浙大版概率论与数理统计答案---第七章

第七章 参数估计

注意： 这是第一稿（存在一些错误）

1、解 由θθθμθ

2

),()(0

1===⎰

d x xf X E ，20

4103)(2

221θθθ=

-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^

=θ，这时θθ==)(2)(^

X E E ，n

n

X D D 5204)2()(2

2

^

θθθ=

⋅

==。

3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：

3

2

62121^

=-=-

=X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L

令014

8))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θ

θθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：

32^=θ 4、解：矩估计：

()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，

()()()()2

2

2

2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,

23

4

B =

, 故()()()(

)

22

2

ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4

θ

λθλθθλλθλθ

λ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩

解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

为所求矩估计。

极大似然估计：

(){}()3

3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，

()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，

()(),33

0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。

5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为

^

394(3)343

22X X p -----=

=

建立关于p 的似然函数：32

10)1()2

)1(3()()2)1((

)(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)

(ln =∂∂p

p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=

6、解：(1)()1

1

12

EX x x dx θθθθ+=

+=

+⎰

， 由ˆ1ˆ2X θθ

+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()1

1

1,01,

,,0,n

n n

i i i i x x L f x θ

θθλθ==⎧+∏<<⎪=∏=⎨⎪⎩

其他。 ()()()1

ln 1ln ,01,

,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=⎧

++<<⎪==⎨⎪⎩

∑其他。 令

()1

ln 01n

i i l n

x θθθ=∂=+=∂+∑得1

ˆ1

ln n

i

i n

x

θ

==--∑，

所以θ的极大似然估计为1

1ln n

i

i n

x

=-

-∑。

(2)()1

20

,EX xf x dx e θ

θ=

=⎰

，令ˆ

2e X θ=得ˆ2ln X θ

=为θ的矩估计量。 ()()()

()

2

1

ln 21

21

1

,,2n

i i x n

i n n

i i

i L f x e

x θ

θλθπθ=-==∑=∏=

∏，

()()()()

2

1

1

ln ,ln ,ln 2ln 22n

i

n

i i i x n

l L x θλθλπθθ

====---

∑∑

令()()

2

1

2

ln 022n

i i x l n θθθ

θ=∂=-+

=∂∑得()21

1ˆln n

i

i x n θ==∑为θ的极大似然估计。 (3)()2

2,1

EX xf x dx θ

θθ=

=

+⎰

， 令ˆ2ˆ1X θθ

=+得ˆ2X X θ=-为θ的矩估计量。 ()()1

1

1

2,02,

,0,n n n n

i i i i x x L f x θθθθθ--==⎧∏<<⎪=∏=⎨⎪⎩

其他。 ()()()1

ln ln 21ln ,02,

ln 0,n i i n n x x l L θθθθθ=⎧

-+-<<⎪==⎨⎪⎩∑其他。 令

()1

ln 2ln 0n

i i l n

n x θθθ=∂=-+=∂∑得，1ˆln 2ln n

i

i n n x θ==-∑为θ的极大似然估计。

(4)()100

100,2EX xf x dx θ

θθ+=

=⎰，令

ˆ1002

X θ+=得ˆ2100X θ=-为θ的矩估计量。 ()()()

1

1

,100n

i n

i L f x θθθ==∏=

-，因0100θ<<，要使()L θ最大，则θ应取最大。

又θ不能大于{}1min ,,n x x ，故θ的极大似然估计为{}1ˆ

min ,,n X X θ=

(5)(),0EX xf x dx θ∞

-∞

=

=⎰

，故0X =。

22var 2X EX θ==，

由()22

211

11ˆ2n n

i i i i X X X n n θ===-=∑∑和0θ>得 21

ˆ2n

i

i X

n

θ

==∑为θ的矩估计量。