第六讲 机器人运动学逆解
三自由Delta并联机器人运动学反解PPT课件
所 求 : 三 个 伺 服 电 机 的 转 动 角 度 θi （i=1,2,3），θi为第i个伺服电机驱动臂对 基座平台的夹角。
Return
.
7
问题的求解
1.B1 B2 B3坐标的求解
Y
B1
在极坐标下，Bi的极坐标为
X
(R,Ø i）,i=1,2,3,Ø i=
3
2(i 1) 3
2 2 θi
式
2 2tan 2 θ i
tan
θi 1. tan
2 2 θi
2
11
由已知条件从动杆长度为La，知 |PiEi|=La 根据空间中两点之间的距离公式可列得关于θi 的方程。
rcos i x
Pi
rsin
i
y
z
(Lbcosi R)cosi
Ei
(Lb
cosi
R)sini
Lbsini
R)sini
·. E3'
Lb sini
10
Pi(x1,4.y1构,z建1等),式B(求x出2,待y求2,量z2)θi
,A,B之间的距离为 ：(x2 x1)2(y2y1)2(z2z1)2
2tan
θi
万
sin
θi 1 tan
2 2 θi
能 代 换
2
1 tan 2 θ i
cos
θi 1 tan
aBC b2A
t bb 2 4 a c A A 2 B 2 C 2
cBC
2 a
B C
tan i A A2B2C2
2
BCΒιβλιοθήκη θ1有两组解,θ2有两组解, θ3有两组解, 所以共有8组解；
.
ppt机器人正逆运动学解析
将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到
S2 S23 C2C23 cos3
于是有：
C3
(
pxC1
py S1
C234a4 )2 ( pz 2a2a3
S234a4 )2
a22
a32
已知 S3 1 C32
于是可得到：
3
arctan
S3 C3
依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
连杆0
z0 y0
d1 x0
O0
解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节） 关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ5
θ4 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
O1 O0
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
《机器人导论》机器人逆运动学
《机器人导论》机器人逆运动学在机器人技术的广袤领域中，逆运动学是一个至关重要的概念。
简单来说，逆运动学就是要根据机器人末端执行器（比如机械手的夹爪）的期望位置和姿态，来计算出各个关节应该转动的角度或移动的距离。
想象一下，你有一个机械臂，它就像人的手臂一样，由多个关节连接而成。
当你希望它的手能够准确地到达某个特定的位置，并以特定的姿态抓住一个物体时，你就需要知道每个关节应该如何运动。
这就是逆运动学要解决的问题。
为了更好地理解逆运动学，我们先来看一个简单的例子。
假设有一个平面二连杆机械臂，由两个可以旋转的关节连接着两根连杆。
我们知道机械臂末端的位置坐标（x, y），并且知道两个连杆的长度分别为L1 和 L2。
那么，如何求出两个关节的旋转角度呢？我们可以通过几何关系来解决这个问题。
首先，根据末端位置（x, y），可以计算出从原点到末端的距离 R，通过勾股定理 R ＝√（x²＋y²)。
然后，我们可以计算出第一个关节的角度θ1，它等于 arctan(y ／x)。
接下来，计算第二个关节的角度θ2 就稍微复杂一些。
我们可以利用余弦定理来得到，经过一系列的数学推导，最终可以求出θ2。
当然，实际的机器人往往要复杂得多，可能有多个关节，甚至是在三维空间中运动。
对于多关节的机器人，解决逆运动学问题的方法也有很多种。
一种常见的方法是解析法。
这种方法通过数学推导和公式计算来直接求解关节变量。
但它的缺点是对于复杂的机器人结构，推导过程可能会非常繁琐，甚至可能无法得到解析解。
另一种方法是数值法。
其中比较常用的是迭代法。
它通过不断地猜测和修正关节变量的值，逐步逼近正确的解。
这种方法的优点是适用性广，但缺点是计算量可能较大，并且可能会陷入局部最优解。
在实际应用中，选择哪种方法取决于机器人的结构和具体的任务需求。
机器人逆运动学的应用场景非常广泛。
在工业生产中，机器人需要准确地抓取和放置零件，这就需要精确的逆运动学计算来控制机器人的动作。
第六讲 机器人运动学逆解ppt课件
3.3 机器人运动学方程
例1：已知四轴平面关节SCARA机 器 人如图所示，试计算： （1）机器人的运动学方程； （2）当关节变量取 qi=[30°，-60°，－120，90°]T 时，机器人手部的位置和姿态； （3）机器人运动学逆解的数学 表达式。sin sin cos( ) ij icos j i j i j s cos sin sin sin( ) ij i j icos j i j
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
逆运动学问题的可解性： 下面以六自由度机器人PUMA为例， 研究其可解性。
其中：
n c [ c ( c c c s s ) s s c ] s ( s c c c s ) x 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 5 6 4 6 n s [ c ( c c c s s ) s s c ] c ( s c c c s ) y 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 5 6 4 6 n s ( c c c s s ) c s c z 23 4 5 6 4 6 23 5 6
可见，我们有12个方程及6个未知数。 上述12个方程关系如何？ 我们先看看转动部分，它是3X3子矩阵 ，共有9个元素；我们知道，转动矩阵的每 列都是单位矢量，并且每列之间都两两正交 ；因此，9个元素中仅三个是独立的，或则 说，12个方程中仅有6个是独立，对应6个 未知数。 因此，一般情况下，单从数学的角度看 ，方程组应该是有解的。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
a c ( c c c s c ) s s s x 1 23 4 5 23 5 1 4 5 a s ( c c c s c ) c s s y 1 23 4 5 23 5 1 4 5 a s c c c c z 23 4 5 23 5
逆运动学求解方法
逆运动学求解方法逆运动学求解方法是机器人学中的一个重要研究方向，其主要目的是确定机械臂末端执行器的姿态和位置，以便实现所需的任务。
本文将从逆运动学求解方法的基本概念、分类、应用场景和发展趋势等方面进行详细介绍。
一、基本概念逆运动学（inverse kinematics）是机器人学中的一个重要分支，它研究如何根据末端执行器的位置和姿态，确定机械臂各个关节的角度或位移。
与正运动学（forward kinematics）不同，正运动学是已知各关节角度或位移，计算末端执行器的位置和姿态。
逆运动学问题通常比正运动学问题更为复杂，因为它涉及到非线性方程组求解等数值计算问题。
二、分类根据求解方法的不同，逆运动学问题可以分为以下几类：1. 解析法：利用数学公式或几何关系直接求解各关节角度或位移。
这种方法通常适用于简单机构和特定任务。
2. 迭代法：通过迭代计算来逼近最优解。
这种方法通常适用于复杂机构和多自由度机器人。
3. 数值优化法：将逆运动学问题转化为优化问题，通过求解目标函数的最小值或最大值来确定各关节角度或位移。
这种方法通常适用于非线性和多约束的问题。
三、应用场景逆运动学求解方法在机器人领域有广泛的应用，以下是一些典型场景：1. 机器人轨迹规划：根据末端执行器的轨迹要求，计算各关节角度或位移，实现精确的运动控制。
2. 仿真和虚拟现实：通过逆运动学求解方法，可以在计算机上模拟机器人的运动和操作，进行虚拟现实技术研究和应用开发。
3. 医疗手术：利用机器人手臂进行微创手术操作时，需要精确控制末端执行器的位置和姿态，逆运动学求解方法可以帮助医生更好地完成手术任务。
四、发展趋势随着科技进步和工业自动化程度不断提高，逆运动学求解方法也在不断发展。
以下是一些主要趋势：1. 多模型方法：针对复杂机构和多自由度机器人，采用多种模型和算法来求解逆运动学问题，提高求解效率和精度。
2. 人工智能技术：利用深度学习、强化学习等人工智能技术来优化逆运动学求解方法，实现更加智能化的机器人控制。
ROBOTICS TEACHING PLAN-CH05(机器人学-机器人运动学反解)20100110
1、最后三个关节轴相交于一点 、
求运动学反解的步骤分为两步： 求运动学反解的步骤分为两步： （1）由腕部位置求解 1、θ2和θ3； ）由腕部位置求解θ （2）由手腕的方位求解 4、θ5和θ6。 ）由手腕的方位求解θ
§5.4 PUMA560机器人的运动学反解 机器人的运动学反解
PUMA560机器人的运动方程为： 机器人的运动方程为： 机器人的运动方程为
nx n y n z 0
ox a x p x oy a y py 0 = T ( q ) ⋅ 1T ( q ) ⋯ 1 1 2 2 oz a z p z 0 0 1
n −1 n
T ( qn )
方程左边的矩阵表示末端连杆相对于基坐标系{0}的位姿。 方程左边的矩阵表示末端连杆相对于基坐标系 的位姿。 的位姿
若末端连杆的位姿已经给定， 为已知， 若末端连杆的位姿已经给定 ， 即 n， o， a和 p为已知 ， 则 ， ， 和 为已知 求关节变量θ 的值称为运动反解。 求关节变量 1,θ2,…,θ6的值称为运动反解。 具体求反解步骤如下： 具体求反解步骤如下：
运动方程的求解
开始求解关节位置。 从 T6 开始求解关节位置 。 使 T6 的符号表达式的各元 素等于T 的一般形式，并据此确定θ 并且有： 素等于 6的一般形式，并据此确定 1角。并且有： 式中： 左边为θ 各元的函数。 式中 ： 左边为 1 和 T6 各元的函数 。 此式可用来求解其他 各关节变量，如θ2等。 各关节变量， 不断地用A的逆矩阵左乘上式，得下列四个矩阵方程式： 不断地用 的逆矩阵左乘上式，得下列四个矩阵方程式： 的逆矩阵左乘上式
式 中 ： n,o,a 表 示 手 腕 的 方 位 ， p 代 表 腕 部 的 位 置 ， q=[q1,q2,…,qn]T是关节矢量，n是关节数。 是关节矢量， 是关节数 是关节数。
冗余机器人运动学逆解
冗余机器人运动学逆解1. 引言冗余机器人是指具有超过所需自由度数量的机器人系统。
在工业自动化领域，冗余机器人具有广泛的应用，能够完成复杂的任务，如装配、焊接、拾取等。
其中，运动学逆解是实现冗余机器人精确控制的关键技术之一。
2. 冗余机器人的运动学冗余机器人的运动学描述了机器人末端执行器的运动规律。
在运动学中，我们关注的是机器人的位置和姿态，即机器人末端执行器的坐标和姿态。
冗余机器人的运动学方程可以用来描述机器人各关节的角度与机器人末端执行器的位置和姿态之间的关系。
3. 运动学逆解的意义运动学逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出机器人各关节的角度。
运动学逆解的求解对于实现精确控制非常重要。
通过运动学逆解，可以将任务空间的要求转化为关节空间的控制量，从而实现冗余机器人的精确运动。
4. 运动学逆解的挑战冗余机器人的运动学逆解求解存在一定的挑战。
首先，由于冗余机器人具有多余的自由度，存在无数种解。
因此，需要找到最优解。
其次，运动学逆解的求解过程需要考虑机器人的约束条件，如关节角度限制、碰撞检测等。
最后，由于机器人关节之间存在耦合，求解过程可能会涉及到非线性方程组的求解，增加了计算的复杂性。
5. 运动学逆解的求解方法存在多种方法用于求解冗余机器人的运动学逆解。
常用的方法包括解析方法和数值方法。
解析方法是通过解析求解运动学方程，得到机器人关节角度的解析解。
数值方法是通过迭代计算的方式，逐步逼近机器人关节角度的解。
常用的数值方法有雅可比转置法、逆雅可比法、牛顿-拉夫逊法等。
6. 解析方法的优势和局限性解析方法具有计算速度快、精度高的优势。
通过解析方法求解运动学逆解可以得到精确解析解，适用于一些简单的冗余机器人系统。
然而，解析方法只适用于具有特殊结构和运动规律的机器人系统，对于复杂的冗余机器人系统，解析方法的求解可能会非常困难甚至无法实现。
7. 数值方法的特点和应用数值方法适用于各种类型的冗余机器人系统，具有广泛的应用。
机器人正反解方法概述
机器人正反解方法概述引言 机器人运动学是机器人学的基础，是描述机器人运动过程中，各个关节及末端执行器的变化情况。
它涉及到两个方面的内容:即机器人正运动学和逆运动学。
机器人正运动学是已知机器人的连杆参数和各个关节变量，求解机器人末端执行器的位置和姿态;而机器人逆运动学恰好相反，是已知其末端执行器的位置和姿态，求解机器人的各个关节变量。
因此,求解机器人位置正反解的方法成为机器人设计中重要的内容。
机器人逆运动学比正运动学问题复杂得多，并且随着机器人自由度的增加，对于逆运动学问题的求解会越来越复杂。
由于机器人逆解的准确性以及求解速度的快慢会直接影响机器人的实时控制，因此国内外研究机器人逆解的求解算法比较多。
自有机器人以来,国内外的专家学者对此也进行了孜孜不倦的探索,目前已经有大量专门的或者通用的位置正反解求解方法问世,如求解正解问题的广泛应用的D-H(Denavit 和Harenberg)分析方法.求解反解的方法大致分为解析法和数值法.具体除了Paul 等人提出的反变换法，Lee 和Ziegler 提出的几何法和Pieper 解法等，还有旋量理论法,神经网络方法和CAD /CAE 集成软件仿真图形分析法等.本文的宗旨就是对这些方法进行概述,简要介绍各种方法的基本原理及内容以及他们适用的范围和优缺点.一． 位置正解求解方法机器人是由多个关节组成的, 各关节之间的相对平移和旋转齐次变换可以用矩阵 A 表如果用 A1表示第 1个连杆在基系的位置和姿态矩阵, A2表示第 2个连杆相对第 1个连杆的位置和姿态矩阵, 根据坐标系位姿相对变换规则, 第 2个连杆相对基系的位置和姿[ 1]:T2= A1A2依此类推, 则可以得出第 n 个连杆相对基系的位置和姿态矩阵:Tn= A1A2A3A4A5A6An 以著名的斯坦福机器人为例[ 3], 该机器人手臂有6 个关节和 6个杆件, 首先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵 An, 根据运动学方程式计算规则得T6= A1A2A3A4A5A6= [nx Ox ny Oy ax Pxay Py nz Oz 00az Pz01] 其中:{nx= c1[ c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6] - s1( s4c5c6+ c4s6)ny= s1[ c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6] - c1( s4c5c6+ c4s6)nz= - s2( c4c5c6- s4s6) - c2s5c6此种方法适应范围广泛，也得到了实践的验证，正确率高，因此得到了较高的应用，是通用的正解求解方法。
机器人运动学正解逆解课件
在机器人力控制中，需要知道每个关节的角度变化来调整 机器人的姿态和力矩。逆解可以用于求解每个关节的角度 变化，从而调整机器人的姿态和力矩。
机器人定位
在机器人定位中，需要知道每个关节的角度变化来调整机 器人的位置和姿态。逆解可以用于求解每个关节的角度变 化，从而调整机器人的位置和姿态。
04
实现复杂运动轨迹
利用运动学正解与逆解，可以规划出 复杂的运动轨迹，满足各种应用需求 。
02
机器人运动学正解
正解的基本概念
正解是指机器人末端执行器从某一初 始位置和姿态到达目标位置和姿态所 需经过的关节角度值。
正解是机器人运动学中的基本问题， 是实现机器人精确控制和自主导航的 基础。
正解的求解方法
逆解的求解方法
01
代数法
通过建立机器人关节角度与目标点坐标之间的方程组，利用数学软件求
解方程组得到关节角度。这种方法适用于简单的机器人结构，但对于复
杂机器人结构求解过程可能较为繁琐。
02
数值法
通过迭代或搜索的方法，不断逼近目标点坐标，最终得到满足要求的关
节角度。这种方法适用于复杂机器人结构，但求解时间较长且可能存在
机器人运动学正解逆解课件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学正解 • 机器人运动学逆解 • 机器人运动学正逆解的对比与联系 • 机器人运动学正逆解的实例分析
01
机器人运动学概述
定义与分类
定义
机器人运动学是研究机器人末端 执行器位姿与关节变量之间的关 系的学科。
分类
根据机器人的结构和运动特性， 可以分为串联机器人和并联机器 人。
局部最优解。
03
解析法
通过几何学和代数学的方法，直接求解关节角度与目标点坐标之间的关
机器人运动学正解逆解PPT共62页
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！Biblioteka 62
机器人运动学逆解及奇异和多解的处理
机器人运动学逆解及奇异和 多解的处理
叶上 高，刘 电霆
（ 桂 林 理 工大 学机 械 与控 制工程 学 院 ，广西桂 林 ５ ４ １ ０ ０ ４ ）
摘要 ：针对后 ３个关节轴线相交于一点 的 ６ Ｒ工业机 器人 ，提 出一种有 别于传统 方法 的位姿分 离逆解算 法 ，对逆解 涉 及 的奇异和 多解处理 也做 了详 细分析 ，并仿真验证了该算法的正确性 。该算法 完全避免 了矩 阵求逆 的运算 ，因此 比一般 的
２ ０ １ ４年 ２月
．
机床与液压
Ｍ ＡＣＨＩ ＮＥ Ｔ ＯＯＬ ＆ ＨＹＤＲＡＵＬ Ｉ ＣＳ
Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ４
Ｖｏ １ ． ４ ２ Ｎｏ ． ３
第４ ２ 卷第３ 期
Ｄ ＯＩ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １—３ ８ ８ １ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ３ ． ０ ０ ８
ＹＥ Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｇ ａ ｏ， ＬＩ Ｕ Ｄｉ ａ ｎ ｔ ｉ ｎ ｇ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｇ ｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，
及 的奇异 和 多解 问题 的处 理也 进行 了详 细 分析 。最 后 ，用 Ａ Ｄ Ａ Ｍ Ｓ对该 逆解算 法 的正 确性进行 了仿真 验
证。
１ 运 动 学正解
Ｉ Ｒ Ｂ ２ ６ ０ ０为 ６ Ｒ机 构 ，采用 Ｄ — Ｈ方法 ，建 立连
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：Ｉ ｎ ｄ ｕ ｓ ｔ ｒｉ ａ ｌ ｒ ｏ ｂ ｏ ｔ ；Ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｋ ｉ ｎ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ；Ｍｕ ｌ ｔ ｉ — ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ；Ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｔ ｙ
02-课件：3.3 机器人逆运动学
从手部位姿到关节变量—运动学逆问题操作机的手臂解r -θ对于 操作机，其逆变换就是由表示手部位姿的齐次矩阵求操作机的两个关节变量。
r -θ由手坐标系到基座坐标系的齐次矩阵可以表示为21A A T H B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000100001000011000010000cos sin 00sin cos 1000r P a o n P a o n P a o n z zzz y y y y x x x x θθθθ令上面矩阵的对应元素分别相等 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθsin cos 010000cos sin 00sin cos 1001000000r r P P o o n n y x y x yx cos x r P θ=sin yr P θ=tan yx P P θ=arctan yxP P θ=所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1000010000cos sin 00sin cos 1000010000cos sin 00sin cos 1θθθθθθθθ令其中的对应元素分别相等，则可以得到cos sin x y r P P θθ=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100001000110010000001000010000cos sin 00sin cos r P P o o n n y x y x y x θθθθ令关节多了则不然！其实问题很简单P xP yrθθcos xr P θ=sin y r P θ=正解：cos sin x y r P P θθ=+arctan y x P P θ=逆解：手部姿态角的确定手部的姿态可以用绕x ，y ，z 轴依次转动侧摆，俯仰和横滚获得。
),(),(),(1x y OH z x Rot y Rot T z Rot ΦΦ=Φ-),(),(),(),,(x y z z y x OH x Rot y Rot z Rot RPY T Φ⋅Φ⋅Φ=ΦΦΦ=等式左式与右式对应元素相等，最终可得()⎪⎩⎪⎨⎧=ΦΦ+Φ-=ΦΦ-ΦΦ-Φ=Φx y zz y z x z y z x z y z y z x x n n n n n o o a a /arctan )]sin cos /(arctan[)]sin cos /()cos sin arctan[(6关节操作机的手臂解6关节操作机位置运动学逆问题就是由描述手部位姿的齐次矩阵BTH 求解构成手臂的六个关节角 、 、 、 、 、 ，这一逆问题又称为手臂解。
工业六轴机器人运动学逆解
工业六轴机器人运动学逆解工业六轴机器人是一种常见的工业机器人类型，具有广泛的应用场景。
在实际应用中，控制工业六轴机器人的运动是非常重要的，而运动学逆解就是解决这个问题的方法之一。
运动学逆解是指根据机器人的末端执行器的位置和姿态，计算出各个关节的角度。
通过运动学逆解，可以实现对机器人运动的精确控制，从而完成特定的任务。
在工业六轴机器人中，每个关节都可以进行旋转运动，因此机器人的运动学模型可以简化为一个连续的旋转链。
我们可以使用一种称为D-H参数的方法来描述机器人的运动学模型。
D-H参数是一种用于描述机器人关节的坐标系和相对运动的方法。
每个关节都有一个坐标系，它的原点位于前一个关节的旋转轴上，坐标系的z轴与关节的旋转轴平行，x轴垂直于z轴。
通过定义每个关节的坐标系，我们可以建立起整个机器人的坐标系链。
在运动学逆解的计算中，我们需要使用到正运动学方程和逆运动学方程。
正运动学方程是指根据关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态。
通过逐个计算每个关节的变换矩阵，我们可以将关节坐标系的变换叠加起来，得到整个机器人的变换矩阵。
然后，我们可以从变换矩阵中提取出末端执行器的位置和姿态。
逆运动学方程是指根据末端执行器的位置和姿态计算出各个关节的角度。
逆运动学方程的计算比较复杂，需要使用到三角函数的反函数和矩阵运算等方法。
一般来说，逆运动学方程存在多解的情况，我们需要根据具体的应用需求选择合适的解。
在实际应用中，运动学逆解是机器人控制的基础。
通过计算出关节角度，我们可以实现对机器人的精确控制，完成各种复杂的任务。
例如，在装配任务中，我们可以通过运动学逆解计算出机器人的关节角度，使得机器人可以准确地抓取、组装零部件。
运动学逆解还可以用于路径规划和避障等问题。
通过运动学逆解，我们可以计算出机器人在空间中的运动轨迹，从而实现路径规划。
同时，我们还可以根据机器人的运动学模型和环境信息，计算出机器人在避障过程中各个关节的角度，实现智能避障。
机器人运动学正解逆解-精PPT课件
A3
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi
di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离
θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
A5
A4 A6
.
16
连杆 n θn
dn
anαn1 θ1 源自900) 0S5S6 0C234S5 S234S5
C5 0
C234a4 C23a3 C2a2
S234a4
S23a3
S2a2
0
1
根据第3行第4列元素对应相等可得到
1a rc tp paxy)n和 (111 8 0
.
29
根据1，4元素和2，4元素，可得到：
pxC 1pyS1C23 a4 4C2a 33C2a2 pzS23 a4 4S2a 33S2a2
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
再 根 据 对 应 项 元 素 相 ， 等 可 以 得 到
S5 C23（4 C1ax S1ay ) S234az
C5 C1ay S1ax
5
arctanC234(C1ax S1ax
S1ay ) C1ay
S234az
.
32
§1.4 机器人正向运动学
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
.
1
机器人逆运动学
clear;clc;L1 = Link('d', 0, 'a', 0, 'alpha', pi/2); %Link 类函数L2 = Link('d', 0, 'a', 0.5, 'alpha', 0,'offset',pi/2);L3 = Link('d', 0, 'a', 0, 'alpha', pi/2,'offset',pi/4);L4 = Link('d', 1, 'a', 0, 'alpha', -pi/2);L5 = Link('d', 0, 'a', 0, 'alpha', pi/2);L6 = Link('d', 1, 'a', 0, 'alpha', 0);b=isrevolute(L1); %Link 类函数robot=SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6]); %SerialLink类函数='带球形腕的拟人臂'; %SerialLink属性值robot.manuf='飘零过客'; %SerialLink属性值robot.display(); %Link 类函数theta=[0 0 0 0 0 0];robot.plot(theta); %SerialLink类函数theta1=[pi/4,-pi/3,pi/6,pi/4,-pi/3,pi/6];p0=robot.fkine(theta);p1=robot.fkine(theta1);s=robot.A([4 5 6],theta);cchain=robot.trchain;q=robot.getpos();q2=robot.ikine(p1); %逆运动学j0=robot.jacob0(q2); %雅可比矩阵p0 =-0.7071 -0.0000 0.7071 1.4142 0.0000 -1.0000 -0.0000 -0.00000.7071 0.0000 0.7071 1.9142 0 0 0 1.0000p1 =0.9874 0.1567 0.0206 1.0098 0.0544 -0.4593 0.8866 1.8758 0.1484 -0.8743 -0.4621 0.04670 0 0 1.0000 >>ss =1 0 0 00 1 0 00 0 1 20 0 0 1cchain =Rz(q1)Rx(90)Rz(q2)Tx(0.5)Rz(q3)Rx(90)Rz(q4)Tz(1)Rx(-90)Rz(q5)Rx(90)Rz(q6)Tz(1)q =0 0 0 0 0 0q2 =1.0e+04 *0.0003 0.0180 -0.0399 1.1370 0.0002 0.0536j0 =-0.1100 0.0707 0.3577 -0.0114 0.5092 0 -0.8329 -0.0448 -0.2267 -0.6224 0.1813 0-0.0000 0.7623 0.3956 -0.1410 -0.8413 0-0.0000 0.5354 0.5354 0.3374 -0.0178 -0.86050.0000 0.8446 0.8446 -0.2139 -0.9751 0.12751.0000 0.0000 0.0000 0.9168 -0.2209 -0.4933作者：fly qq链接：来源：知乎著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：（1）运动学方程 d、建立方程
c124 s124 0 400c1 300c12
M0h
M 01
M 12
M 23
M 34(h)
s
124
0
0
c124
0 0
0
4 0 0s 1
3 0 0s 12
1 0
600 d3 1
式中：c124 cos(1 2 4 ), s124 sin(1 2 4 ) c12 cos(1 2 ),s12 sin(1 2 )
解：（3）逆解数学表达式
已知运动学方程，用通式表示为：
已知
关系
nx ox ax px c124 s124 0 l1c1 l2c12
n y
oy
ay
py
s
124
c124
0
l1 s 1
l2
s12
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
0
0
0 0
1 0
d1
d3 1
d4
分析：上述矩阵方程有4个未知量，由于第一行第一列元 素与第二行第二列元素相等，第一行第二列元素与第二 行第一列元素大小相等、符号相反；因此，仅4个元素相 互独立，与变量数相同。
2、运动学方程的逆解
解得存在性： 解是否存在与机器人的工作空间密切
相关，工作空间又取决于机器人的结构、 杆件参数，或手部（工具）的位姿。
一般情况下，如果手部坐标系的位置 和姿态都位于工作空间内，则至少存在一 个解；相反，若手部坐标系的位置和姿态 都位于工作空间外，则无解。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
解：（1）运动学方
程
cM、2相3 邻T杆r件an位s(姿0,矩0,阵d3 )
1 0 0 0
0 1 0
0
0 0
0 0
1 0
d3 1
400
300
z1
z2
x1
x2
z3 x3
z4h
200
800
x4h
z0 x0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
解：（1）运动学方
0
00
1
80 0
z0 x0
z1
30 0
x1
20 0
z2 x2
z3 x3
z4h x4h
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
解：（1）运动学方
程
Mc1、2 相Ro邻t(杆z,件2 ) 位 Tr姿an矩s(3阵00,0,0)
c2 s2 0 0 1 0 0 300
解：（3）逆解数学表达式
l1s1 l2s12 py (d )
d1 d3 d4 pz (e)
为了求θ1，由上面（c）、（d）两式展开可
得：
l1c1 l（2 c1c2 s1s2） px
l1s1 l（2 s1c2 c1s2） py
化简，得：
这时2 已经求出。
(l1 l2c2 )c1－(l2s2 )s1 px (l2s2 )c1 (l1 l2c2 )s1 py
3.3 机器人运动学方程
解：
1）运动学方程
400
a、建立坐标系（前置模式）
机座坐标系｛0｝
1
杆件坐标系｛i｝
手部坐标系｛h｝
800 0
300
z1 x1
2
200
z2 x2
z3 3 x3
z4h x4h
z0 x0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
解：（1）运动学方 程 b、i 确d定i 参θ数i li αi qi
2、运动学方程的逆解
ax c1(c23c4c5 s23c5 ) s1s4s5 ay s1(c23c4c5 s23c5 ) c1s4s5 az s23c4c5 c23c5
px c1[d6 (c23c4s5 s23c5 ) d4s23 l2c2 ] s1(d6s4s5 d2 ) py s1[d6 (c23c4s5 s23c5 ) d4s23 l2c2 ] c1(d6s4s5 d2 ) pz d6 (c23c5 s23c4c5 ) d4c23 l2s2
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
其中：
cij cosi cos j sini sin j cos(i j ) sij cosi sin j sini cos j sin(i j )
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
可见，我们有12个方程及6个未知数。 上述12个方程关系如何？ 我们先看看转动部分，它是3X3子矩阵 ，共有9个元素；我们知道，转动矩阵的每 列都是单位矢量，并且每列之间都两两正交 ；因此，9个元素中仅三个是独立的，或则 说，12个方程中仅有6个是独立，对应6个 未知数。 因此，一般情况下，单从数学的角度看 ，方程组应该是有解的。
研究其可解性。
其中：
nx c1[c23 (c4c5c6 s4s6 ) s23s5c6 ] s1(s4c5c6 c4s6 ) ny s1[c23 (c4c5c6 s4s6 ) s23s5c6 ] c1(s4c5c6 c4s6 ) nz s23 (c4c5c6 s4s6 ) c23s5c6
前置模式：
{i-1}→坐标系{i} 。 仅涉及i杆件的参数，
1、杆长:沿xi轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角：绕xi从zi-1转到zi的角度。 3、平移量：沿zi-1轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角：绕zi-1轴从xi-1轴到xi的转角。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
2)数值解(Numerical solution): 特点：递推求解。 求解方法分类：
代数法、几何法以及数值法，前两种 用于求闭式解，后一种用于数值解。
下面我们结合几个实例，介绍机器人 闭式解析解的求解方法。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
1
2
4
tan 1
ny nx
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
由上面（c）、（d）两式：l1 cos1 l2 co（ s 1 2） px l1 sin1 l2 sin（1 2） py
两边平方可得 ：
l12 cos2 1 2l1l2 cos1 cos(1 2 ) l22 cos（2 1 2） px2 l12 sin2 1 2l1l2 sin1 sin(1 2 ) l22 sin（2 1 2） py2
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
上述方程组是由一些非线性的、超越 、难解的方程组成。为了降低求解难度， 机器人的杆件参数应仅可能地取为0，如 常见的PUMA机器人那样。对于任何非线 性方程组，必须关心其解的存在性、多解 性和求解方法。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
多解性问题： 解得数量不仅与机器人的关节数有关，
还与它的杆件参数、关节活动范围等相关。 一般说，连杆的非零参数越多，解的数量 就越多，即到达某个位置的路经就越多。 多个解的存在使我们面临选择。
如何选择？如：路径最短、最近原则。 多解的应用： 躲避障碍物等。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
程
M3c4、(h) 相 T邻r杆an件s(0位,0姿,矩20阵0) Rot(z,4 )
c4 s4 0 0
s
4
c4
0
0
0 0 1 200
0
0
0
1
800
400
300
z1
z2
x1
x2
z3 x3
z4h 200
x4h
z0 x0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
将两式相加得：
cos2
px2
p
2 y
l12
l22
2l1l2
c 21c 2 c1s1s 2 s 21c2 c1s1s 2
则 ： 2
co
s1
p
2 x
p
y
l12
2l1l2
l22
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
c124 nx oy (a)
3.3 机器人运动学方程 s124 ny ox (b) l1c1 l2c12 px (c)
机器人运动学方程的逆解，也称机器 人的逆运动学问题，或间接位置求解。
逆运动学问题：对某个机器人，当给 出机器人手部在基座标系中所处的位置和
姿态时（即M0h中各元素给定），求出其对 应的关节变量值qi。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
2、运动学方程的逆解
逆运动学问题的可解性： 下面以六自由度机器人PUMA为例，
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
解：（2）已知qi=[30°，-60°，－120，90°]T，则：
1
3
2
2
0 350 3
M0h
3 2
1 2
0
50
0 0 1 480
0 0 0 1
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.3 机器人运动学方程