武汉大学结构力学第七章位移法

5
§7-2 转角位移公式（单跨梁的计算）
P
P
P
θθ
θ=
+
θ
=
+
θ
结构的计算就是单跨梁的计算 有三类基本的单跨梁：
6
EI EA
l 线刚度 i=EI/l
MAB A QAB
MBA B QBA
M
F AB
A QAFB
M
F BA
B QBFA
θA
单跨梁杆端力
单跨梁固端力
Δ θB
单跨梁荷载
形常数(要求记住)
M AB
2 作M1、M2、MP图。 3 计算r11、r22、r12=r21、R1P、R2P。
rii>0, rij=rji
4 解位移法基本方程，得Z1、Z2。
5 作内力图。
M=M1Z1+M2Z2+MP
25
具有n个未知数的结构：
r11Z1+ r12Z2 + · · · · · · + r1nZn+R1P=0 r21Z1+ r22Z2 + · · · · · · + r2nZn+R2P=0 ······························ rn1Z1+ rn2Z2 + · · · · · · + rnnZn+RnP=0
=
4iθ A
+
2iθB
− 6i
Δ l
+
M
F AB
M BA
=
2iθ A
+
4iθB
−
6i
Δ l
+
M
F BA
θA=1
θB=1
A
B
A
B
2i A
B
6i/l
4i
Δ=1
4i
2i
7
6i/l
EI EA l
θA
MAB
A
B
QAB
QBA
Δ 单跨梁杆端力
M
F AB
A
B
QAFB
QBFA
单跨梁固端力
单跨梁荷载
形常数(要求记住)
28 7
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图。(悬臂杆的处理方法2)
q
P
q
3i r11
EI
a q
基本体系
a Z1
r11Z1 + R1P =0
a
Pa
4i
Z1=1
等效结构 qa2/8 R1P
M1
2i
r11=4i+3i=7i
R1P
Pa
Pa
qa2/8
MP
R1P= qa2/8 -Pa
1 qa2 + 3 Pa
14
Ph/4
Ph/4
P
M
Ph/4
Ph23/4
§7-4 两个及多个未知数结构的计算
Z1
Z2
R1
R2
Z1
Z2
R1=0 R2=0
r11Z1 r21Z1
r12Z2
r22Z2
R1P
R2P
Z1
r11
r21
r12
Z1=1
R1=r11Z1+r12Z2+R1P=0 R2=r21Z1+r22Z2+R2P=0 r11r22-r12r21>0,方程有唯一解。
5 作内力图。 M=M1Z1+MP
力法与位移法的对比
力法
位移法
基本未知数 多余未知力
独立的结点位移
基本体系 基本方程
去掉多余约束后的 静定结构
变形协调条件
增加约束，使结构成为一 系列可计算的单跨梁
14
平衡条件
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图。
q
3i r11
4i
Z1=1
a
EI
M1 2i
a
qa2/8
rij(kij) ：Zj=1作用下基本结构附加约束i的约束反力。 rii>0, rij=rji RiP：外荷载作用下基本结构附加约束i的约束反力。
26
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图,EI为常数。
40kN 20kN/m
R1
R2
r11
=
3i1 h12
+
3i2 h22
+
3i3 h32
=
3i h2
3i
h2
M=M1Z1+MP
21
P I1 h1 I2 h2
I3 hM3
i1 / h1 Σi / h2
P
i2 / h2 Σi / h2
P
i3 / h3 Σi / h2
P
P
μ1 P
μ2P μ3P μ3 P
μ1 P
μ2 P
P
i1 / h12 Σi / h2
θB=1
i
9
i
载常数(要求记住) q
l ql2/12 ql2/12
q
l ql2/8
q l ql2/3
ql2/24 P
证明对称荷载下,一端固定一端铰支梁的固端弯 矩，是两端固定梁的固端弯矩的1.5倍。
P
l/2 l/2
l/2 l/2 l/2
Pl/8
Pl/8
3Pl/16
3Pl/8
ql2/6
P l/2
Pl/8 5Pl/32
m R1P= - m
M=M1Z1+MP
基本体系 r11Z1 + R1P =0 Z1= - R1P/r11=m/(14i)
6m/7
m/7
M
20
例：用位移法计算图示结构(线位移),作弯矩图。
i1=EI1/h1
M1
P I1 h1 I2 h2
I3 hM3 i2=EI2/h2 i3=EI3/h3
r11 Z1=1
Z1
刚臂只约束转动
Z1
Z2
一个刚结点就是一个角位移
Z1
Z2
Z1
Z2
Z3 Z4
Z1 Z3
Z2 未知数:2~4个
Z4
3
Z2
Z1
Z4
Z3
Z3
Z2
Z4
Z1 未知数:1~4个
Δ
Δ
Z2
Z1
Z3 两个角位移,一 个线位移
4
• 刚架结点角位移未知 数：一个刚结点就是一 个角位移。 • 刚架结点线位移未知 数：将刚结点变成铰结 点，在结点施加最少的 链杆，使体系几何不 变，增加的链杆数就是 线位移数量。
P
i2 / h22 Σi / h2
P
i3 / h32 Σi / h2
P
μ1Ph1 μ2Ph2 μ3Ph3
定义:
μ1
=
i1 / h12 Σi / h2
μ2
=
i2 / h22 Σi / h2
μ1+μ2+μ3=1
μ3
=
i3 / h32 Σi / h2
这种方法称为剪力 分配法
22
例：用位移法计算图示结构(线位移),作弯矩图。
a Z1
M1 2i
qa2/8 R1P
R1P
Pa
qa2/8 Pa
R1P= qa2/8 - Pa MP
r11Z1 + R1P =0 Z1= - R1P/r11= - (qa2/8-Pa)/(7i) M=M1Z1+MP
1 qa2 + 3 Pa
14
7 Pa
1 qa2 − 4 Pa
14 7
18
M
1 qa2 − 2 Pa
第7章 位移法
• §7-1 位移法基本未知数的确定 • §7-2 转角位移公式（单跨梁的计算） • §7-3 一个未知数结构的计算 • §7-4 两个及多个未知数结构的计算 • §7-5 对称性的利用 • §7-6 支座移动温度变化作用下结构的计算
位移法有两种形式：基本体系法与直接平衡法 基本体系法建立在基本体系的基础上，直接平衡法利用转角 位移公式对结点与杆件列平衡方程来计算。两者本质一样，但 形式不同。 基本体系法是一定要学的。本课程只讲基本体系法。 为什么一定要学基本体系法？ 因为：（1）基本体系法与力 法对应。（2）基本体系法与矩阵位移法对应。（3）刚度系数 在结构动力计算中要计算。
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣.r.rr.n12.11.1.
r12 r 22 ...... rn2
...... ...... ...... ......
.r.rr.n12.nn.n.⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
系数矩阵为正定矩阵，行列式大于零，方程有唯一解。 M = M1Z1 + M 2Z2 + ............. + M nZn + M P
i
2i
i
l
3i 2i M1
l l/2 l/2 q Z1 ql
3ql2/8 ql2/8 R1P
r11
2i
3i
3i
r11=3i+3i+2i=8i R1P
ql2/8 3ql2/8
基本体系
ql2/8 MP
R1P= ql2/8- 3ql2/8= - ql2/4 5ql2/16
7ql2/32
r11Z1 + R1P =0 Z1= - R1P/r11= ql2/(32i)
7 Pa
Z1= - R1P/r11= - (qa2/8-Pa)/(7i) M=M1Z1+MP
1 qa2 − 4 Pa
14
7
M
19
1 qa2 − 2 Pa
28 7
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图。（非基本杆件的处理）
m
r11
r11
3i
2i
4i
l
l
Z1 m
3i
2i
4i
l
12i
2i
M1
R1P m
MP
2i 12i r11=2i+12i=14i R1P
1 选取基本结构,确定基本未知数,列位移法基本方程。
r11Z1 + R1P =0
2 作M1、MP图。 3 计算r11、R1P。
r11(k11)：基本结构中结点位移Z1=1时，附加约束对结构的作用力。 R1P：外荷载单独作用于基本结构时，附加约束对结构的作用力。
4 解位移法基本方程，得Z1。(r11>0,方程有唯一解) Z1= - R1P/r11
θA=1
A
B
M AB
=
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3iθ A
− 3i
Δ l
+
M
F AB
A
B
Δ=1
3i/l
3i
8
EI EA
l
MAB
MBA
M
F AB
M
F BA
θA
θB
单跨梁荷载 形常数(要求记住)
A
B
QAB
单跨梁杆端力
A
B
QAFB
单跨梁固端力
M AB
=
iθ A
− iθB
+
M
F AB
M BA
=
−iθ A
+ iθB
+
M
F BA
θA=1
基本方程：附加约束对结构的作用力为 零。
R1=0
R1=R11+R1P=r11Z1+R1P=0
r11 Z1=1
R11=r11Z1
12
r11
20kN R1P 2kN/m
Z1=1
Z1=1
4i r11
2i 3i
r11
4i
3i
r11=4i+3i=7i
固定状态
Pl/8=20×6/8=15
ql2/8=2×62/8=9
Z2 r22
Z2=1
rij(kij)：Zj=1作用下 基本结构附加约束i 的约束反力。
rii>0, rij=rji RiP：外荷载作用下 基本结构附加约束i 的约束反力。
作业： 7-6, 7-9, 7-10 24
位移法计算二个未知数结构的步骤
1 选取基本结构，确定基本未知数，列位移法基本方程。 r11Z1 +r12Z2 +R1P=0 r21Z1 +r22Z2 +R2P=0
Pl/8 10
m
P
l m
l Pl/2
m/2
t1
t2
Pl/2
l
EAαt0 Δt=t1-t2
EAαt0 t0=0.5(t1+t2)
t1 l t2
Δt=t1-t2
1.5EIαΔt/h
EAαt0 EIαΔt/h EAαt0
EAαt0
t1 l t2
Δt=t1-t2
EAαt0
EIαΔt/h 11
§7-3 一个未知数结构的计算(基本体系法)
M1
15 15R1P 9
MP
R1P
15
9
R1P=15-9=6
M=M1Z1+MP 16.71 11.57
Z1= - R1P/r11= - 6/(7i)
15.86
3.21
M(kN·m)
作业:7-2(a)、(b)、(c)(要求完整求解) , 7-7, 7-8, 7-18
13
位移法计算一个未知数结构(刚架)的步骤
m
MP
m
R1P= - m
r11Z1 + R1P =0 Z1= - R1P/r11=ml/(12EI)
M=M1Z1+MP m/3
m/6 2m/3
M
m/3 17
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图。(悬臂杆的处理方法1)
q
P
3i r11
r11 3i 4i
EI
a
4i
Z1=1
r11=4i+3i=7i
a q
基本体系
i1 / h1 Σi / h2
P
i2 / h2 Σi / h2
P
i3 / h3 Σi / h2
P
R1P
P MP R1P
3i1/h1 3i2/h2 3i3/h3
3i3
r11
3i1 h12
3i2 h22
h32
3i3/h3
3i3 h32
P r11Z1 + R1P =0
∑ R1P= - P ∑ Z1 = P /
1
严禁传播!
§7-1 位移法基本未知数的确定
Δ1 P Δ2
θm θ
P
θθ
知道了结点位移，就可以求得各杆的内力。
位移法的未知数：独立的结点位移（包括角位移与线位移）
桁架结点位移：一个结点有两个结点线位移。
作业:7-1
2
对于刚架 Z1
不计杆件轴力引起的轴向变形， 不计弯曲变形引起的杆件的伸长（小变形）。
M=M1Z1+MP 3ql2/32
3ql2/16 M 16
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图。(结点力矩的处理)
m
4EI/l
r11
EI
r11 l/2 2EI/l 8EI/l
4EI/l
8EI/l
l
M1 4EI/l
r11=4EI/l+8EI/l=12EI/l
Z1 m EI 基本体系
R1P
R1P R1P+ m = 0
P i
ih
6i/h
P
6i/h
r11
MP
l
M1
6i/h Z1
12i/h2
6i/h 12i/h2
P r11
R1P= - P
R1P R1P
基本结构 r11Z1 + R1P =0 Z1=Ph2/(24i) M=M1Z1+MP
6i/h 12i/h2
6i/h
12i/h2
r11=12i/h2+12i/h2=24i/h2
20kN 2kN/m EI
基本未知数(量)：独立的结点位移（角 位移与线位移）。
3m 3m 6m
=
20kN
R1 2kN/m
=
20kN
Z1 R1P 2kN/m
固定状态
+
R11
Z1 放松状态
基本结构：增加附加约束，约束结点位 移，使结构各个杆件成为可计算的单跨 梁。
基本体系：基本结构上作用了外荷载与 结点位移。
q
R1P
Z1
基本体系
MP
r11 3i
4i r11=4i+3i=7i
R1P qa2/8 R1P= qa2/8
qa2/14
r11Z1 + R1P =0 Z1= - R1P/r11= - qa2/(56i)
M=M1Z1+MP
5qa2/56 M
15
qa2/28
例：用位移法计算图示结构,作弯矩图。
q
ql
3i r11