基于变进制规则的方程式软件水印算法
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ｎ一１
ｂ 生成 密钥 。查找 程序 中可 安全交 换 的方程 式 ， ） 并筛 选 出其 中操作数大于等于 ｎ的方程式 ，， 以自左 向右的顺序遍历 厂得到各操作数 的系数 向量 Ｅ ：（ ， 一 一， ） 并 将此 ，
与 上 式 矛 盾 ， 以 ％ ＝ｂ。 又 由 于 ０（ 一１ ！＝ｋ一Ⅱ （ — 所 ｉ ） ｉ
（ ， ， ，） ６ ３ ２ ８ 。对 （ １ 循 环右移 ａ ３位 ， 变为 （ ， ， ， ４， ） ＝ ３ ２ ８
６ ； （ ，） 环 右 移 ａ ） ３ １ 循 ＝１ ， 变 为 （ ， ， ， ） （ ， ） 位 Ｅ ３ ６ ２ ８ ； ２ １ 循 环 右移 ａ ＝１ ， 变 为 （ ， ， ， ） Ｅ （ ， ） 环 右 移 ａ ： 位 ３６ ８２ ； １ １ 循 。
一
定义 １ 变进制 数 。满足 定理 １等式 的唯一 序列 ｛ ａ ｝＝
（ ａ 一 －，。 称为 整数 ｋ对 应 的变进 制 数 ， ａ ， －ａ ） 阶乘 （ 一１ ！ ｉ ） 为对应位 的权值 。由定理 １的证 明过程可 以看 出， 变进 制数 实
际上是一 种第 ｉ 位逢 ｉ ｌ的数制 。 进
２ 基 于 变进 制规则 的方 程式 软件水 印算 法
２ １ 算 法 的主 要思 想 ．
根据文献 ［ ］ 程序 中具有连加 或连乘 的方程式称 为可安 ２， 全交换的方程式 ， 意交换这些方程式各操作数 的位 置将不会 任 改变方程式的最终结果 ， 因此 可以通过重排这些 可安全交换方
进制数 （ ， ， ， ） ３ １ １０ 。对 厂 自左 向右 遍历 得到 密钥 向量 Ｅ ＝
ｎ一１
１ ！＝∑ｂ（ 一１ ！所 以 ｏ ＝ｂ。也 即 ｋ的表示 方法 是 唯一 ） ｉ ） ，
的。
向量作为密钥 由版权所有者保 留。
ｃ 利用 循 环 右移 重排 序 方 程 式 。其 步 骤 如 下 ： ） （ ） 置 迭 代 变 量 ｉ （ ≥ｉ ） 并 令 （ Ｙ 是 的 ａ设 ＝ｎ ｎ ≥１ ， ， ）
ｐ≤ ｎ
图２ 基 于变进 制规则 的方 程式水 印算法 模型
１ ＝ ， １ ｑ ：’
ｋ＝ ６（ 一１ ！ ｎ一１ ！ 。 ；ｉ ） ≥６（ ） ≥（ ＋１ （ ） ｎ一１ ！ ）
同时 有
Ｗ ％ｐ￣ ａ ， Ｗ／ 。 ｐ
ｑ ＋１ ｇ ＝ ，ｐ＋１ ＝
ｎ 一１
个子 集 ， 它包含 中从 到 的元素的集合 ； （） ｂ 取出变进制第 ｉ 位元 素 ａ ， Ｅ （ ，） 对 ｉ１ 循环右移 ａ 位 ； （ ） ＝ｉ 。如 果 ｉ ｃ ｉ 一１ ≥１执行 步骤 （ ） 否 则迭 代过 程 结 ｂ， 束， 并令 Ｅ ＝Ｅ ； Ｒ （） ｄ 根据系数序列 Ｅ 的值对 方程式 ，的各操作数进行重 新排序。 例 １ 设需要嵌 入的水印为 Ｗ＝ １ 程序 中满 足条 件的方 ２， 程式是 Ｆ＝ ｘ＋ ｙ＋ ｚ ６ ３ ２ ＋８ 。根 据 图 ３流程 ， 可 以转 换为变
・wk.baidu.com
３９ ・ ４０
计 算 机 应 用 研 究
图 ３所 示 。
第２ ９卷
方法唯一 。其 中 ０ 一１ ≤Ⅱ ≤ｉ 。
证明
当数列 ｛ 取各 自的最大值 ， ａ ＝ｉ ａ｝ 即 一１时 ， 可 ｋ
取得最大值 ：
ｋ ∑ （ 一１ （ 一１ ！＝∑ （ 一１ （ 一１ ！＋１ ＝ ｉ ）ｉ ） ｉ ）ｉ ） —１＝
。（ ）ｆ＿ 。（ ） ａ （ ） 一 一 ！ ｎ ｎ一 ！≤
ｎ—ｌ
得 到 （～ …ａ） ｄａ ，
（ 一１ （ 一１ ！＋ｎ （ ）ｉ ） ｎ一１ ！＝ ）
图３ 水印信 息转换 为变 进制数Ｎ Ｓ 程 —流
（ ｎ一１ ！一１＋ａ （ ） ｎ一１ ！＝ ） （ ＋１ （ ａ ） ｎ一１ ！一１ ａ ） ＜（ ＋１ （ ） ｎ一１ ！ ）
１ １
∑ （ 一１ （ 一１ ！＋１ ｉ ）ｉ ） １＋１ ｘ１ —１＝
∑ （‘ ） ｉ ）！＋ ｉ 一１ （ 一１ ２１—１＝ ∑ （ 一１ （ 一１ ！＋２Ｘ ｉ ）ｉ ） ２１＋２ １—１ ＝
＝ ４
∑ （ 一１ （ 一１ ！＋ ｉ ） ｉ ） ３１—１＝… ＝
＝
程式操作数的位序来实现水 印信息 的隐藏 。基于变进 制规则
的方程式水 印算法 的主要 思想 是 ： 据定 理 １ 先将水 印信 息 根 ， 表示 为 ｎ 变进 制数 （ 口 ， ， ； 位 ａ ， … ａ ） 再在 程序 中找 到操 作数个数 大于等 于 ｎ的可安全 交换方 程式 厂， 并将 ， 中各 操 作数的系数序列 Ｅ Ｒ＝（ ， 一 一， 作 为密钥 向量 ； 印 ａ） 水 嵌入时 ， 据变进制值 并利 用循环 右移操 作对 方程式 ， 中各 根 操作数进行重 排序 ， 到嵌 入后 的系数 序列 Ｅ 得 ＝（ 一 卢 ， ，
…
０位 ， 变为（ ， ， ，） ３ ６ ８ ２ 。迭代结束 ， 得到 Ｅ ＝（ ， ， ， ） ３６８２ ，
从 而得到重排 序后 的方 程式 Ｆ＝３ ６ ｙ＋ ＋８ ＋２ 。其 循环 右 ｚ
（ 一１ （ ） ｎ一１ ！＋（ ） ｎ一１ ！一１ ） ＝ｎ！一１
（ 水 印 的 嵌 入 ａ ） Ｉ （ 水 印 的 识别 ｂ ）
当 ｛ 取各 自的最 小值 ， ａ ＝０时， ａ｝ 即 ｋ可取 得最 小值 ０ ， 所以 ｋ ０ ｎ ∈［ ， ！一１ 。另一 方面 ， ］ 对于 Ｖｋ∈［ ， ！一１ ， 存 ０ｎ ］若 在另一个数列 ｛ ， ｂ｝ 使得 ｋ ＝三６（ 一１ ！不妨设 Ⅱ ≤６ ， ｉ ） ， 那么
ｂ 生成 密钥 。查找 程序 中可 安全交 换 的方程 式 ， ） 并筛 选 出其 中操作数大于等于 ｎ的方程式 ，， 以自左 向右的顺序遍历 厂得到各操作数 的系数 向量 Ｅ ：（ ， 一 一， ） 并 将此 ，
与 上 式 矛 盾 ， 以 ％ ＝ｂ。 又 由 于 ０（ 一１ ！＝ｋ一Ⅱ （ — 所 ｉ ） ｉ
（ ， ， ，） ６ ３ ２ ８ 。对 （ １ 循 环右移 ａ ３位 ， 变为 （ ， ， ， ４， ） ＝ ３ ２ ８
６ ； （ ，） 环 右 移 ａ ） ３ １ 循 ＝１ ， 变 为 （ ， ， ， ） （ ， ） 位 Ｅ ３ ６ ２ ８ ； ２ １ 循 环 右移 ａ ＝１ ， 变 为 （ ， ， ， ） Ｅ （ ， ） 环 右 移 ａ ： 位 ３６ ８２ ； １ １ 循 。
一
定义 １ 变进制 数 。满足 定理 １等式 的唯一 序列 ｛ ａ ｝＝
（ ａ 一 －，。 称为 整数 ｋ对 应 的变进 制 数 ， ａ ， －ａ ） 阶乘 （ 一１ ！ ｉ ） 为对应位 的权值 。由定理 １的证 明过程可 以看 出， 变进 制数 实
际上是一 种第 ｉ 位逢 ｉ ｌ的数制 。 进
２ 基 于 变进 制规则 的方 程式 软件水 印算 法
２ １ 算 法 的主 要思 想 ．
根据文献 ［ ］ 程序 中具有连加 或连乘 的方程式称 为可安 ２， 全交换的方程式 ， 意交换这些方程式各操作数 的位 置将不会 任 改变方程式的最终结果 ， 因此 可以通过重排这些 可安全交换方
进制数 （ ， ， ， ） ３ １ １０ 。对 厂 自左 向右 遍历 得到 密钥 向量 Ｅ ＝
ｎ一１
１ ！＝∑ｂ（ 一１ ！所 以 ｏ ＝ｂ。也 即 ｋ的表示 方法 是 唯一 ） ｉ ） ，
的。
向量作为密钥 由版权所有者保 留。
ｃ 利用 循 环 右移 重排 序 方 程 式 。其 步 骤 如 下 ： ） （ ） 置 迭 代 变 量 ｉ （ ≥ｉ ） 并 令 （ Ｙ 是 的 ａ设 ＝ｎ ｎ ≥１ ， ， ）
ｐ≤ ｎ
图２ 基 于变进 制规则 的方 程式水 印算法 模型
１ ＝ ， １ ｑ ：’
ｋ＝ ６（ 一１ ！ ｎ一１ ！ 。 ；ｉ ） ≥６（ ） ≥（ ＋１ （ ） ｎ一１ ！ ）
同时 有
Ｗ ％ｐ￣ ａ ， Ｗ／ 。 ｐ
ｑ ＋１ ｇ ＝ ，ｐ＋１ ＝
ｎ 一１
个子 集 ， 它包含 中从 到 的元素的集合 ； （） ｂ 取出变进制第 ｉ 位元 素 ａ ， Ｅ （ ，） 对 ｉ１ 循环右移 ａ 位 ； （ ） ＝ｉ 。如 果 ｉ ｃ ｉ 一１ ≥１执行 步骤 （ ） 否 则迭 代过 程 结 ｂ， 束， 并令 Ｅ ＝Ｅ ； Ｒ （） ｄ 根据系数序列 Ｅ 的值对 方程式 ，的各操作数进行重 新排序。 例 １ 设需要嵌 入的水印为 Ｗ＝ １ 程序 中满 足条 件的方 ２， 程式是 Ｆ＝ ｘ＋ ｙ＋ ｚ ６ ３ ２ ＋８ 。根 据 图 ３流程 ， 可 以转 换为变
・wk.baidu.com
３９ ・ ４０
计 算 机 应 用 研 究
图 ３所 示 。
第２ ９卷
方法唯一 。其 中 ０ 一１ ≤Ⅱ ≤ｉ 。
证明
当数列 ｛ 取各 自的最大值 ， ａ ＝ｉ ａ｝ 即 一１时 ， 可 ｋ
取得最大值 ：
ｋ ∑ （ 一１ （ 一１ ！＝∑ （ 一１ （ 一１ ！＋１ ＝ ｉ ）ｉ ） ｉ ）ｉ ） —１＝
。（ ）ｆ＿ 。（ ） ａ （ ） 一 一 ！ ｎ ｎ一 ！≤
ｎ—ｌ
得 到 （～ …ａ） ｄａ ，
（ 一１ （ 一１ ！＋ｎ （ ）ｉ ） ｎ一１ ！＝ ）
图３ 水印信 息转换 为变 进制数Ｎ Ｓ 程 —流
（ ｎ一１ ！一１＋ａ （ ） ｎ一１ ！＝ ） （ ＋１ （ ａ ） ｎ一１ ！一１ ａ ） ＜（ ＋１ （ ） ｎ一１ ！ ）
１ １
∑ （ 一１ （ 一１ ！＋１ ｉ ）ｉ ） １＋１ ｘ１ —１＝
∑ （‘ ） ｉ ）！＋ ｉ 一１ （ 一１ ２１—１＝ ∑ （ 一１ （ 一１ ！＋２Ｘ ｉ ）ｉ ） ２１＋２ １—１ ＝
＝ ４
∑ （ 一１ （ 一１ ！＋ ｉ ） ｉ ） ３１—１＝… ＝
＝
程式操作数的位序来实现水 印信息 的隐藏 。基于变进 制规则
的方程式水 印算法 的主要 思想 是 ： 据定 理 １ 先将水 印信 息 根 ， 表示 为 ｎ 变进 制数 （ 口 ， ， ； 位 ａ ， … ａ ） 再在 程序 中找 到操 作数个数 大于等 于 ｎ的可安全 交换方 程式 厂， 并将 ， 中各 操 作数的系数序列 Ｅ Ｒ＝（ ， 一 一， 作 为密钥 向量 ； 印 ａ） 水 嵌入时 ， 据变进制值 并利 用循环 右移操 作对 方程式 ， 中各 根 操作数进行重 排序 ， 到嵌 入后 的系数 序列 Ｅ 得 ＝（ 一 卢 ， ，
…
０位 ， 变为（ ， ， ，） ３ ６ ８ ２ 。迭代结束 ， 得到 Ｅ ＝（ ， ， ， ） ３６８２ ，
从 而得到重排 序后 的方 程式 Ｆ＝３ ６ ｙ＋ ＋８ ＋２ 。其 循环 右 ｚ
（ 一１ （ ） ｎ一１ ！＋（ ） ｎ一１ ！一１ ） ＝ｎ！一１
（ 水 印 的 嵌 入 ａ ） Ｉ （ 水 印 的 识别 ｂ ）
当 ｛ 取各 自的最 小值 ， ａ ＝０时， ａ｝ 即 ｋ可取 得最 小值 ０ ， 所以 ｋ ０ ｎ ∈［ ， ！一１ 。另一 方面 ， ］ 对于 Ｖｋ∈［ ， ！一１ ， 存 ０ｎ ］若 在另一个数列 ｛ ， ｂ｝ 使得 ｋ ＝三６（ 一１ ！不妨设 Ⅱ ≤６ ， ｉ ） ， 那么