拉格朗日中值定理的证明及应用.ppt
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拉格朗日(拉式)中值定 理的证明方法及应用
一、定义：如果函数 f x 满足： 1、在闭区间a, b 上连续
2、在开区间a, b 内可导 则至少存在一点 a, b ，使得
f b f a f b a
二、证明方法
做辅助函数 可以利用弦倾角法做辅助函数
1+1=？
哥 脸 皮 薄
让我看看 几点了
So easy
科学一班五组
成员： 郭浩 李莎Hale Waihona Puke Baidu 刘均 许琴 王浚臣 王旭洪 昝航
刘兴隆 董大鹏
x f ( x ) f( x ) F ( x ) 2 x
即存在一个 使
f ( ) f ( ) a f ( b ) b f ( a ) f 2 a b ( b a )
∴原式成立
例2：设函数 f x 在 a, b内可导，且 f x M 证明 f x在 a, b 内有界。
y
f x
o a
则有：
x cos x sin x f 那么可以令 F 则有 F a F b ∴ 由罗尔定理得：当 F a F b时，至少存在 cos sin 0 一个数 使 F 0 ，即 f f b f a tan 0 最后得出 f ,即f b a
b x f a cos a sin f b cos b sin
2 2 sin f b f a tan cos b a
由图得： < <
三、拉格朗日中值定理的应用 1、证明等式
2、证明不等式
a,b ， x
0
f x f x x 0 0
f x M b a 0
x a , b 令K ，则对任意 f x M b a 0
有 f x K ，即 f x在 a, b 内有界。
3、研究导数和函数的性质
4、证明有关中值问题的结论
5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限
例1：设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续, 在 (a , b) 内可导, ( a ,b ), 使 , 证明存在 且 0ab a f ( b ) b f ( a ) f ( ) f( ) 证明 2 a b ( b a ) 等式 F a F b 证:∵ 所证结论左边为 f( b ) f( a ) af( b ) bf( a ) a b a b ( b a ) b a f (x) F(x) 设辅助函数 x 由于F ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 且
a,b 证：取点 x 0 ，再取异于x 0 的点
对 f x 在以
x 0 为端点的区间上用拉式中值定 ， x 理得： f x f x f x x （ 界于 x 与 x 之间） 0 0
则有： f x f x f x x 0 0
一、定义：如果函数 f x 满足： 1、在闭区间a, b 上连续
2、在开区间a, b 内可导 则至少存在一点 a, b ，使得
f b f a f b a
二、证明方法
做辅助函数 可以利用弦倾角法做辅助函数
1+1=？
哥 脸 皮 薄
让我看看 几点了
So easy
科学一班五组
成员： 郭浩 李莎Hale Waihona Puke Baidu 刘均 许琴 王浚臣 王旭洪 昝航
刘兴隆 董大鹏
x f ( x ) f( x ) F ( x ) 2 x
即存在一个 使
f ( ) f ( ) a f ( b ) b f ( a ) f 2 a b ( b a )
∴原式成立
例2：设函数 f x 在 a, b内可导，且 f x M 证明 f x在 a, b 内有界。
y
f x
o a
则有：
x cos x sin x f 那么可以令 F 则有 F a F b ∴ 由罗尔定理得：当 F a F b时，至少存在 cos sin 0 一个数 使 F 0 ，即 f f b f a tan 0 最后得出 f ,即f b a
b x f a cos a sin f b cos b sin
2 2 sin f b f a tan cos b a
由图得： < <
三、拉格朗日中值定理的应用 1、证明等式
2、证明不等式
a,b ， x
0
f x f x x 0 0
f x M b a 0
x a , b 令K ，则对任意 f x M b a 0
有 f x K ，即 f x在 a, b 内有界。
3、研究导数和函数的性质
4、证明有关中值问题的结论
5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限
例1：设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续, 在 (a , b) 内可导, ( a ,b ), 使 , 证明存在 且 0ab a f ( b ) b f ( a ) f ( ) f( ) 证明 2 a b ( b a ) 等式 F a F b 证:∵ 所证结论左边为 f( b ) f( a ) af( b ) bf( a ) a b a b ( b a ) b a f (x) F(x) 设辅助函数 x 由于F ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 且
a,b 证：取点 x 0 ，再取异于x 0 的点
对 f x 在以
x 0 为端点的区间上用拉式中值定 ， x 理得： f x f x f x x （ 界于 x 与 x 之间） 0 0
则有： f x f x f x x 0 0