高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)不等关系与不等式

第一节不等关系与不等式

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合] 1．比较两个实数大小的法则

设a，b∈R，则

(1)a＞b⇔a－b＞0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a＜b⇔a－b＜0.

2．不等式的基本性质

[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？

提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．

2．(1)a >b ⇔1a <1

b

成立吗？

(2)a >b ⇒a n >b n (n ∈N ，且n >1)对吗？

提示：(1)不成立，当a ，b 同号时成立，异号时不成立． (2)不对，若n 为奇数，成立，若n 为偶数，则不一定成立．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

解析：选B 当c ＝0时，①不成立；当|a |＝1，b ＝－2时，④不成立． 2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2

D ．a 2>－a >a >－a 2

解析：选B ∵a 2＋a <0，∴－1

2

，易知选项B 正确．

3．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )

A ．ad >bc

B ．ac >bd

C ．a －c >b －d

D ．a ＋c >b ＋d

解析：选D 由不等式的性质知，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . 4．(教材习题改编)已知a >b >0，c >d >0，则 a d

与 b

c

的大小关系为________． 解析：∵c >d >0，∴1d >1

c >0.

又∵a >b >0，∴a d >b

c >0.∴

a d

> b c

. 答案：

a d

> b c

5．已知12

∴12－36

[例1] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？

[自主解答] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －10

1×10件，因此，每天的

利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.

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实际应用中不等关系与数学语言间的关系

将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言及其转换关系如下表：

1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，

A ，

B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．

解：设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y ，

则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y ≤400，

2x ＋y ≤500，

x ≥0，x ∈N ，

y ≥0，y ∈N .

[例2] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M N C ．M ＝N

D ．不确定

(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )

A ．甲先到教室

B ．乙先到教室

C ．两人同时到教室

D ．谁先到教室不确定

[自主解答] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1

＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.

∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .

(2)设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2

a ＋

s 2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s (a ＋b )2ab

， s ＝ta ＋tb ⇒2t ＝2s

a ＋b

.

T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2s

a ＋

b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，即乙先到教室．

[答案] (1)B

(2)B

若将本例(1)中“a 1，a 2∈(0,1)”改为“a 1，a 2∈(1，＋∞)”，试比较M 与N 的大小． 解：∵M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， ∴当a 1，a 2∈(1，＋∞)时，a 1－1>0，a 2－1>0. ∴(a 1－1)·(a 2－1)>0.

∴M －N >0，即M >N .

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比较大小的常用方法

(1)作差法

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号).

(3)特值法

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路.