高考数学第一轮复习：三角函数、解三角形

三角函数、解三角形

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．tan 8π

3的值为( )

A.33 B ．－33 C. 3 D ．－ 3

2．已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2

3．要得到函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

3的图象，可将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向右平移π

6个单位长度

B ．向左平移π

6个单位长度

C ．向右平移π

3个单位长度

D ．向左平移π

3

个单位长度

4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( )

A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭

⎫－π

4，0成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π

4

对称

C ．两个函数在区间⎝⎛⎭

⎫－π4，π

4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 5．a ，b ，c 分别是△ABC 内角A 、B 、C 的对边，若c ＝23b ，sin 2A －sin 2B ＝3sin B sin C ，则A ＝( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

6．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭

⎫0，π

2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形

7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，

且当x ＝π

2

时，f (x )取得最大值，则( )

A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数

B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数

C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数

D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数

8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北方向航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )

A.1507 min

B.157

h C ．21.5 min D ．2.15 h

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置)

9．已知sin θ＝4

5

，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝________.

10．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b

a

＝________. 11．已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且α，β都为锐角，则α＋β的值为________．

12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若函数f (x )图象上的一个对称中心到对称轴的距

离的最小值为π

3

，则ω的值为________．

13．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π

2，y ＝f (x )的部分图象如图D3－1，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.

图D3－1

图D3－2

14．如图D3－2，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫

13x －π6，x ∈R .

(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；

(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6

5

，求cos(α＋β)的值．

16．(13分)函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)在一个周期内的图象如图D3－3所示，其最高点为M ，最低点为N ，与x 轴正半轴交点为P .在△MNP 中，∠MNP ＝30°，MP ＝2.

(1)判断△MNP 的形状，并说明理由； (2)求函数f (x )的解析式．

图D3－3

17．(13分)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

6－1. (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦

⎤－π6，π

4上的最大值和最小值．

18．(14分)已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －

3

2

，x ∈R . (1)设角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边过点P ⎝⎛⎭⎫12

，－3

2，求f (α)

的值；

(2)试讨论函数f (x )的基本性质(直接写出结论)．

19．(14分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：如图D3－4，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC

＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚2

17

秒，A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，

A 地测得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH (声音的传播速度为340米/秒)．

20．(14分)如图D3－5所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部

分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π

2，x ∈[4,8]的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭

⎫5，8

33，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式．

(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？