小波变换原理与应用PPT课件

出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
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1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具, 是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个 重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新 应用技术学科均产生了强烈的冲击。
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1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
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3.小波变换的基本原理与性质
小波的“容许”条件
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一 种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的 可逆性。
(x) ()
()2
C
d
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域， 在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质 ，并且完全不含有直流趋势成分，即满足
1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示 了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系， 使离散小波分析变成为现实。
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学 家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要 贡献在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了 小波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解 和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得 到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号 处理、图像信息处理等。
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足
，这就导致了小波分析。精选ppt
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2.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
(0) (x)dx0
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3.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
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2.小波变换与傅里叶变换的比较
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的， 但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与 Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的 局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题 。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、 信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。
这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变换的 “时
间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服上面所述的
第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题
就迎刃而解了。
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3.小波变换的基本原理与性质
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
➢ 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法 ，信息为瞬时频率、瞬时能量谱
信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或 者哪几种信号表示方法
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3.小波变换的基本原理与性质
平稳信号
f ( x 1 ,x 2 , ,x n ; t 1 ,t 2 , ,t n ) f ( x 1 ,x 2 , ,x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
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2.小波变换与傅里叶变换的比较
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里 程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得 到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有 物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。
数学中的显微镜小波
小波变换原理及其应用案例介绍
Wavelet Transform Theory and Applications Introduction
饶利强 电机与电器
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主要内容
1. 小波的发展历史 2.小波变换与傅里叶变换的比较 3.小波变换的基本原理与性质 4.几种常用的小波简介 5.小波变换的应用领域 6.小波分析应用前景 7.小波变换的去噪应用 8.小波分析面临的主要问题
（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑 的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同 时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。 从而克服了上面所述的第二个不足。
（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“
时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间
—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频率窗”的
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1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。