数列极限中的典型例题
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
极限经典例题集
例题1．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n，S n，成等比数列。
（1）求a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想a n的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求a n。
1..解析：∵a n，S n，成等比数列，∴（n≥2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把a1=1，，代入（*）得：。
同理可得：由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。
（ii）假设n=k（k≥2）时，成立。
故∴或（舍去）由得即n=k+1时，命题也成立。
由（i）（ii）可知，对一切n∈N成立。
（3）由（2）得数列前n项的和，所有项和（4）对于{a n}的通项还可以这样来求：∵，∴，故是以为首项，为公差的等差数列故，注：对于含有a n，S n的关系式中，常将a n用S n－S n－1（n≥2）代（或S n+1－S n用a n+1代），化成S n，S n+1（或a n，a n+1）的递归关系式。
例1.数列{a n}满足下列条件，求其通项公式a n。
(1)a1=1，(2)a1=2，(3)a1=2，{a n}的前n项和S n满足解：(1)……将以上各式叠加，得∴又n=1时，(2)……将以上各式叠乘，得∴a n=n(n+1)(n≥2)当n=1时，1×(1+1)=2 = a1∴a n=n(n+1)(n∈N*)(3)∴2S n-1S n=S n-1-S n(n≥2)在上式两边同除以S n S n-1，得∴数列为首项，公差为2的等差数列。
例2、在等差数列{a n}中(1)若a p=q，a q=p(p、q∈N*且q≠p)，求a p+q；(2){a n}共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n；(3)若{a n}前n项和记为S n，且有，求S m+n的范围解：(1)∵a q=a p+(q-p)d∴a p+q=a p+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)∵a1+a2+a3+a4=124a n+a n-1+a n-2+a n-3=156∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=280∴4(a1+a n)=280∴a1+a n=70∴n=6(3)设前n项和将以上两式相减得：两边同除以m-n，得例3、在数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=1，S n+1=4a n+2(n∈N*) (1)设b n=a n+1-2a n，求证数列{b n}为等比数列并求其通项公式；(2)设，求证数列{C n}是等差数列并求其通项解：(1)∵S n+1=4a n+2∴S n+2=4a n+1+2将以上两式相减，得a n+2=4a n+1-4a n∴a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)又s2=4a1+2=a1 +a2∴a2 =5∴数列{b n}是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项，q=2为公比的等比数列。
数列极限典型例题
数列极限典型例题字数限制为2500字的文章极为冗长，因此我会尝试为您写一篇约500字的短文，探讨数列中的极限典型例题。
数列是数学中非常重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
而数列的极限是数列中最为重要的概念之一。
本文将介绍数列极限的基本定义以及探讨一些典型的数列极限例题。
首先，什么是数列的极限呢？简单来说，数列的极限表示数列中的值在趋于无限接近某个确定的值，这个确定的值就被称为数列的极限。
我们用符号“lim”来表示数列的极限。
现在我们来看一个例题：求数列an = 2n的极限。
要求这个数列的极限，我们可以分别计算当n趋于正无穷和负无穷时这个数列的值，然后比较它们的值是否一致。
当n趋于正无穷时，数列的值变得越来越大，接近无穷大。
当n趋于负无穷时，数列的值变得越来越小，接近负无穷大。
根据这个分析，我们可以得出结论：数列an = 2n的极限不存在。
接下来我们看另一个例题：求数列bn = (-1)n的极限。
同样，我们可以计算当n趋于正无穷和负无穷时这个数列的值。
当n趋于正无穷时，数列的值交替变为1和-1，没有趋于特定的值。
同样地，当n趋于负无穷时，数列的值也交替变为1和-1，没有趋于特定的值。
所以数列bn = (-1)n的极限也不存在。
最后我们来看一个有界数列的极限例题：求数列cn = (-1)n/n的极限。
对于这个数列，我们同样可以计算当n趋于正无穷和负无穷时的值。
当n趋于正无穷时，数列的值交替变为-1/n和1/n，但是无论n取多大，这个数列的绝对值都小于1/n。
同样地，当n趋于负无穷时，数列的值也交替变为-1/n和1/n，但是无论n取多小，这个数列的绝对值都小于1/n。
综上所述，我们可以得出结论：数列cn = (-1)n/n的极限为0。
以上就是数列极限的基本定义以及一些典型例题的探讨。
通过这些例题的分析，我们可以更好地理解数列极限的概念，并学会如何计算数列的极限。
数列极限作为数学中的基础知识，在各个数学分支中有重要的应用，希望本文对您有所帮助。
数列极限例题
数列极限例题数列极限是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
理解数列极限的概念对于深入学习数学是至关重要的。
在本文中，我们将通过例题来详细介绍数列极限的概念和计算方法。
首先，让我们来看一个简单的数列极限例题：求极限lim(n→∞)（1/n）。
这个数列是一个常见的数列，数列的通项公式为1/n。
我们要求这个数列当n趋向于无穷大时的极限。
根据数列极限的定义，当n趋向于无穷大时，1/n趋近于0。
因此，极限lim(n→∞)（1/n）= 0。
接着，我们来看一个稍复杂一点的数列极限例题：求极限lim(n→∞)（n²+3n）/n²。
这个数列的通项公式为(n²+3n)/n²。
我们要求这个数列当n趋向于无穷大时的极限。
可以将数列中的n²扩展开来，得到(n²/n² + 3n/n²)。
简化得到1 + 3/n。
当n趋向于无穷大时，3/n趋近于0，因此极限lim(n→∞)（n²+3n）/n² = 1。
最后，我们来看一个更具挑战性的数列极限例题：求极限lim(n→∞)（n²+3n²+5n²+...+(2n-1)n²）/n²。
这个数列的通项公式可以写成(n² + 3n² + 5n² + ... + (2n-1)n²)/n²。
将分子中的各项合并得到n²(1 + 3 + 5 + ... + 2n-1)/n²。
数列1 + 3 + 5+ ... + 2n-1可以看作是n²的等差数列的和，公式为n²(n²-1)/2。
因此，极限lim(n→∞)（n²+3n²+5n²+...+(2n-1)n²）/n² = (n²)²(n²-1)/2n²² = (n²-1)/2。
数列的极限经典习题
1Chapi数列的极限1.设X n 0 n 1,2,L 及lim X nn a ,用N语言, 证明：证Q X n 0 , a 0.(1)当a 0时, 那么lim x nn 0,下证lim T X nn P0.0, 则存在N 0,当n N 时，0 Xn X n 0Hm 7X70.⑵当a 0时，0,存在N坂V a X n a X n0|，此即j xn0,XiX n a 需.综上两方面，2.已知limnX n a,用N语言, 证明: Hm(1 ) 0时，那么lim X nn0, 0, 存在0,X nX n a,此即lim y xnn '0时，因为需. V Xn^aX n a Q lim x nn|Xna,则对lim ^X7 需. n0.0,存在N 0,5.3. （算术平均收敛公式）设lim X n a .令n由施笃兹公式X 1 X 2 L X n 证法X 1 X 2nL X---- n,求证：limnn a .4. li mn证法li mnli mnli mnX 1 X 2 L X n X n X 1 n 1X 2 L X n 1 由limnXn0,存在N j 0,使当nN i 时,X 1 X 2 LX nn令cX 1 a 1 L X 1 X 2 LX nn存在 N 2 0, 使当 再令 NmaX N 1 X 1 X 2 LX n2aX N IannX n a,N 2 lim n limnnnX iX N 1a X N IX n那么N 2时，有一n，故当n N 时，由①,②有LX n（几何平均收敛公式）设X n 0lim y X 1X 2L X n a .nlim y X 1X 2 L 证明：lim V anX nn 1,2, L .且 lim X n n证 Q lim X na , limln x nnn再由算术平均收敛公式可知1In^ l nX 2 L Inx nalim e ne a .n其中a 1.a .证明：Ina .则 0,依伯努利不等式，有n11 n 1 n a n1 ,6 .7 .8 .要na 1证明：若limn证由题设a na*limn,只要a,an从而当n N时总有所以则limna,a na n当且仅当a 0时,逆命题也成立.设a R,证当nna n要使只需即若取所以limn且a 1,用0.数列a 1 a 1.所以，有n ——.取N ——,则当a.当且仅当a为何值时逆命题也成立.0,a na nN语言,证明：N 0,当n N时，皆有a nlimn0.2（由二项展开式得）n 1 a 1利用单调有界性证明：设x 1，则当n N时, 就有1,a R是无穷小序列.,y 1 b 0,且Xi 1 4^nX ny nX n Y n .n 1,2, L .则 lim X nnlim Y n .n0，Y nY n 1X n 1Y n 1X n 单调增加, Y n 单调减少X n所以X n ， y n 有界.即lim X nn对Y n9.证明：数列 记X nX n Y nX n Y n2(X n Y nX n1，X nX Y n2Y n Y 1,A , lim nXn Yn两边取极限，得单调增加， 数列a n，Y na1 a2X n 单调增加，Y n所以X n , Y n 单调有界Y n X n X 1，Y nB 存在.B .1单调减少，两者收敛于同一极n 1，由平均值不等式a nX n1 ，n 1nz n 1单调减少，且1 X 1 X n Y n，必定收敛.由Y n Y n 1y 1X n11，知它们有相同的极限.即 nn1e .10.证明：若aI n证由上例知即有不等式a n即a n 单调减少有下界 11.设数列x n 满足：x 0 求 Iimx n .n证 X 01, X 1 72用数学归纳法可证2n12 丁X nn Inn .则数列01收敛. an 1 an1 12 2 In — +In 1,所以1,Xn122, X 20,1,2LI nan ,两边取对数得，I n I n1Inn nL In — n收敛.1 InIn nIn nJ 2X n ，n 1,2,3L .证明：数列x n 收敛，并72x 12n12n由①式知x n1X n0,1L L即X n 单调递增. 再由①式知1 x nX n收敛.设Iim x na ,则a 1.n两边取极限有：a 72a .a 2 2a ,又 Qa 0.a 2,即lim X n 2 .n12.设a 0, 0 X1 a, X n 1 X n 2 生,n 1,2,3L a .证明：数列Xn 收敛，并求其极限.证先用数学归纳法证明0 X n a, n N1时,结论成立,归纳假设结论对n成立,再证n 1时,因为X n 1 X nX n2 —a1一X naX n 即①式成立X n 1X nX n 单调递增, 且有上界. lim X n存在. 设为lim 焉n nX n 1 X n 2X n两边取极限得由①式及X n单调递增, 显然b 0,由②式解得b a.lim X n a .n。
数列极限证明例题
这里就有几个这样做法的例题，均为采用加1 的做法。
就只想弄懂一定：到底有没有必要“+1”？• 26 •例1证明数列的极限是1.亠n为了使上-“I 小于任总给定的正数£（设£<1）,只要 丄<e或”〉丄.n e所以，W E >0 .取N= [ + ] •则当>/>N 时•就有即1屛4（一门"—.不等式|匸・tl|<E 必定成立•所以•取N= --1，则当 矶已知•"倍•证砲列G 的扱限是。
・（-!）•5"厂° Vc>0 (ift Y1)■只枣或”洱・1证lx (n + i)}<VTT->N 时就有(-D" n /(7ny° 5|叫(［爲=().. • 26 •*…仆十I)-*3-根据数列极限的定义证明:(2)(3) Hrn /2±Z =1ITY >n ⑷亞0. 999^=1.证 ⑴ 因为要使|+一0|=+<@,只要几>卡,所以办>0,取N=［打 则当n>N 时，就有怜一0 <e» ffllim^=0.⑵因为IlSbi •卜总师<羔要使|鶉-引0只要 即"〉右所以Ve>0,取N=［打则当 QN 时.就有|1|<€, 注 本题中所采用的证明方法是:先将比一川等价变形，然后适当放大•使N 容 易由放大后的世小于€的不等式中求出•这竝定义证明极限的问题中是经常采用的.要使 血吾| <c ■只要磊即”〉場.所以Ve>0,取N=［熾］则 当”〉N 时，就有 血王疋_1 <€,即lim 坐土艺=1. n LOO n即lim JT 3并+1 2刀+1 3 2* （3）因为I n 2n 2（4）因为|0. 999^9-l|=y~，要使|0・ 999^?-l|<e,只要^<e.即n>lg-,所以Ve>0（不妨设€<1）,取N=）g丄］，则当n>N时，就有C L. €」。
数列极限中的典型例题
������������������
������→∞
������ ������
������������
=1.
证明
由0
<
������������������������
<
������
得
������������
<
������������−1,
和
lim
������→∞
������������
=
lim
������→∞
数列极限中的典型例题
2014.4.30
一.
不定式求极限(������������
,
∞ ∞
)
方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形)
斯铎兹定理(Stolz)(离散情形)
斯铎兹定理1(������������型）
设数列{������������
}趋于零，数列{������������}单调减趋于零，则当���l���i→m∞
例1 设������������ ∈ (������, ������), ������������+������= ������������(������ − ������������),������ = ������, ������, ⋯ , 证明
������������������
������→∞
取������������
=
1 ������������
,
������
=
1,2,
⋯
,
则
lim
������→∞
������������
=
������
=0
lim
数列极限计算练习题
数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。
而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。
在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。
本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。
练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。
解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。
通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。
2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。
解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。
洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。
求数列极限的典型例题
求数列极限的典型例题1. 数列极限的基本概念好吧，咱们先聊聊“数列极限”是什么东西。
听到这个词，有些小伙伴可能会觉得有点晦涩，但其实它就像是在你追求目标时，永远朝着一个方向走。
比如说，你在吃泡面，面条一根接一根地煮，最后不就是想要那碗美味的泡面吗？数列极限就像是那些面条，随着时间的推移，越来越接近那个最终的目标。
简单说，就是数列中的数字越来越接近某个固定的数值。
1.1 数列的构成首先，咱们得明白，数列其实就是一串数字的集合。
就像你收集邮票，或者存钱，都是一点一点积累起来的。
这些数字可以是任意的，但一旦它们有了某种规律，那就更有意思了！你可以想象一下，一个数列就像是一条蜿蜒的小路，有高有低，有起有伏，但总是朝着某个地方前进。
1.2 极限的意义接下来，咱们聊聊极限。
极限就是指，当你无限接近某个值时的状态。
就好比你追一个人，越追越近，最后你们总会碰到一起。
极限让我们可以理解数列在无穷远处的行为，仿佛是在做一个长途旅行，虽然现在离目的地还远，但心中早已打定主意，不达目的誓不罢休。
2. 常见的数列极限例题现在，咱们来点实际的，举几个例子，让大家更加明白数列极限是怎么回事。
比如，咱们来看一个很经典的数列：( a_n = frac{1{n )。
当 ( n ) 变得越来越大时，这个数列的值会趋向于0。
听起来简单吧？但实际上，它在告诉我们一种深刻的哲理：无论你多么强大，总会有一种力量能让你慢下来。
2.1 例子解析咱们再来看看另一个数列：( b_n = frac{n{n+1 )。
当 ( n ) 越来越大时，这个数列的极限也会趋近于1。
这个过程就像是你在考试前努力复习，结果最后都快要考满分了。
其实，每个数列的极限都藏着一个故事，你只需细心观察。
2.2 直观理解更直观地说，如果你想知道一个数列的极限，可以试试图形化的方式。
比如，画一条图线，随着 ( n ) 的增加，你会发现它越来越接近某个水平线。
这种图形就像是生活中的风景，虽然一路上风景各异，但终究你会看到那条直线，心中默念：“终于到了！”3. 求极限的技巧与方法当然，求极限的方法也有很多，咱们简单聊几个。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。
＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。
综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。
121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。
＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
用定义证明数列极限例题
用定义证明数列极限例题
在数学中，数列极限是一个重要的概念，它描述了数列中随着项数无限增加，数列中每一项趋向于一个确定值的现象。
我们可以通过定义来证明数列极限是否存在，以下是一个例题：
给定数列 {an}，其中 an = 1/n，证明该数列的极限为 0。
根据数列极限的定义，对于任意正数ε，存在正整数N，当 n>N 时，|an - L| < ε，其中L为数列极限。
对于数列 {an}，当 n>N 时，有：
|an - 0| = |1/n - 0| = 1/n < ε
根据不等式性质，可以得出：
n > 1/ε
因此，对于任意正数ε，我们可以选择一个正整数N=1/ε，使得当 n>N 时，|an - 0| < ε，即数列 {an} 的极限为0。
- 1 -。
数列的极限(1)
典型例题讲解例1．求323232lim 4321n n n nn n n →∞-+--+-.分析：当n →∞时，－3n 3+2n 2－n →∞，4n 3－3n 2+2n －1→∞，是一个∞∞型的问题，可以设法变形，使之出现1a n 的形式。
因为当a >0时，1an→0，为此只需将分子分母同除以n 3即可。
解：323232lim 4321n n n n n n n →∞-+--+-=2232133lim 32144n n n n n n→∞-+-=--+-. 例2．设a ∈R ，求112lim 2n n n n n a a -+→∞-+的值。
分析：求极限时，涉及到q n 型的极限，当|q |<1时，q n →0；q =1时，q n →1；q =－1时，q n 的极限不存在；|q |>1时，q n 的极限也不存在。
因此，在变形时，设法出现|q |<1时q n 的形式，为此必须对|a |与2的大小分类讨论。
解：（1）当|a |>2时，21a <，则原式=1121()1lim 2()n n n a a a aa -→∞-=+；（2）当|a |<2时，12a <，则原式=121()112lim 22()2n n n a a a a -→∞-⋅-==-+； （3）当a =2时，原式=1112221lim lim 22326n n n nn n n n --+→∞→∞-==+⋅； （4）当a =－2时，原式=1111(2)2(2)21lim lim 2(2)(2)[(2)2]2n n n n n n n n n n --+-→∞→∞----==-+----.例3．求n →∞分析：当n →∞时，所求的极限相当于0·∞型，需要设法化为我们相对熟悉的∞∞型。
解：n →∞12n n n ===. 说明：对于这种含有根号的0·∞型的极限，可以采用分子有理化或分母有理∞∞型。
数列极限中的典型例题
0<
+1
=1
− < 1, = 1,2, ⋯
所以数列 单调减且有下界，因此 lim = 存在。在递推公式 + = ( − )
→∞
两边令 → ∞取极限得， = (1 − ),所以
lim = =0
→∞
取 =
1
,
= 1,2, ⋯ , 则
1,2, ⋯ , ln( − )均有意义，由于对 > 0, 不等式ln ≤ − 1恒成立，因此有
+1 − = ln − ≤ − − 1, = 2,3, ⋯ .
由此得，
S+1 ≤ − 1, = 2,3, ⋯
.
从而得，
ln( − S+1 ) ≥ ln − + 1 = 0, = 2,3, ⋯
→∞
=0
证明令 = + + ⋯ + ， = 1,2, ⋯ ，及 lim = .则
→∞
1 = 1， = − −1, = 1,2, ⋯ ，
于是
11 + 22 + ⋯ + 11 + 2(2−1) + ⋯ + ( −−1)
也存在或为+∞，且
→∞
+∞时, lim
− +1
lim
= lim
→∞
→∞ − +1
∞
+1 −
存在或为+∞时，
→∞ +1 −
斯铎兹定理2(∞型） 设数列{ }单调增加且 lim = +∞.如果 lim
第一讲 数列的极限典型例题
第一讲 数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义N n N a x n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x n .注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-⇔ε另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度.注2 若n n x ∞→lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >∃N ∈∀>∃⇔≠∞→00,,0lim ε，有00ε≥-a x n .2. 子列的定义在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{}k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥．注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x k n .注4 ⇔=∞→a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ，若0>∃M ，使得对N n >∀，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量对数列{}n x ，如果0>∀G ，N n N >∀N ∈∃,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记作∞=∞→n n x lim ．注1 ∞只是一个记号，不是确切的数．当{}n x 为无穷大量时，数列{}n x 是发散的，即nn x ∞→lim 不存在．注2 若∞=∞→n n x lim ，则{}n x 无界，反之不真．注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量，则{}n n y x +为无穷大量． 注4 设{}n x 为无穷大量，{}n y 有界，则{}n n y x ±为无穷大量．注5 设{}n x 为无穷大量，对数列{}n y ，若0>∃δ，,N ∈∃N 使得对N n >∀，有δ≥n y ，则{}n n y x 为无穷大量．特别的，若0≠→a y n ，则{}n n y x 为无穷大量． 5.无穷小量若0lim =∞→n n x ，则称{}n x 为无穷小量．注1 若0lim =∞→n n x ，{}n y 有界，则0lim =∞→n n n y x ．注2 若∞=∞→n n x lim ，则01lim=∞→nn x ；若0l i m =∞→n n x ，且,N ∈∃N 使得对N n >∀，0≠n x ，则∞=∞→nn x 1lim．6.收敛数列的性质（1）若{}n x 收敛，则{}n x 必有界，反之不真． （2）若{}n x 收敛，则极限必唯一．（3）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且b a >，则N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >．注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >，则b a ≥．注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列{}n x 、{}n y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +，{}n n y x -，{}n n y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n y x （0lim ≠∞→nn y ）也收敛，且有()=±∞→n n n y x lim ±∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=⋅∞→n n n y x lim ⋅∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=∞→nnn y x lim n n nn y x ∞→∞→lim lim （0lim ≠∞→n n y ）．7. 迫敛性（夹逼定理）若N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n n z x y ≤≤，且n n y ∞→lim a z n n ==∞→lim ，则a x n n =∞→lim ．8. 单调有界定理单调递增有上界数列{}n x 必收敛，单调递减有下界数列{}n x 必收敛． 9. Cauchy 收敛准则数列{}n x 收敛的充要条件是：N m n N >∀N ∈∃>∀,,,0ε，有ε<-m n x x ．注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． 10.Bolzano Weierstrass 定理 有界数列必有收敛子列．11. 7182818284.211lim ==⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e n nn12.几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 s i n ≤x . s i n x x ≤ (2) 算术－几何－调和平均不等式：对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H (调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++)1(,1)1(>+>+⇒n nx x n（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1 =),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12（５）N n ∈∀，nn n 1)11ln(11<+<+ 13. O. Stolz 公式二、典型例题 1．用“N -ε”“N G -”证明数列的极限．（必须掌握） 例１ 用定义证明下列各式：（１）163153lim22=+-++∞→n n n n n ； （２）设0>n x ，a x n n =∞→lim ，则a x n n =∞→lim；（97，北大，10分） （３）0ln lim=∞→αn nn )0(>α证明：（１）0>∀ε，欲使不等式ε<=<-<+--=-+-++nn n n n n n n n n n n n 6636635616315322222成立，只须ε6>n ，于是，0>∀ε，取1]6[+=εN ，当N n >时，有ε<<-+-++n n n n n 616315322 即 163153lim22=+-++∞→n n n n n ． （２）由a x n n =∞→lim ，0>n x ，知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εa a x n <-，则<+-=-ax a x a x n n n ε<-aa x n于是，N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有<-a x n ε<-aa x n ，即 a x n n =∞→lim ．（３）已知n n ln >，因为<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=<αααααααn n n n n n 1ln 2ln 2ln 022≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡αααn n 122≤⋅αααnn ][2222244αααααn n n =⋅，所以，0>∀ε，欲使不等式=-0ln αn n ≤αnnln εαα<24n 成立，只须ααε24⎪⎭⎫ ⎝⎛>n ．于是，0>∀ε，取=N 142+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛ααε，当N n >时，有=-0ln αn n ≤αn nln εαα<24n ，即 0ln lim =∞→αn nn ．评注１ 本例中，我们均将a x n -做了适当的变形，使得ε<≤-)(n g a x n ，从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N ．将a x n -放大时要注意两点：①)(n g 应满足当∞→n 时，0)(→n g ．这是因为要使ε<)(n g ，)(n g 必须能够任意小；②不等式ε<)(n g 容易求解．评注２ 用定义证明a x n →)(∞→n ，对0>∀ε，只要找到一个自然数)(εN ，使得当)(εN n >时，有ε<-a x n 即可．关键证明N ∈)(εN 的存在性．评注３ 在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即： （１）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εM a x n <-（M 为任一正常数）. （２）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有k n a x ε<-)(N k ∈.例２ 用定义证明下列各式： （１）1lim=∞→n n n ；（92，南开，10分） （２）0lim =∞→n kn an ),1(N k a ∈>证明：（１）（方法一）由于1>n n （1>n ），可令λ+=1n n （0>λ），则()>++-++=+==n n nnn n n n n λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时，21nn >-，有 >n >-22)1(λn n 2222)1(44-=nn n n λ即 nn n210<-<．0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2εN ，当N n >时，有 1-nn ε<<n 2，即 1lim =∞→nn n ．（方法二）因为n n n n n n n n n n n n n212211)111(112+<-+=++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤- 个， 所以1-nn n2<，0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取142+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，当N n >时，有1-nn ε<<n2，即 1lim=∞→nn n ．（２）当1=k 时，由于1>a ，可记λ+=1a （0>λ），则>++-++=+=n n n n n n a λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时，21nn >-，于是有 <<n an 02242)1(λλn n n n <-．0>∀ε，欲使不等式0-n a n <<n a n ελ<24n 成立，只须24ελ>n ．对0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2ελN ，当N n >时，有0-n a n <<n an ελ<24n ． 当1>k 时，11>k a （1>a ），而=n ka n kn k a n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(1．则由以上证明知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有ε<<nka n )(01，即kn k a n ε<<0，故 0lim =∞→n kn an ．评注１ 在本例中，0>∀ε，要从不等式ε<-a x n 中解得N 非常困难．根据n x 的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个λ是变量，一个λ是定值． 评注２ 从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处． 评注３ 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例 用定义证明：0!lim =∞→n a nn （0>a ）（山东大学）证明：当10≤<a 时，结论显然成立．当1>a 时，欲使[][][][]ε<⋅<⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=-n a a a n a a a a a a a n a a n !1210! 成立， 只须>n [][]ε!1a a a +．于是0>∀ε，取=N [][]1!1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+εa a a ，当N n >时，有[][]ε<⋅<-n aa a n a a n !0!即 0!lim =∞→n a nn ． 例 设1<α，用“N -ε”语言，证明：0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．证明：当0≤α时，结论恒成立． 当10<<α时，0>∀ε，欲使<-+=--+]1)11[(0)1(ααααn n n n εαα<=-+-11)111(nn n只须>n αε-111．于是0>∀ε，取=N 1111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-αε，当N n >时，有 <--+0)1(ααn n εα<-11n即 0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．2.迫敛性（夹逼定理）n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．n n n z x y ≤≤，b y n →，c z n →}{n x ⇒有界，但不能说明n x 有极限．使用夹逼定理时，要求n n z y ,趋于同一个数．例 求证：0!lim =∞→n a nn （a 为常数）．分析：na m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= 1321!，因a 为固定常数，必存在正整数m ，使1+<≤m a m ，因此，自1+m a 开始，11<+m a ，12<+m a ，1,<n a，且∞→n 时，0→na． 证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使1+<m a ，当1+≥m n 时，有≤⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=≤n a m a m a a a a n an1321!0n am am⋅!， 由于∞→n lim0!=⋅na m am，由夹逼定理得0!lim=∞→n ann ，即 0!lim =∞→n a nn ． 评注 当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．例 若}{n a 是正数数列，且02lim21=+++∞→nna a a nn ，则0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ． 证明：由()()()n n na a a ⋅⋅⋅ 2121nna a a n+++≤212，知n n na a a n ⋅⋅⋅⋅ 21!nna a a n+++≤212即 n n a a a ⋅⋅⋅ 21n n n n na a a !1221⋅+++≤．于是，n n a a a n ⋅⋅⋅<210nnn nna a a !1221⋅+++≤，而由已知02lim21=+++∞→nna a a nn 及∞→n lim0!1=nn故 ∞→n lim0!1221=⋅+++nnn nna a a由夹逼定理得 0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ．评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0． 评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如： （1）0lim =∞→nn q （1<q ） （2）01lim=∞→an n （0>a ）（3）1lim=∞→nn a （0>a ） （4）1lim =∞→n n n（5）0!lim =∞→n a n n （0>a ） （6）∞→n lim 0!1=n n 例 证明：若a x n n =∞→lim （a 有限或∞±），则a nx x x nn =+++∞→ 21lim（a 有限或∞±）．证明：（１）设a 为有限，因为a x n n =∞→lim ，则11,,0N n N >∀N ∈∃>∀ε，有2ε<-a x n .于是=-+++a n x x x n21()()()na x a x a x n -++-+- 21 +-++-+-≤nax a x a x N 121 nax a x n N -++-+ 1121εε+<-+<n A n N n n A ． 其中a x a x a x A N -++-+-=121 为非负数．因为0lim=∞→nAn ，故对上述的22,,0N n N >∀N ∈∃>ε，有2ε<n A ．取},m ax {21N N N =当N n >时，有εεε=+<-+++2221a n x x x n即 a nx x x nn =+++∞→ 21lim．（２）设+∞=a ，因为+∞=∞→n n x lim ，则11,,0N n N G >∀N ∈∃>∀，有G x n 2>，且0121>+++N x x x ．于是=+++nx x x n21 ++++n x x x N 121 n x x n N +++ 11G nN G n N n G nx x nN 11122)(21-=->++>+取12N N =，当N n >时，G G nN <12，于是 G G G nx x x n=->+++221 ．即 +∞=+++∞→nx x x nn 21lim（３）-∞=a 时证法与（２）类似．评注１ 这一结论也称Cauchy 第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（１）01211lim=+++∞→nn n （已知01lim =∞→n n ）；（２）1321lim 3=++++∞→nnn n （已知1lim =∞→n n n ）．评注２ 此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“}{n x 为单调数列”，则由a nx x x nn =+++∞→ 21lim可推出a x n n =∞→lim ．评注３ 证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若10<<λ，a a n n =∞→lim （a 为有限数），证明：λλλλ-=++++--∞→1)(lim 0221aa a a a n n n n n ． 分析：令0221a a a a x nn n n n λλλ++++=-- ，则01101221)()()()1(a a a a a a a a x n n n n n n n n +-----++-+-+=-λλλλλ ．只须证 0)()()(101221→-++-+----a a a a a a nn n n n λλλ （∞→n ）由于a a n n =∞→lim ，故N n N >∀N ∈∃,，有ε<--1n n a a ．于是)()()(101221a a a a a a n n n n n -++-+----λλλ101111221a a a a a a a a a a n N n N n N N n N n N n n n n -++-+-++-+-≤---+-+----λλλλλ 再利用0lim =∞→n n λ（10<<λ）即得．例 求下列各式的极限： （１）)2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→（２）n n n1211lim +++∞→ （３）nn nn 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→解：（１）≤+++++++++≤+++++n n n n n n n n n n n n 2222221121 1212+++++n n n∵∞→n lim n n n n +++++221 ∞→=n lim 212)1(2=+++n n n n n ， ∞→n lim 1212+++++n n n ∞→=n lim 2112)1(2=+++n n n n ， 由夹逼定理， ∴21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n （２）n n n n n=+++≤+++≤11112111 ∵1lim=∞→nn n ，由夹逼定理，∴11211lim =+++∞→n n n． （３）∵121243212642)12(531212212452321<-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅≤nn n n n n n n ， ∴12642)12(53121<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅≤⋅n n nn n n．∵∞→n lim121=⋅nnn，由夹逼定理，∴12642)12(531lim=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→nn nn ．评注nn 212-的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：)12(53)1(32+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=n n x n ，求n n x ∞→lim ．解：∵0>n x ，{}n x 单调递减，{}n x 单调递减有下界，故其极限存在． 令a x n n =∞→lim ，∵3221++⋅=+n n x x n n ∴=+∞→1lim n n x n n x ∞→lim ∞→n lim322++n n ， a a 21=， ∴0=a ，即 0lim =∞→n n x ．)2112111(lim nn +++++++∞→ （中科院） 评注 拆项：分母是两项的积，111)1(1+-=+n n n n插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项．1111111+-=+-+=+n n n n n ３单调有界必有极限 常用方法：①n n x x -+1；②nn x x 1+；③归纳法；④导数法． )(1n n x f x =+ 0)(>'x f )(x f 单调递增12x x > )()(12x f x f > 23x x > 12x x < )()(12x f x f < 23x x <0)(<'x f )(x f 单调递减 12x x > )()(12x f x f < 23x x <12x x < )()(12x f x f > 23x x >不解决决问题．命题：)(1n n x f x =+，若)(x f 单调递增，且12x x >（12x x <），则{}n x 单调递增（单调递减）．例 求下列数列极限：（1）设0>A ，01>x ，)(211nn n x A x x +=+；（98，华中科大，10分） （2）设01>x ，nnn x x x ++=+3331；（04，武大）（3）设a x =0，b x =1，221--+=n n n x x x （ ,3,2=n ）．（2000,浙大） 解：（1）首先注意A x Ax x A x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211，所以{}n x 为有下界数列． 另一方面，因为0)(21)(211≤-=-+=-+n nn n n n n x x Ax x A x x x ．（或()121)1(21221=+≤+=+A Ax A x x nn n ）故{}n x 为单调递减数列．因而n n x ∞→lim 存在，且记为a ． 由极限的四则运算，在)(211nn n x Ax x +=+两端同时取极限∞→n ，得)(21aAa a +=．并注意到0>≥A x n ，解得A a =．（2）注意到33)1(333301<++=++=<+nn n n n x x x x x ，于是{}n x 为有界数列．另一方面，由)24)(3()3(2333333333333311211121121-------+++-=++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=-++=-n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x )2)(3(31121---++-=n n n x x x 知=---+11n n n n x x x x 02133)2)(3(311211121>+=+-++-------n n n n n n x x x x x x ． 即n n x x -+1与1--n n x x 保持同号，因此{}n x 为单调数列，所以n n x ∞→lim 存在（记为a ）．由极限的四则运算，在n n n x x x ++=+3331两端同时取极限∞→n ，得aaa ++=333．并注意到30<<n x ，解得3=a ．（3）由于nn n n n n n n n n a b x x x x x x x x x x x )2()2()2(2201112111--=--=--==--=-+=----+ , 又=+-=∑-=+0101)(x x x x n m m m n a a b a a b x nn m mn +-----=+--=∑-=)21(1)21(1)()2(1)(10,所以 n n x ∞→lim 323)(2)21(1)21(1lim)(a b a a b a a b nn +=+-=+-----=∞→． 评注１ 求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：设)(1n n x f x =+（ ,2,1=n ）I x n ∈，若)(x f 在区间I 上单调递增，且12x x >（或12x x <），则数列{}n x 单调递增（或单调递减）．评注2 第三小题的方法较为典型，根据所给的11,,-+n n n x x x 之间的关系，得到n n x x -+1与1--n n x x 的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项n x 写成级数的表达式．例 设11,b a 为任意正数，且11b a ≤，设11112----+=n n n n n b a b a a ，11--=n n n b a b （ ,3,2=n ），则{}n a ，{}n b 收敛，且极限相同． 证明：由≤+=----11112n n n n n b a b a a 111122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11，知≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b ．则10b b n ≤<，即{}n b 为单调有界数列．又10b b a n n ≤≤<，且=-+=-------1111112n n n n n n n a b a b a a a =+---------111121112n n n n n n n b a b a a b a 0)(11111≥+------n n n n n b a a b a ， 所以{}n a 亦为单调有界数列．由单调有界必有极限定理，n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在，且分别记为a 与b ．在11112----+=n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ，得ba ab a +=2与ab b =．考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<． 即得0≠=b a ．例 （1）设21=x ，nn x x 121+=+，求n n x ∞→lim ；（2）设01=x ，22=x ，且02311=---+n n n x x x （ ,3,2=n ），求n n x ∞→lim ．解：（1）假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，在nn x x 121+=+两端同时取极限∞→n ，得aa 12+=，即21±=a ． 又2>n x ，故21+=a ．下面只须验证数列{}a x n -趋于零（∞→n ）．由于<-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-<+a x a x a x a x a x n n n n n 41121201a x n-⎪⎭⎫ ⎝⎛<141， 而∞→n lim 0411=-⎪⎭⎫⎝⎛a x n，由夹逼定理得=∞→n n x lim 21+=a ． （2）由02311=---+n n n x x x ，知=++n n x x 231=+-123n n x x =+--2123n n x x 62312=+=x x ， 则 2321+-=+n n x x ． 假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，得56=a ． 下面只须验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-56n x 趋于零（∞→n ）．由于 =-+-=--56232561n n x x =⎪⎭⎫⎝⎛---56321n x 56325632111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n x ． 显然∞→n lim 056321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n ，由夹逼定理得56lim =∞→n n x ．评注１ 两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设a x n n =∞→lim ，由递归方程求出a ，然后设法证明数列{}a x n -趋于零．评注２ 对数列{}n x ，若满足a x k a x n n -≤--1（ ,3,2=n ），其中10<<k ，则必有a x n n =∞→lim ．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．评注３ 本例的第二小题还可用Cauchy 收敛原理验证它们极限的存在性．设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1，证明n 1（04，上海交大）证 （1）要证n ＝1 ，只要证2lim 12nn a n →∞=，即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n+→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1，故110n n n a a a +-=>，1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞（3）由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1知，a ＝a ＋1a ，因此10a=，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. （证完）４ 利用序列的Cauchy 收敛准则例 （1）设21xx =（10≤≤x ），2221--=n n x x x ，求n n x ∞→lim ；（2）设111==y x ，n n n y x x 21+=+，n n n y x y +=+1，求nnn y x ∞→lim ； 解：（1）由21x x =（10≤≤x ），得211≤x ．假设21≤k x ，则412≤k x ．有=-=+2221k k x x x 21212≤-k x x由归纳法可得 21≤n x ． 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---++22222121n p n n pn x x x x x x111111212--+--+--+-≤-+=n p n n p n n p n x x x x x x 021211111→≤-≤≤-+-n p n x x （∞→n ）． 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a ，由极限的四则运算，在2221--=nn x x x 两端同时取极限∞→n ，得022=-+x a a ．注意到21≤n x ，故x a x n n ++-==∞→11lim ．（2）设nnn y x a =，显然1>n a . 由于nn n n n n n n a y x y x y x a ++=++==+++1112111,则 111111+++-+=-n n n n a a a a ()()<++-=--1111n n n n a a a a <<-- 141n n a a 12141a a n --. 于是=-+n p n a a n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-+-+-+-++1211 n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-≤+-+-+-++121112124141a a n p n -⎪⎭⎫⎝⎛++<--- 12141141141a a p n ---⋅=- 03141121→-⋅<-a a n (∞→n ). 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a . 由极限的四则运算，在nn a a ++=+1111两端同时取极限∞→n ，得22=a ． 注意到1>n a ，故=∞→n nn y x lim2lim =∞→n n a ． 评注1 Cauchy 收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy 收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列{}n x 有界,因此有11111≤+≤-++x x x x p p .保证了定义中的N 仅与ε有关.评注2 “对N p ∈∀有()0lim =-+∞→n p n n x x ”这种说法与Cauchy 收敛准则并不一致．这里要求对每个固定的p ，可找到既与ε又与p 的关的Ｎ，当N n >，有ε<-+n p n x x ．而Cauchy 收敛准则要求所找到的Ｎ只能与任意的ε有关．５ 利用Stolz 定理计算数列极限例 求下列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→421lim 3333n n n n（2）假设1222...lim ,lim 2n n n n a a na aa a n →∞→∞+++==证明：（00，大连理工，10）（04，上海交大）证明：Stolz 公式121211222212...(2...(1))(2...)limlim(1)(1)lim 212n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+（3）nn n ln 1211lim +++∞→ （4）n n n n 1232lim++++∞→ （5）n n an 2lim ∞→（1>a ）６ 关于否定命题的证明 （书上一些典型例题需背）a x n n ≠∞→lim{}n x 发散例 证明：nx n 131211++++= 发散．例 设0≠n a （ ,2,1=n ），且0lim =∞→n n a ，若存在极限l a a nn n =+∞→1lim，则1≤l ．（北大，20）７ 杂例 (1) )1(1321211lim +++⋅+⋅∞→n n n(2) （04，武大）2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1n n n n n n a a a an a a a a a a →∞→∞+++>-=-=--- (3) )1()1)(1(lim 22n n x x x +++∞→ (1<x);(4)设31=a ,n n n a a a +=+21（ ,2,1=n ），求：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n a a a l 111111lim 21 ．。