九年级数学上册相似三角形比例线段黄金分割同步练习新版浙教版

4.1 第3课时 黄金分割

一、选择题

1．已知线段a ，b ，c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a ＝4，b ＝9，则c 等于( ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．36

2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )

A ．12.36 cm

B ．13.6 cm

C ．32.36 cm

D ．7.64 cm

3．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )

A.a b ＝b c

B.a d ＝b c

C.b c ＝c d

D.a b ＝c d

4．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )

A ．6 cm

B ．10 cm

C ．4 cm

D ．8 cm

5．已知C 是线段AB 上的一个点(AC ＞BC )，有以下命题：

①若AC AB ＝BC

AC ，则C 是线段AB 的黄金分割点；

②若AC AB ＝

5－1

2

，则C 是线段AB 的黄金分割点； ③若BC AC

＝

5－1

2

，则C 是线段AB 的黄金分割点； ④若AC 2

＝BC ·AB ，则C 是线段AB 的黄金分割点. 其中正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10，则PQ 的长为( ) A ．5( 5－1) B ．5( 5＋1) C ．10( 5－2) D ．5(3－5)

7．宽与长的比是

5－1

2

(约0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K －29－1②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )

图K －29－1

A ．矩形ABFE

B ．矩形EFCD

C ．矩形EFGH

D ．矩形DCGH 二、填空题

8．(1)实数2和18的比例中项是________；

(2)已知线段a ＝5 cm ，b ＝15 cm ，则a 与b 的比例中项是________；

(3)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．

9．已知C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则BC

AB ＝________，BC AC

＝________.

10．据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为________℃(精确到1 ℃).链接学习手册例2归纳总结

11．如图K －29－2所示，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB .若S 1是以PA 为

边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．

图K－29－2

三、解答题

12．如图K－29－3，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观．若取黄金比为0.6，求x的值(精确到1°)．

图K－29－3

13．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图K－29－4，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，求DE的长．

图K－29－4

14．以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取一点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图K －29－5所示．

(1)求AM ，DM 的长；

(2)求证：M 是线段AD 的黄金分割点．

图K －29－5

15思维拓展如图K －29－6①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝

BC

AC

，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1

，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．

(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线

DF ∥CE ，交AC 于点F ，连结EF (如图③)，则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理

由．

图K－29－6

1．[答案]B

2．[解析] A 设这本书的宽为x cm ，则x

20≈0.618，解得x≈12.36，故选A.

3．[答案]B

4．[解析] D 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96(cm)．

设需要穿的高跟鞋的高度是y cm ，则根据黄金分割的定义，得y ＋96

160＋y ≈0.618.

解得y≈8.故选D. 5．[答案]D

6．[解析] C 由黄金分割的意义可得PQ ＝10×⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤5－1

2－（1－5－12）＝10( 5－2)．

7．[解析] D 设正方形的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1. 在Rt △DCF 中，DF ＝12

＋22

＝5， ∴FG ＝5，∴CG ＝5－1， ∴CG CD ＝5－1

2

， ∴矩形DCGH 为黄金矩形． 故选D.

8．[答案] (1)±6 (2)5 3cm (3)3

2

，12或±3 2(写出一个即可) [解析] (3)设这个数为x ，则3，6或x 都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论．