最优化理论和算法： 大作业(一)

最优化理论和算法:大作业（一）

简介：这个大作业的主要目的是在Matlab下自己编写单纯形法算法来求解标准型线性规划问题：

min c T x

s.t.Ax=b

x≥0

其中b≥0,A是m×n(m≤n)的矩阵。假设A的秩是m.特别的，A并不一定包含单位矩阵。按照要求编写下列小程序。

程序(一)：实现单步单纯形法

程序格式：

function[istatus,iB,iN,xB]=simplex_step(A,b,c,iB,iN,xB)

%实现一步单纯形法

%输入参数：

%A-(n,m)系数矩阵

%ｂ-(ｍ,１)(正)右端向量

%ｃ-(ｎ,１)目标函数系数

%iB-(1,m)整数向量记录当前基本变量的指标数

%iN-(1,n-m)整数向量记录当前非基本变量的指标数

%xB-(m,1)向量代表当前基本变量的值

%输出参数：

%istatus-整数标记单纯形法执行状态

%istatus=0正常单纯形法步完成

% istatus=32问题无界

% istatus=-１找到最优基本可行解

%iB-(1,m)整数向量记录运行单纯形法之后的基本变量的指标数

%iN-(1,n-m)整数向量记录运行单纯形法之后的非基本变量的指标数

%xB-(m,1)向量记录运行单纯形法之后的基本变量的值

注：该程序不考虑退化情形。

程序(二)：利用两步法中的第一步来求解一个初始基本可行解

程序格式:

function[istatus,iB,iN,xB]=simplex_init(A,b)

%实现两步法中的第一步来求解一个初始基本可行解，通过求解下面的问题：

%min y_1+...+y_m

%s.t.Ax+y=b

%x>=0,y>=0

%A是m x n矩阵。

%输入参数：

%A-(n,m)系数矩阵

%ｂ-(ｍ,１)正的右端向量

%输出参数：

%istatus-整数标记初始化状态

%　istatus=1找到原问题的一个基本可行解

% istatus=4问题可行域是空集

% istatus=16初始化过程失败

%iB-(1,m)整数向量记录运行初始化之后的基本变量的指标数（对应原问题）

%iN-(1,n-m)整数向量记录运行初始化之后的非基本变量的指标数（对应原问题）

%xB-(m,1)向量记录运行初始化之后的基本变量的值（对应原问题）

注：为了简单化程序，若初始化过程找到的初始基本可行解包含某些人工变量y j,设置istatus=16（初始

化失败）。

程序(三)：调用前面两个程序用单纯形法来求解线性规划问题

程序格式

function[istatus,X，eta,iB,iN]=simplex_method(A,b，c)

%求解下面的问题：

%min c’x

%Ax=b

%x>=0

%输入参数：

%A-(n,m)系数矩阵

%ｂ-(ｍ,１)正的右端向量

%ｃ-(ｎ,１)目标函数系数

%输出参数：

%istatus-整数标记初始化状态

%istatus=1单纯形法正常结束，e.g找到一个最优基本可行解

%istatus=4问题可行域是空集

%istatus=16问题可行域非空，但初始化过程失败

%istatus=32问题无界

%X-(n,1)最优基本可行解

%eta最优目标函数值

%iB-(1,m)整数向量记录运行对应最优解的基本变量的指标数

%iN-(1,n-m)整数向量记录运行对应最优解的非基变量的指标数

注：该程序不考虑退化情形。

程序(四)：测试算例

程序要求：

1.设计四个算例,分别对应程序(三)的四个状态，输出计算结果。

2.利用Matlab内部命令linprog和　options=optimset(’LargeScale’,’off’,’Simplex’,’on’)

输出计算结果。

3.对于istatus=1的情况，比较两个程序所得到的目标函数值，最优解(如果最优解不唯一，两个程序得

到的解不一定一致），和计算时间。

大作业要求和评分标准

1.　打印的四个程序代码和程序(四）的输出结果(注明名字，学号和Ｅｍａｉｌ地址）

2.　上交期限：2011/11/17，逾时者计０分.

3.　程序的正确性和完备性，输入和输出和要求一致。

4.　程序的可读性，必要的注释

5.　算例输出结果的有效性。

6.　严禁互相抄袭，若发现抄袭，双方成绩计０分。