Q2 2 v2dt Q 2 v2dt
A1
K
dt uudA Q vdt
A A1
dt 时间内水流动量变化Δ K
1’
1
2
2’
1’
K K 1'-2 ' K 1-2 K 1'-2 ' K 2-2 ' K 1'-2 K 1-2 K 1-1' K 1'-2
2
2’
1 t+dt
t
K 1-1'
K K 1'-2 ' K 1-2 ＝ K 2-2 ' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K
流入动量（单位时间）
不可改动的负号
外力项 过水断面 不包括惯 性力
Q 2 v 2 x Q 1v1 x Q 2V2 y Q 1v1 y Q v Q v 2 2z 1 1z
F F F
z
x
y
流出项
流入项
动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒