数字电子技术基础-1.6.2 卡诺图化简法

若相邻八个小方格为1，则合并后消去三 若相邻八个小方格为 ，则合并后消去三个变量 L CD AB 00 00 1 1 1 1 01 11 10 1 1 1 1 L= D
01
11
10
2 化简方法 用卡诺图表示逻辑函 数 合并最小项
将所有包围圈对应的乘积项相加 包围圈内的方格数应为2n个； 包围圈内的方格数应为 包围圈内的方格数尽可能的多，包围圈个数尽可能少； 最简的要求 包围圈内的方格数尽可能的多，包围圈个数尽可能少； 同一方格可被不同的包围圈包围， 同一方格可被不同的包围圈包围，但新增包围圈必须至 少有一个新的小方格 3 化简举例
01 CD 11
ABCD
10
1
L= ABCD+ A B D+ ABC+ C D
例3 已知卡诺图如下，求L 表达式 L CD AB 00 00 1 1 1 1 L= BD + B D 11 1 1 BD 01 11 10 1 BD 01
10
1
4 具有无关项的逻辑函数化简 也可以为0， 无关项： 对于变量取值的某些组合，函数值可以为1也可以为 无关项： 对于变量取值的某些组合，函数值可以为 也可以为 ， 或者这些变量的取值组合根本不会出现， 或者这些变量的取值组合根本不会出现，则这些变量 取值组合所对应的最小项称为无关项或者任意项。 取值组合所对应的最小项称为无关项或者任意项。
例
L( ABC ) = ( AB + A B + C ) AB = ( AB + A B + C ) + AB = AB A B C + AB = ( A + B )( A + B)C + AB = A BC + A BC + AB = A BC + A BC + AB(C + C ) = A BC + A BC + ABC + ABC = m3 + m5 + m7 + m6 = ∑ m(3,5,6,7)
L 00 CD 01 11 10
00
01 1 1
11
10 1 1 CD L= CD+CD
X
X 1
X X
X X
例5
L(ABCD)= AD+ABCD 约束条件为 AB+AC=0
L CD 00 AB 00 01 11 10 X
01 1 1 X 1
11 1 1 X X
10
D X X
L= D
五 逻辑函数的四种表达形式及其相互转换
例1
化简 L(ABCD)=∑m（0～3，5～11，13～15） L CD AB 00
00 1 0 0 1
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1 C
D
来自百度文库01
11
L =B+C+D
10
对0作包围圈有 L=BC D
B
L＝L =B+C+D
例2 L(ACBD)的真值表如下，试求其化简后的表达式 AB C D 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 L 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 L CD AB 00 00 1 1 1 1 1 1 AB D 01 11 10 ABC
三
用卡诺图表示逻辑函数 1 卡诺图的引入 L D D m0 m1 C L 0 4 L D 0 1 C
L 0
1
3
2 B
1 5
3 7
2 6
D
D
L 0 4 12 A 8
C
1 5 13 9 D
3 7 15 11
2 6 B 14 10
归纳 : 折叠展开法
2 卡诺图的特点 1) 各个小方格对应变量的不同的组合，而且上、下、左、右 各个小方格对应变量的不同的组合，而且上、 在几何上相邻，其小方格内仅有一个因子有差别。 在几何上相邻，其小方格内仅有一个因子有差别。 2） 这种相邻关系是一种空间关系，呈现循环相邻性。 ） 这种相邻关系是一种空间关系，呈现循环相邻性。
1.6.2 卡诺图化简法
代数法化简的不足 要求熟练掌握基本公式 要有一定的技巧 化简结果是否最简较难判定
卡诺图是一种具有特定意义的方格图， 卡诺图是一种具有特定意义的方格图，卡诺图法是通过作图 来化简逻辑函数。其特点是直观方便。 来化简逻辑函数。其特点是直观方便。
最小项 预备知识 卡诺图 化简规则
一
每一个最小项和一个小方格对应，表达式含某一个最小项， 则对应小方格填1，余为0。
四
用卡诺图化简逻辑函数 A+A=1
1 化简的依据
若相邻两个小方格为1， 若相邻两个小方格为 ，则合并后消去一个变量 L AB 00 01 1 11 1 10 L = AB+AB = (A+A)B=B
若相邻四个小方格为1， 若相邻四个小方格为 ，则合并后消去两个变量 L BC 00 A 0 1 01 1 1 11 1 1 10 L = A B C+ABC+ABC+ABC = AC(B+B)+AC(B+B) =AC+AC =C
例：
L( ABC ) = A( B + C ) = A + B + C
= A + BC = A( B + B )(C + C ) + BC ( A + A)
= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
= m 7 + m 6 + m 4 + m 5 + m1 = ∑ m(1, 4,5, 6, 7)
约束： 对于输入变量取值组合所加的限制称为约束， 约束： 对于输入变量取值组合所加的限制称为约束，其对应的 最小项称为约束项。 最小项称为约束项。
无关项对于化简的意义： 无关项对于化简的意义： 由于其值可取1或者 ，这样可根据需要而定。 由于其值可取 或者0，这样可根据需要而定。 或者
例4
L(ABCD)=∑m（1、2、5、6、9）＋ ∑d（10、11、12、13、14、15）
真值表
逻辑表达式
卡诺图
用几何上的相邻性表示逻辑上的相邻性， 为直观作图化简提供了条件
3 卡诺图的简化表示 L AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 10
4 已知逻辑函数的卡诺图表示 方法： 方法： 已知逻辑函数 最小项表达式 每一个最小项和 一个小方格对应 卡诺图表示
例 L(ABCD)=∑m（0、1、2、3、4、8、10、11、14、15） L AB 00 01 11 10 1 CD 00 1 1 1 1 1 1 01 1 11 1 10 1
3 最小项的编号 常用带下标的m 表示最小项，其中i用十进制数表示 用十进制数表示。 常用带下标的 i表示最小项，其中 用十进制数表示。 例如： 三变量A、 、 函数 例如： 三变量 、B、C函数 A B C＝m0 ＝ A B C＝m1 ＝ ABC＝m7 ＝
二 逻辑函数的最小项表达式 最小项表达式： 最小项表达式：一组最小项之和的表达式 求最小项表达式的方法： 求最小项表达式的方法： 去非号 去括号 配项
最小项的定义及性质
1 定义 变量逻辑函数中， 个因子的乘积项， 在n变量逻辑函数中，若m是n个因子的乘积项，每个变量 变量逻辑函数中 是 个因子的乘积项 均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称m为该 均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称 为该 组变量的最小项 例： 三变量 、B、C 三变量A、 、 是其最小项； 则不是。 则ABC 、ABC、ABC是其最小项；而AB则不是。 、 是其最小项 则不是 2 性质
A B AB AB AB AB
0 0 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1) 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1，其余为 （同一列） 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使其为 ，其余为0（同一列） 2） 不同的最小项，使其值为 的那一组变量取值也不同。（不同列） ） 不同的最小项，使其值为1的那一组变量取值也不同。（不同列 的那一组变量取值也不同。（不同列） 3） 对于变量的任一组取值，全体最小项之和为 。（任一行） ∑mi＝1 ） 对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（任一行） 。（任一行 4) 对于任一组变量取值，任意两个最小项之积为0 （同一行） mi·mj＝0 对于任一组变量取值，任意两个最小项之积为 同一行）