2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十七讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

第十七讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．(2010·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2

k

C.k

1－k 2 D ．－k 1－k 2

解析：cos(－80°)＝cos80°＝k ，sin80°＝1－k 2

，tan80°＝1－k 2k ，tan100°＝－tan80°＝－1－k 2

k ，故选B. 答案：B

2．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1

的值是( ) A.12 B ．－12

C ．2

D ．－2 解析：因为1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，从而由已知1＋sin x cos x ＝－12得cos x sin x －1＝12

. 答案：A

3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )

A.12 B ．2 C ．－12

D ．－2 解析：由cos α＋2sin α＝－5,①,sin 2α＋cos 2α＝1,②)

将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，

∴sin α＝－

255cos α＝－55

.故选B. 答案：B

4．若tan α＝2，则sin α－3cos αsin α＋cos α

的值是( ) A ．－13 B ．－53 C.13 D.53

解析：由tan α＝2，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－13，选A. 答案：A

5．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a 、b 、α、β都是非零实数，若f (2008)＝－1，那么f (2009)等于( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：∵f (2008)＝a sin(2008π＋α)＋b cos(2008π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1，

∴f (2009)＝a sin(2009π＋α)＋b cos(2009π＋β)

＝－(a sin α＋b cos β)＝1.

答案：C

6．已知sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α等于( )

A ．1

B ．0

C.12n －1 D ．不能确定

解析：由⎩⎪⎨

⎪

⎧ sin α＋cos α＝1，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1，cos α＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝0，cos α＝1. ∴sin n α＋cos n α＝1.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．已知tan α＝2，则

(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α

＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α

＝________； (3)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.

解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sin α、cos α的一次齐次式，将分子、分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．

2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9

＝－1. (2)注意到分子、分母都是关于sin α、cos α的二次齐次式，

∵cos 2α≠0，分子、分母同除以cos 2α，有

2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2

α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57.∴应填57

. (3)要注意到sin 2α＋cos 2α＝1，

4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α

＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α

＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55

＝1.应填1. 答案：(1)－1 (2)57

(3)1 评析：这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式(即次数相同)的问题，解答这类“已知某个三角函数，求其余三角函数值”的问题的常规思路是：利用同角间的三角函数关系，求出其余三角函数值，这就需要根据m 的取值符号，确定α角所在的象限，再对它进行讨论．这样计算相当繁琐，而在这里灵活地运用“1”的代换，将所求值的式子的分子、分母同除以cos n α，用tan n α表示出来，从而简化了解题过程，我们应熟练掌握这种解法．更主要的是由此进一步领悟“具体问题、具体分析”的辩证思想方法．

8．化简

cos(－θ)cos(360°－θ)·tan 2(180°－θ)－cos(90°＋θ)cos 2(270°＋θ)·sin(－θ)

＝________.

解析：直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式＝－1.

答案：－1

9．(2010·广州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则

cos ⎝⎛⎭

⎫π4＋α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4α＝cos ⎣⎡⎦

⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13

. 答案：－13

10．设α＝sin(sin2008°)，b ＝sin(cos2008°)，c ＝cos(sin2008°)，d ＝cos(cos2008°)，则a ，b ，c ，d 从小到大的顺序是________．

解析：∵2008°＝5×360°＋180°＋28°，

∴a ＝sin(－sin28°)＝－sin(sin28°)<0，

b ＝sin(－cos28°)＝－sin(cos28°)<0，

c ＝cos(－sin28°)＝cos(sin28°)>0，