长记忆时间序列模型及应用

k
k
RT
max 1kT
(yt
t1
yT
)
min 1kT
(yt
t1
yT)
sT
T1
T
(yt
t1
1/2
yT)2
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26
重新标度极差统计量的性质
对于短期关联过程， QT Op(T1/2)
时间序列研究的主要任务
描述时间序列中的动态（Dynamic）关联 性，用于理解其变化的规律或对其进行 预测；
自相关性（autocorrelation）的刻画
Rkcov(yt,ytk), k0,1,2,
kcorr(yt,ytk), k0,1,2,
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4
ARMA模型的形式
ARMA(p,q)模型
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9
ARMA模型的谱密度函数
f
*( )
2 a
2
(e i ) ( e i )
2
,
;
于是
f
*(0)
2 a
(1)
2
0
2 (1)
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10
ARMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 最小二乘估计；
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11
单位根过程
如果 (1) 0 ，那么 { y t } 称为单位 根过程，此时为非平稳过程。
长记忆时间序列模型及应用
王明进 博士 北京大学光华管理学院 商务统计与经济计量系 教授 金融风险管理中心 主任
2010年6月
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1
主要内容
ARMA模型的回顾； 长记忆的概念； 长记忆的检验方法； ARFIMA模型； 一些应用；
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2
1. ARMA模型的回顾
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3
Range -8.5557*** -5.8614*** -30.9954*** -5.4938*** 3.9385***
lnRange -7.3599*** -5.4457*** -27.875*** -5.0333*** 4.6528***
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16
自相关函数图形
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
比如如下的I(1)过程：
p1(B)(1B)yt q(B)at, p1(z)0, for |z|1
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12
单位根的检验
Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said & Dickey 1981);
Phillips-Perron(PP)检验(Phillips & Perron 1988)；
n
lim
n
|
jn
j
|
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22
基于谱函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
f()~ G 2 d, a s 0
基于自相关函数和基于谱函数的定义是 等价的。
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23
短程关联和长程关联*
强相合过程（strong mixing）被称为短程 关联（short range dependency）过程 (Rosenblatt 1956);
Perron-Ng (PN)检验(Perron & Ng 1996)；
Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检 验 (Kwitkowski et al. 1992)；
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13
上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)
0Baidu Nhomakorabea12
(B)( yt ) (B)at (B) 11B pBp, (B) 11B qBq,
其中{ a t } 是白噪声
E(at) 0, E(at2) 2,
E(atas)0, for t s
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5
ARMA模型的平稳性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1，那么ARMA模型定义 了唯一的二阶平稳解
不满足强相合性的过程称为长程关联 （long range dependency）过程(Lo 1991, Guegan 2005)
长记忆过程属于这里的长程关联过程。
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24
3. 长记忆的检验
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25
重新标度极差统计量
重新标度极差（rescaled-range）统计量
其中
QT RT /sT
yt ((B B))at j 0jatj
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6
ARMA模型的可逆性条件
如果 (z)0 , fo r|z| 1，那么ARMA模型 能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归 模型的形式
at ((B B))(yt) j 0j(ytj)
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7
ARMA模型的自相关特征
任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数 都是呈指数递减的，即
k~cek, ask
因此自相关函数绝对可和，
| k |
k
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8
平稳过程的谱函数
谱密度函数是定义在 [ , ] 上的偶函数且
满足 R k f()eikd f()cos(k)d,
k0,1,2,
如果自协方差函数绝对可加，
f()2 1k R ke i k, f(0 )2 1k R k
0 -0.1
0
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1
0
(a) Range
100
200
300
400
500
600
700
800
(b) Log Range
100
200
300
400
500
600
700
800
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17
估计的谱密度函数
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 1997
1999
2002
2005
2007
2010
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14
取对数之后的全距序列
-2 -2.5
-3 -3.5
-4 -4.5
-5 -5.5
-6 1997
1999
2002
2005
2007
2010
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15
单位根检验的结果
ADF-t(10) ADF-t(20) PP-t PN-t KPSS
Stat
pValu
e
Q(10)
31.4 55 0.0003 4
Q(20)
43.5 70 0.0017 1
69.4
Q(50) 81 0.0355
8
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20
2. 长记忆的概念
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21
基于自相关函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
k~ck2d 1, ask
此时自相关函数不再绝对可和，
0.06
0.04
0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
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18
估计的ARMA模型
经过模型选择阶数得到
(10.9623B)(yt 4.0875)(10.7248B)at
2
0.1849
AIC3743.20, BIC3761.46
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19
ARMA(1,1)残差的Box-Ljung检验