第8讲 定积分的基本性质

∑ ∑ 故 ωi f ∆ xi ≤ ωif ∆ xi < ε , 即 f 在[a,b]上可积.
T
且由于 − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) , 得到
b
b
b
−∫a f ( x) dx ≤ ∫a f ( x)dx ≤ ∫a f ( x) dx,
b
b
因此证得 ∫a f ( x)d x ≤ ∫a f ( x) d x.
b
∫ f ( x)dx = 0, 于是对 a, b, c 的任何大小顺序, 恒有 a
b
c
b
∫= a f ( x)dx ∫a f ( x)dx + ∫c f ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
1
∫ 例1 求 f ( x)dx, 其中 −1
f
(
x
)
=
T′
T ′′
因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积.
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
若 f 在 [a, b] 上可积, 由必要性证明, 若分割 T 使点
c 为其中一个分点，则 T 在 [a,c]的部分 T′ 构成对
[a,c]的分割，在[c,b]的部分 T′′ 构成对[c,b]的分割.
b
b
∫a f ( x) d x < ∫a g( x) d x.
注3 若 f ( x) < g( x), x ∈[a, b], 由 f , g在 [a, b] 上可
积,可得
b
b
∫a f ( x)d x < ∫a g( x)d x.
此结论, 由本章总练习题11证明.
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质6
若 f 在 [a, b] 上可积, 则 | f |在 [a, b] 上也可积,
且
b
b
∫a f ( x) d x ≤ ∫a f ( x) d x.
证 ∀ε > 0. 因为 f 在[a,b]上可积，∃ 分割 T , 使得
∑ωif ∆xi < ε . 由 f (x′) − f (x′′) ≤ f (x′) − f (x′′) , 得
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∑ ∑ ωi′∆ xi′ + ωi′′∆ xi′′ < ε .
T′
T ′′
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积， 则∀ε > 0, ∃分割T ,
∑ 使 ωiΔxi < ε . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T ∗.
x ∈[a, b] , 且存在 x0 ∈[a, b], 使 f ( x0 ) < g( x0 ), 则
b
b
∫a f ( x) d x < ∫a g( x) d x.
证 g( x) − f ( x) ≥ 0, 且 g( x0 ) − f ( x0 ) > 0, 不妨设
x0 ∈ (a, b). 由连续函数的局部保号性质, ∃ δ > 0,
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
第八讲 定积分的基本性质
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质4
f 在[a, b]上可积的充要条件是: ∀c ∈ (a, b),
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 且此时有
b
c
b
∫= a f ( x)dx ∫a f ( x)dx + ∫c f ( x)dx
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积分中值定理
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质5
b
若 f 在 [a, b]上非负、可积, 则 ∫a f ( x) dx ≥ 0.
∫ = 证 若 J
b
f ( x) dx < 0. 对 − J > 0,
∃δ > 0, 当 T
<δ,
a
∑ ∀ξi ∈[ xi−1, xi ],
这个性质的逆命题一般不成立. 例如函数
1 , x为有理数, f ( x) = −1 , x为无理数
在[0,1]上不可积，但是 f ( x) ≡ 1 在[0,1]上可积.
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
注1 由 f ( x) ≤ g( x), 且 f ( x) ≡ g( x), 一般不能推得
2x − e−x
1, ,
− 1 ≤ x < 0, 0 ≤ x ≤ 1.
解 利用区间可加性，有
1
0
1
∫ ∫ ∫ = f ( x)dx f ( x)dx + f ( x)dx
−1
−1
0
∫ ∫ =
0
(2x − 1)dx +
1e− xdx
−1
0
=( x2 − x ) 0 − e− x 1
−1
0
=−2 − e−1 + 1 =−1 − e−1 .
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
注2 例1中条件 f 与 g 的连续性, 可减弱为: f 和 g 在[a,b]上可积， f ( x) ≤ g( x), x ∈[a,b], 且存在
f 和 g 的连续点 x0 ∈[a, b], 使 f ( x0 ) < g( x0 ), 则
T
ωi f =sup{ f ( x′) − f ( x′′) x′, x′′ ∈[ xi−1, xi ] }
≤ sup{ f ( x′) − f ( x′′) x′, x′′ ∈[ xi−1, xi ] } = ωif .
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
且 ∑ f (ξ )i= ∆ xi ∑ f (ξi ) ∆ xi′ + ∑ f (ξi ) ∆ xi′′.
T
T′
T ′′
令 T → 0， 则 T′ → 0， T′′ → 0, 即得
b
c
b
∫= a f ( x)dx ∫a f ( x)dx + ∫c f ( x)dx.
b
a
注 按规定：a > b 时∫a f ( x)dx = −∫b f ( x)dx, a = b 时
f (ξi )Δxi − J < −J .
T
因此
n
∑ f (ξi )∆xi < −J + J = 0,
i =1
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这与 f (ξi ) ≥ 0, Δxi > 0 矛盾.
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
推论
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 且 f ( x) ≤ g( x), x ∈[a, b],
T
由§3习题第1题, 知道
∑ ∑ ω∗Δx∗ ≤
i
i
ωiΔxi < ε .
T∗
T
分割T *在[a, c] 和[c,b]上的部分，分别构成对[a, c] 和
[c, b] 的分割,记为 T′ 和 T′′, 则
∑ ∑ ∑ ∑ ωi′ ∆ xi′ ≤ ωi* ∆ xi* < ε , ωi′′∆ xi′′≤ ωi* ∆ xi* < ε .
当 x ∈( x0 − δ , x0 + δ )⊂ [a, b] 时,
g(x) −
f
(x)
>
1[ 2
g( x0 ) −
f
( x0 )
].
由此推得
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
b
∫a [ g( x) − f ( x) ] d x
∫ ∫ = [ x0−δ g( x) − f ( x) ]dx + [ x0+δ g( x) − f ( x) ]d x
b
b
则 ∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
证 设 F ( x) = g( x) − f ( x) ≥ 0, x ∈[a, b], 则
b
b
b
0 ≤ ∫a F ( x)dx = ∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx,
即
b
b
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
b
b
∫a f ( x)dx < ∫a g( x)dx. 但若 f ( x) 和 g( x)在 [a, b]
上连续， 则可得到严格不等式
b
b
∫a f (x)dx < ∫a g(x)dx.
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
例2 设 f ( x) 和 g( x) 在 [a, b] 上连续, f ( x) ≤ g( x),
证 (充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
∀ε > 0, ∃[a,c]与[c,b]上分割T′与T′′, 使得
∑ ∑ T′
ωi′∆ xi′
<
ε
2
,
T ′′
ωi′′∆ xi′′<
ε
2
.
令 T= T′ + T′′, 它是 [a, b] 的一个分割,
∑ωi∆ x=i
T
数学分析 第九章 定积分
a
x0 −δ
b
∫+ [ g( x) − f ( x) ]d x x0 +δ
∫≥ [ x0+δ g( x) − f ( x) ]d x ≥ g( x0 ) − f ( x0 ) 2δ
x0 −δ
2
=[ g( x0 ) − f ( x0 ) ]δ > 0 ,
即
b
b
∫a f ( x)d x < ∫a g( x)d x.